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1、会计学1二项式定理二项式定理(dngl)的推广的推广第一页，共17页。二项式定理二项式定理(dngl)的发现的发现n n通过探索通过探索,13,13世纪阿拉伯人已经世纪阿拉伯人已经(y(y jing)jing)知知道两项和的道两项和的n n次方的展开结果次方的展开结果:第1页/共17页第二页，共17页。二项式定理二项式定理(dngl)的发现的发现n n为了便于看出规律为了便于看出规律(gul(gul)，我们把它补充，我们把它补充完整完整:第2页/共17页第三页，共17页。二项式定理二项式定理(dngl)的发现的发现n n为了便于研究其中的规律为了便于研究其中的规律,15441544年年Stif
2、elStifel把公式中字母的把公式中字母的系数系数(xsh)(xsh)提取出来提取出来,称为称为二项式系数二项式系数(xsh).(xsh).n n他发现其中每个数是其上方他发现其中每个数是其上方紧邻两数之和紧邻两数之和.n n用公式表示为用公式表示为:这个结果，中国数学家杨辉早在13世纪(shj)就发现了。第3页/共17页第四页，共17页。二项式定理二项式定理(dngl)的发现的发现n n通过进一步研究，通过进一步研究，1654 1654年年PascalPascal发现二项式系数的规律发现二项式系数的规律(gul(gul),),即通项公式即通项公式:1713年,Bernoulli对上面的公式
3、(gngsh)给出了证明。第4页/共17页第五页，共17页。二项式定理二项式定理(dngl)的推广的推广1n n上面得到的结果只适用于指数为自然数的情况，能否把二上面得到的结果只适用于指数为自然数的情况，能否把二项式定理推广项式定理推广(tugu(tugu ng)ng)到非自然数的情况呢到非自然数的情况呢?n n16651665年，牛顿对此进行了研究。年，牛顿对此进行了研究。n n他考虑了已知的无穷递缩等比数列的求和公式：他考虑了已知的无穷递缩等比数列的求和公式：n n 为了便于比较为了便于比较(bjio)(bjio)，我们把二项式定理改，我们把二项式定理改写为：写为：第5页/共17页第六页，
4、共17页。二项式定理二项式定理(dngl)的推广的推广1n n经过仔细比较，不难发现上式中取经过仔细比较，不难发现上式中取n=-1n=-1时，自动成为无穷递时，自动成为无穷递缩等比数列缩等比数列(dn(dn b b sh li)sh li)求和公式。求和公式。n n这说明二项式定理的新形式在这说明二项式定理的新形式在n=-1n=-1时也成立。时也成立。n n这个结果有没有一般性？牛顿大胆的猜想：二项式定理的新这个结果有没有一般性？牛顿大胆的猜想：二项式定理的新形式对于任意有理指数都是正确的，即：形式对于任意有理指数都是正确的，即：第6页/共17页第七页，共17页。二项式定理二项式定理(dngl
5、)的推广的推广1n n这个猜想是否正确？牛顿这个猜想是否正确？牛顿(ni dn)(ni dn)对此进行了验证。对此进行了验证。当指数为当指数为1/21/2时，有：时，有：n n 验证的结果验证的结果(ji gu)(ji gu)与猜想一致。牛顿还对指数为与猜想一致。牛顿还对指数为1/31/3、2/32/3等情况进行了验证，结果等情况进行了验证，结果(ji gu)(ji gu)也与猜想也与猜想一致。一致。第7页/共17页第八页，共17页。二项式定理二项式定理(dngl)的推广的推广1n n然而，仅仅凭着有限的验证能够保证结论的普遍正确性吗？还要不要严格的证明然而，仅仅凭着有限的验证能够保证结论的普
