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1、数学数学(shxu)建模建模-概率模型概率模型第一页，共45页。现实世界的变化受着众多因素的影响，包括确定的和随机的。如果从建模的背景、目的和手段看，主要因素是确定的，随机因素可以忽略，或者(huzh)随机因素的影响可以简单地以平均值的作用出现，那么就能够建立确定性模型。如果随机因素对研究对象的影响必须考虑，就应建立随机模型。本章讨论如何用随机变量和概率分布描述随机因素的影响，建立随机模型概率模型。概率模型概率模型第1页/共44页第二页，共45页。确定性因素确定性因素(yn s)和随机和随机性因素性因素(yn s)随机因素可以随机因素可以(ky)忽忽略略随机因素影响可以简单随机因素影响可以简单
2、(jindn)地以平均值的地以平均值的作用出现作用出现随机因素影响必须考虑随机因素影响必须考虑概率模型概率模型统计回归模型统计回归模型马氏链模型马氏链模型随机模型随机模型确定性模确定性模型型随机性模随机性模型型第2页/共44页第三页，共45页。概率模型概率模型一、概率论基本知识一、概率论基本知识二、概率模型的典型二、概率模型的典型(dinxng)案案例例第3页/共44页第四页，共45页。一、概率论基础知识一、概率论基础知识1、古典、古典(gdin)概概型型例：现有例：现有100100个零件，其中个零件，其中(qzhng)95(qzhng)95个长度合格，个长度合格，9494个个直径和格，直径和
3、格，9292个两个尺寸都合格。任取一个，发现长度合个两个尺寸都合格。任取一个，发现长度合格，问直径合格的概率。格，问直径合格的概率。设设A=A=长度长度(chngd)(chngd)合格合格，B=B=直径合格直径合格条件概率条件概率：在事件B发生的条件下，事件A发生的概率第4页/共44页第五页，共45页。全概率全概率(gil)公式和贝叶斯公式公式和贝叶斯公式 设设B1,B2,BnB1,B2,Bn为样本空间为样本空间S S的一个划分的一个划分(hu fn)(hu fn)，且有，且有P(Bi)0P(Bi)0，i=1,2,n,i=1,2,n,则对则对E E的任一事件的任一事件A A，有，有:贝叶斯公式
4、贝叶斯公式(gngsh)全概率公式全概率公式第5页/共44页第六页，共45页。例：某电子设备制造厂所用的某种晶体管是由三家元件制造厂提供例：某电子设备制造厂所用的某种晶体管是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有以下的，根据以往的记录有以下(yxi)(yxi)的数据：的数据：元件制造厂元件制造厂次品率次品率提供份额提供份额甲厂甲厂0.020.020.150.15乙厂乙厂0.010.010.800.80丙厂丙厂0.030.030.050.05设这三家的产品在仓库中是均匀混合设这三家的产品在仓库中是均匀混合(hnh)(hnh)的的,且无区别的标志。现在仓库中随机地抽取一只晶且无区别的标志。现在仓
5、库中随机地抽取一只晶体管体管,(1),(1)求它是次品的概率；求它是次品的概率；(2)(2)若已知取到的是次品若已知取到的是次品,问此次品是哪个问此次品是哪个(n ge)(n ge)厂生产的可能性更大厂生产的可能性更大？设设A=A=“取到的是一只次品取到的是一只次品”,B,Bi i=“所取产品由第所取产品由第i i厂提供厂提供”,易知易知B B1 1,B,B2 2,B,B3 3是样本空间的一个划分是样本空间的一个划分。解解(1)(1)由全概率公式由全概率公式:=0.150.02+0.800.01+0.050.03=0.0125=0.150.02+0.800.01+0.050.03=0.0125
6、(2)(2)由贝叶斯公式由贝叶斯公式:同理同理 P(BP(B2 2|A)=0.64,P(B|A)=0.64,P(B3 3|A)=0.12.|A)=0.12.以上结果表明，这只次品来自以上结果表明，这只次品来自乙厂乙厂的可能性最大。的可能性最大。第6页/共44页第七页，共45页。贝努利试验贝努利试验:设随机试验设随机试验E只有两种可能的结果只有两种可能的结果:A及及 ,且且P(A)=p,（0p1),将试验将试验E独立地重复进行独立地重复进行n次次,简称简称n重重贝努贝努利试验利试验(Bernoulli)。n重贝努利试验中事件重贝努利试验中事件A A出现的次数服从出现的次数服从二项分布二项分布二项
