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1、数学数学(shxu)建模优化模型建模优化模型第一页，共152页。优化模型的数学(shxu)意义 优化问题是在工程技术、经济管理和科学研究等领域中最常遇到的一类问题。设计师要求在满足强度要求等条件下合理选择材料的尺寸；公司经理要根据生产成本和市场需求确定产品价格和生产计划，使利润达到最大；调度人员要在满足物质需求和装载条件下安排(npi)从各供应点到各需求点的运量和路线，使运输总费用达到最低。第1页/共152页第二页，共152页。本章讨论的是用数学建模的方法来处理优化问题：即建立和求解所谓的优化模型。注意的是建模时要作适当的简化，可能使得结果不一定完全可行或达到实际上的最优，但是(dnsh)它基
2、于客观规律和数据，又不需要多大的费用。如果在建模的基础上再辅之以适当的检验，就可以期望得到实际问题的一个比较圆满的回答。本章介绍较为简单的优化模型，归结为微积分中的极值问题，因而可以(ky)直接使用微积分中的方法加以求解。第2页/共152页第三页，共152页。当你决定用数学建模的方法来处理一个优化问题时，首先要确定优化的目标，其次确定寻求的决策，以及决策受到哪些条件的限制。在处理过程中，要对实际问题作若干合理的假设(jish)。最后用微积分的进行求解。在求出最后决策后，要对结果作一些定性和定量的分析和必要的检验。第3页/共152页第四页，共152页。一、存储一、存储一、存储一、存储(cn ch
3、)(cn ch)模型模型模型模型第4页/共152页第五页，共152页。问题(wnt)的提出 工厂定期订购原料存入仓库供生产之用；车间一次加工零件供装配线生产之用；商店成批订购各种商品，放进货柜以备零售；诸多问题都涉及到一个存储量为多大的问题：存储量过大，会增加存储费用(fi yong)；存储量过小，会增加订货次数，从而增加不必要的订购费用(fi yong).本节讨论(toln)在需求稳定的情况下，两个简单的存储模型:不容许缺货和容许缺货的存储模型.第5页/共152页第六页，共152页。1.不容许缺货的存储(cn ch)模型 例 配件厂为装配线生产若干种部件.轮换生产不同的部件时因更换设备要支付
4、一定的生产准备费用（与产量无关）.同一(tngy)部件的产量大于需求时需支付存储费用.已知某一部件的日需求量为100件，生产准备费为5000元,存储费为每日每件一元.如果生产能力远大于需求，并且不容许出现缺货，试安排生产计划:即多少天生产一次（生产周期）、每次产量多少可使总费用最少？第6页/共152页第七页，共152页。分析(fnx)若每天生产(shngchn)一次，无存储费，生产(shngchn)准备金5000 元，故每天的总费用为5000 元；若10天生产一次，每次生产1000 件，准备金5000元，存储(cn ch)费900+800+100=4500 元。平均每天950元。若50天生产一
5、次，每次生产5000件，准备金5000元，存储费4900+4800+100=122500 元，平均每天2500 元。第7页/共152页第八页，共152页。以上分析表明:生产周期过短，尽管没有(mi yu)存储费，但准备费用高,从而造成生产成本的提高；生产周期过长,会造成大量的存储费用,也提高了生产成本.由此可以看到,选择一个合适的生产周期，会降低产品的成本；从而赢得竞争上的优势。第8页/共152页第九页，共152页。模型(mxng)假设 为处理上的方便，假设模型是连续型的，即周期 ，产量 均为连续变量.1.每天的需求量为常数 ；2.每次生产的准备费用为 每天每件的存储费为3.生产能力无限大，即
6、当存储量为零时，件产品可以立即生产出来.第9页/共152页第十页，共152页。建模 设存储量为 以 递减，直到 则有 在一个微小时间中段 中，存储费为因而在一个周期中，总存储费用为第10页/共152页第十一页，共152页。准备(zhnbi)费用为 ，故总费用为所以，每天的平均(pngjn)费用为第11页/共152页第十二页，共152页。模型(mxng)求解 原问题转变为使取极小值的问题。利用(lyng)求极值的方法，对式求导，并令其为零:即有:第12页/共152页第十三页，共152页。而将代入到式，得最小的平均(pngjn)费用为，被称为经济订货(dng hu)批量公式（EOQ公式）.第13页