6、遍正确性吗？还要不要严格的证明(zhngmng)(zhngmng)？n n牛顿认为这已经足够了，不需要进一步证明牛顿认为这已经足够了，不需要进一步证明(zhngmng)(zhngmng)，他也没有给出证明，他也没有给出证明(zhngmng)(zhngmng)。n n18111811年，高斯对此进行了严格的证明年，高斯对此进行了严格的证明(zhngmng)(zhngmng)，结果表明牛顿的猜想是正确的。，结果表明牛顿的猜想是正确的。n n二项式定理在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和，以及差分法中有广泛的应用。二项式定理在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和，以及差分法中有广泛的应用。n n现
7、在，人们已经把二项式定理推广到了指数为任意的实数，甚至复数时的情况。现在，人们已经把二项式定理推广到了指数为任意的实数，甚至复数时的情况。第8页/共17页第九页，共17页。二项式定理二项式定理(dngl)的推广的推广2n n二项式定理给出了两项和的二项式定理给出了两项和的n n次幂的展开公式，有时我们也次幂的展开公式，有时我们也需要计算三项或多项和的需要计算三项或多项和的n n次幂，这时该怎么办？次幂，这时该怎么办？n n最容易想到最容易想到(xi(xi n n do)do)的办法是多次应用二项式定理，即的办法是多次应用二项式定理，即先把后几项合并成一项，应用二项式定理，再对式子中出先把后几项
8、合并成一项，应用二项式定理，再对式子中出现的后几项的幂进行类似处理。现的后几项的幂进行类似处理。n n例如，对于三项和的例如，对于三项和的n n次幂，可以如下计算次幂，可以如下计算第9页/共17页第十页，共17页。二项式定理二项式定理(dngl)的推广的推广2n n具体具体(jt(jt)写出来是写出来是第10页/共17页第十一页，共17页。二项式定理二项式定理(dngl)的推广的推广2n n为了为了(wi le)(wi le)保持展开后的对称性，我们把展保持展开后的对称性，我们把展开式写成开式写成第11页/共17页第十二页，共17页。二项式定理二项式定理(dngl)的推广的推广2n n把公式中
9、字母的系数把公式中字母的系数(xsh)(xsh)提取出来提取出来n n经过仔细观察，我们发现上经过仔细观察，我们发现上一三角形可以摞在下一三角一三角形可以摞在下一三角形的上方，构成一个正四面形的上方，构成一个正四面体。体。n n四面体中的每一个数等于其四面体中的每一个数等于其肩上三个数之和。肩上三个数之和。第12页/共17页第十三页，共17页。二项式定理二项式定理(dngl)的推广的推广2n n同样的方法同样的方法(fngf(fngf)，我们可以得到四项和的，我们可以得到四项和的n n次次幂的计算公式幂的计算公式第13页/共17页第十四页，共17页。二项式定理二项式定理(dngl)的推广的推广
10、2n n为了看出多项和为了看出多项和n n次幂的计算公式的一般规律，我们次幂的计算公式的一般规律，我们把前面把前面(qin mian)(qin mian)得到的结果列在一起：得到的结果列在一起：第14页/共17页第十五页，共17页。二项式定理二项式定理(dngl)的推广的推广2n n通过认真观察，我们不难发现以下规律：通过认真观察，我们不难发现以下规律：n n1 1）展开式中各个字母的指数和为）展开式中各个字母的指数和为n n；n n1 1）系数的分子都是）系数的分子都是n n！，分母为指数阶乘之积；！，分母为指数阶乘之积；n n3 3）求和条件为各指数均非负，且和为）求和条件为各指数均非负，且和为n nn n于是，我们可以把这些于是，我们可以把这些(zhxi)(zhxi)展开式统一表达为展开式统一表达为第15页/共17页第十六页，共17页。二项式定理二项式定理(dngl)的推广的推广3n n上面得到的就是多项式定理，你能把它推广到负指数和分数指数的情况吗？n n大胆的试试看，你的创造力会得到激发(jf)和锻炼。第16页/共17页第十七页，共17页。