7、分布二项分布2、随机变量、随机变量(su j bin lin)及其分布及其分布泊松分布泊松分布(fnb)n重贝努利试验重贝努利试验(shyn)中小概率事件出现的次数近似地服从泊松分布中小概率事件出现的次数近似地服从泊松分布.第7页/共44页第八页，共45页。vv 背景背景背景背景:指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命，指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命，指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命，指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命，vv 动物动物动物动物(dngw)(dngw)的寿命，电话问题中的通话时间，服务时的寿命，电话问题中的通话时间，服务时的寿命，电话问题
8、中的通话时间，服务时的寿命，电话问题中的通话时间，服务时间等间等间等间等.指数分布指数分布指数分布指数分布如：同龄人的身高、体重如：同龄人的身高、体重(tzhng)(tzhng)、考试分数、某地区年降水量等。、考试分数、某地区年降水量等。背景背景背景背景:如果决定试验结果如果决定试验结果如果决定试验结果如果决定试验结果X X的是大量随机因素的总和，假的是大量随机因素的总和，假的是大量随机因素的总和，假的是大量随机因素的总和，假设各个因素之间近似独立设各个因素之间近似独立设各个因素之间近似独立设各个因素之间近似独立(dl)(dl)，并且每个因素的单独，并且每个因素的单独，并且每个因素的单独，并且
9、每个因素的单独作用相对均匀地小，那么作用相对均匀地小，那么作用相对均匀地小，那么作用相对均匀地小，那么X X的分布近似正态分布。的分布近似正态分布。的分布近似正态分布。的分布近似正态分布。正态分布正态分布正态分布正态分布第8页/共44页第九页，共45页。描述了随机变量的概率取值中心描述了随机变量的概率取值中心(zhngxn)均值均值数学数学(shxu)期期望望3、数学、数学(shxu)期望的概念和计算期望的概念和计算第9页/共44页第十页，共45页。4、MATLAB中相关的的概率中相关的的概率(gil)命令命令第10页/共44页第十一页，共45页。MATLAB工具箱对每一种分布都提供工具箱对每
10、一种分布都提供(tgng)5类函数，其命令字符为：类函数，其命令字符为：概率密度：概率密度：pdf 概率分布：概率分布：cdf逆概率分布：逆概率分布：inv 均值与方差：均值与方差：stat随机数生成：随机数生成：rnd 当需要一种分布的某一类函数时，将以上所列的分布当需要一种分布的某一类函数时，将以上所列的分布命令字符与函数命令字符接起来命令字符与函数命令字符接起来(q li)(q li)，并输入自变量，并输入自变量（可以是标量、数组或矩阵）和参数即可（可以是标量、数组或矩阵）和参数即可.第11页/共44页第十二页，共45页。在在MATLABMATLAB中输入以下中输入以下(yxi)(yxi
11、)命令：命令：x=-6:0.01:6;x=-6:0.01:6;y=normpdf(x);z=normpdf(x,0,2);y=normpdf(x);z=normpdf(x,0,2);plot(x,y,x,z)plot(x,y,x,z)1密度密度(md)函数：函数：p=normpdf(x,mu,sigma)(当当mu=0,sigma=1时可缺省时可缺省)如对均值为如对均值为mumu、标准差为、标准差为sigmasigma的正态分布，举例的正态分布，举例(j l)(j l)如下：如下：第12页/共44页第十三页，共45页。3逆概率分布：逆概率分布：x=norminv(P,mu,sigma).即求出
12、即求出x，使得，使得(sh de)PX b(购进价购进价)c(退退回价回价)售出一份赚售出一份赚 a-b；退回一份赔；退回一份赔 b-c 每天购进多少份可使收入最大？每天购进多少份可使收入最大？分分析析购进太多购进太多卖不完退回卖不完退回赔钱赔钱购进太少购进太少不够销售不够销售赚钱少赚钱少应根据需求确定购进量应根据需求确定购进量每天需求量是随机的每天需求量是随机的优化问题的目标函数应是长期的日平均收入优化问题的目标函数应是长期的日平均收入每天收入是随机的每天收入是随机的存在一个合存在一个合适的购进量适的购进量等于每天收入的期望等于每天收入的期望第21页/共44页第二十二页，共45页。建建模模
13、设每天购进设每天购进 n 份，份，日平均收入为日平均收入为 G(n)调查调查(dio ch)需求量的随机规律需求量的随机规律每天需求量为每天需求量为 r 的概率的概率 f(r),r=0,1,2准准备备(zhnbi)求求 n 使使 G(n)最大最大 已知售出一份已知售出一份(y fn)赚赚 a-b；退回一份；退回一份(y fn)赔赔 b-c第22页/共44页第二十三页，共45页。求解求解(qi ji)将将r视为连续变量视为连续变量(概率密度概率密度)第23页/共44页第二十四页，共45页。结果结果(ji gu)解释解释nP1P2取取n使使 a-b 售出一份售出一份(y fn)赚的钱赚的钱 b-c
14、 退回一份退回一份(y fn)赔的钱赔的钱0rp第24页/共44页第二十五页，共45页。9.3 随机存贮随机存贮(cn zh)策略策略问问题题(wnt)以周为时间单位；一周的商品以周为时间单位；一周的商品(shngpn)销售量为销售量为随机；周末根据库存决定是否订货，供下周销售。随机；周末根据库存决定是否订货，供下周销售。（s,S)存贮策略存贮策略制订下界制订下界s,上界上界S，当周末库存小于，当周末库存小于s 时订货，使时订货，使下周初的库存达到下周初的库存达到S;否则，不订货。否则，不订货。考虑订货费、存贮费、缺货费、购进费，制订考虑订货费、存贮费、缺货费、购进费，制订（s,S)存贮策略存
15、贮策略,使使(平均意义下平均意义下)总费用最小总费用最小第25页/共44页第二十六页，共45页。模型模型(mxng)假设假设 每次订货每次订货(dng hu)费费c0,每件商品购进价每件商品购进价c1,每件商品一周贮存费每件商品一周贮存费c2,每件商品缺货损失费每件商品缺货损失费c3 (c1c3)每周销售量每周销售量 r 随机随机(su j)、连续，概率密度、连续，概率密度 p(r)周末库存量周末库存量x,订货量订货量 u,周初库存量周初库存量 x+u 每周贮存量按每周贮存量按 x+u-r 计计 第26页/共44页第二十七页，共45页。建模与求解建模与求解(qi ji)（s,S)存贮存贮(cn
16、 zh)策略策略确定确定(s,S),使目标使目标(mbio)函数函数每周总费用的平均值最每周总费用的平均值最小小平均平均费用费用 订货费订货费c0,购进价购进价c1,贮存费贮存费c2,缺货费缺货费c3,销售量销售量 r s 订货点，订货点，S 订货值订货值第27页/共44页第二十八页，共45页。建模与求解建模与求解(qi ji)1）设）设 xs,求求 u 使使 J(u)最小，确定最小，确定(qudng)S建模与求解建模与求解(qi ji)SP1P20rp第28页/共44页第二十九页，共45页。2）对库存）对库存(kcn)x，确，确定订货点定订货点s若订货若订货u,u+x=S,总费用为总费用为
17、若不订货若不订货,u=0,总费用为总费用为 订货点订货点 s 是是的最小正根的最小正根建模与求解建模与求解(qi ji)不订货不订货第29页/共44页第三十页，共45页。最小正根的最小正根的图解法图解法J(u)在在u+x=S处达到处达到(d do)最小最小 x I(x)0 S I(S)s I(S)+c0I(x)在在x=S处达到处达到(d do)最小最小值值I(S)I(x)图形图形(txng)建模与求解建模与求解J(u)与与I(x)相似相似I(S)的最小正根的最小正根 s第30页/共44页第三十一页，共45页。9.4 轧钢轧钢(zh gng)中的浪费中的浪费轧制轧制(zh zh)钢材两钢材两道工
18、序道工序 粗轧粗轧(热轧热轧)形成钢材形成钢材(gngci)的雏形的雏形 精轧精轧(冷轧冷轧)得到钢材规定的长度得到钢材规定的长度粗轧粗轧钢材长度正态分布钢材长度正态分布均值可以由轧机调整均值可以由轧机调整方差由设备精度确定方差由设备精度确定粗轧钢材粗轧钢材长度大于长度大于规定规定切掉多余切掉多余 部分部分粗轧钢材长粗轧钢材长度小于规定度小于规定整根报废整根报废随机因随机因素影响素影响精精轧轧问题：如何调整粗轧的均值，使精轧的浪费最小问题：如何调整粗轧的均值，使精轧的浪费最小背背景景第31页/共44页第三十二页，共45页。分析分析(fnx)设已知精轧后钢材设已知精轧后钢材(gngci)的规定长
19、的规定长度为度为 l，粗轧后钢材粗轧后钢材(gngci)长度的长度的均方差为均方差为 记粗轧时可以调整的均值为记粗轧时可以调整的均值为 m，则粗轧得到的钢材，则粗轧得到的钢材(gngci)长度长度x为正态随机变量，记作为正态随机变量，记作 xN(m,2)切掉多余部切掉多余部分的概率分的概率整根报废整根报废的概率的概率存在最佳的存在最佳的m使总的浪费最小使总的浪费最小lP0p(概率密度概率密度)mxPmPP第32页/共44页第三十三页，共45页。建模建模选择选择(xunz)合适的合适的目标函数目标函数切掉多余部分切掉多余部分的浪费的浪费整根报废整根报废的浪费的浪费总浪费总浪费=+粗轧一根钢材平均
20、浪费粗轧一根钢材平均浪费(lngfi)长度长度粗轧粗轧N根根成品材成品材 PN根根成品材长度成品材长度l PN总长度总长度mN共浪费长度共浪费长度 mN-lPN第33页/共44页第三十四页，共45页。选择合适选择合适(hsh)的的目标函数目标函数粗轧一根钢材平均浪费长度粗轧一根钢材平均浪费长度得到一根得到一根(y n)成品材平均浪成品材平均浪费长度费长度更合适更合适(hsh)的目标的目标函数函数优化模型：求优化模型：求m 使使J(m)最小（已知最小（已知l,）建模建模粗轧粗轧N根根得成品材得成品材 PN根根实际上，实际上，J（m）恰好是平均每得到一根成品材所需钢材的长度恰好是平均每得到一根成品
21、材所需钢材的长度第34页/共44页第三十五页，共45页。求解求解(qi ji)求求 z 使使J(z)最小（已知最小（已知 ）第35页/共44页第三十六页，共45页。求解求解微分微分(wi fn)法求极值法求极值第36页/共44页第三十七页，共45页。例例设设l=2(米米),=20(厘米厘米(l m)，求，求 m 使浪费最小。使浪费最小。=l/=10z*=-1.78*=-z*=11.78m*=*=2.36(米米)求解求解(qi ji)1.2530.8760.6560.5160.4200.3550227.0-3.00.556.79-2.51.018.10-2.01.57.206-1.52.02.5
22、3.4771.680-1.0-0.5zzF(z)F(z)1.02.00-1.0-2.0105F(z)z算出 再代入 即得到(d do)的最优值第37页/共44页第三十八页，共45页。9.5 随机人口随机人口(rnku)模型模型背景背景(bijng)一个一个(y)人的出生和死亡是随机人的出生和死亡是随机事件事件一个国家或地区一个国家或地区平均生育率平均生育率平均死亡率平均死亡率确定性模型确定性模型一个家族或村落一个家族或村落出生概率出生概率死亡概率死亡概率随机性模型随机性模型对象对象X(t)时刻时刻 t 的人口的人口,随机变量随机变量.Pn(t)概率概率P(X(t)=n),n=0,1,2,研究研
23、究Pn(t)的变化规律；得到的变化规律；得到X(t)的期望和方差的期望和方差第38页/共44页第三十九页，共45页。若若X(t)=n,对对t到到t+t的出生和死亡概率作以下的出生和死亡概率作以下(yxi)假设假设1)出生出生(chshng)一人的概率与一人的概率与 t成正比，记成正比，记bn t;出生出生(chshng)二人及二人以上的概率为二人及二人以上的概率为o(t).2)死亡一人死亡一人(y rn)的概率与的概率与 t成正比，记成正比，记dn t;死亡二人及二人以上的概率为死亡二人及二人以上的概率为o(t).3)出生和死亡是相互独立的随机事件。出生和死亡是相互独立的随机事件。bn与与n成
24、正比，记成正比，记bn=n,出生概率出生概率；dn与与n成正比，记成正比，记dn=n，死亡概率死亡概率。进一步假设进一步假设模型假设模型假设第39页/共44页第四十页，共45页。建模建模为得到为得到(d do)Pn(t)=P(X(t)=n),的变化的变化规律，考察规律，考察Pn(t+t)=P(X(t+t)=n).事件事件(shjin)X(t+t)=n的分解的分解X(t)=n-1,t内出生内出生(chshng)一人一人X(t)=n+1,t内死亡一人内死亡一人X(t)=n,t内没有出生和死亡内没有出生和死亡其它其它(出生或死亡二人，出出生或死亡二人，出生且死亡一人，生且死亡一人，)概率概率Pn(t
25、+t)Pn-1(t)bn-1 t Pn+1(t)dn+1 t Pn(t)1-bn t-dn t o(t)第40页/共44页第四十一页，共45页。一组递推微分方程一组递推微分方程求解求解(qi ji)的困难和不的困难和不必要必要(t=0时已知人口为时已知人口为n0)转而考察转而考察(koch)X(t)的期望的期望E(X(t)和方和方差差D(X(t)bn=n，dn=n微分方程微分方程(wi fn fn chn)建模建模第41页/共44页第四十二页，共45页。X(t)的期望的期望求解求解(qi ji)基本方程基本方程n-1=kn+1=k第42页/共44页第四十三页，共45页。求解求解(qi ji)比较：确定性指数增长模型比较：确定性指数增长模型X(t)的方差的方差E(t)-(t)-=r D(t)E(t)+(t)Et0n0,D(t)X(t)大致大致(dzh)在在 E(t)2(t)范围内（范围内（(t)均方差）均方差）r 增长增长(zngzhng)概概率率r 平均增长率平均增长率第43页/共44页第四十四页，共45页。感谢您的观看感谢您的观看(gunkn)。第44页/共44页第四十五页，共45页。