7、/共152页第十四页，共152页。结果(ji gu)解释 由，式可以看到，当 （准备费用）提高时，生产周期和产量都变大；当 存储费增加时，生产周期和产量都变小；当需求量 增加时，生产周期变小而产量变大。这些结果都是符合常识的。以 代入、式得 元.第14页/共152页第十五页，共152页。注意的是：用此公式计算(j sun)的结果与原题有一定的误差，原因在于变量选择的不同.第15页/共152页第十六页，共152页。敏感性分析(fnx)讨论参数 对生产周期 的影响.我们用相对改变量来衡量结果对参数的敏感程度.对 的敏感程度记为 定义式为再由 得第16页/共152页第十七页，共152页。而代入上式，
8、得同理可得:第17页/共152页第十八页，共152页。即：每增加(zngji)，增加(zngji)每增加(zngji)，减少 注 此模型(mxng)也可适用于商店的进货问题.第18页/共152页第十九页，共152页。3.容许(rngx)缺货的模型 下面讨论的是容许缺货的问题(wnt).为此做以下的假设:生产能力无限大（相对于需求量），容许缺货，每天每件产品缺货造成的损失费为 但缺货量在下次补足。第19页/共152页第二十页，共152页。建模 因存储量不足而造成缺货时，可以认为存储量 为负值（如图所示），周期仍记为 是每周期的存储量，当 时，故有在 到 这段缺货时间内需求率不变，按原斜率继续下降
9、，由于规定缺货量需补足，所以在 时数量为 的产品立即达，第20页/共152页第二十一页，共152页。使下周期(zhuq)初的存储量恢复到 则每天的平均(pngjn)费用为 与不容许缺货的模型相似，一个周期内的存储费是 乘以图中三角形 的面积，缺货损失费是 乘以三角形面积 加上准备费，得一周期内的总费用为第21页/共152页第二十二页，共152页。第22页/共152页第二十三页，共152页。解模 为求使 达到最小的 在中分别对求偏导，并令其为零，即第23页/共152页第二十四页，共152页。由第二个方程(fngchng),得再由第一个方程(fngchng),得即再代入前一式,有第24页/共152
10、页第二十五页，共152页。由于每周期的供货量为 有记第25页/共152页第二十六页，共152页。与不容许缺货(qu hu)模型的结果、进行比较，得到 结果分析 由式知 再由知 此说明周期及供货量应增加，周期初的存储量减少。缺货损失费 越大，越小（越接近1），从而第26页/共152页第二十七页，共152页。由此说明不容许(rngx)缺货是容许(rngx)缺货的特殊情况.第27页/共152页第二十八页，共152页。二、生猪二、生猪二、生猪二、生猪(shngzh)(shngzh)出售的最佳时机出售的最佳时机出售的最佳时机出售的最佳时机 一饲养场每天投入4元资金用于饲料、设备、人力，估计可使一头80公
11、斤重的生猪每天增加2公斤.目前生猪出售的市场价格为每公斤8元，但是预测每天会降低0.1元.问该场该什么时候出售这样(zhyng)的生猪，如果这样(zhyng)的估计和预测有出入，对结果有多大的影响.第28页/共152页第二十九页，共152页。分析 造成价格(jig)变化的两大因素1.资金投入使得成本增加；2.市场因素使得价格(jig)降低.模型假设 每天投入4元资金使生猪体重每天增加常数 公斤，生猪出售的价格每天降低常数 （0.1元）。第29页/共152页第三十页，共152页。模型(mxng)建立 记 时间；生猪体重；出售的价格；出售的收入；每天的投入；纯利润。则有最后(zuhu)得纯利润为：
12、其中 求使 达到最大值的第30页/共152页第三十一页，共152页。模型(mxng)求解 该问题是二次函数的极值问题。在上式对 求导，并令其为零，则有得第31页/共152页第三十二页，共152页。敏感性分析(fnx)因在上面的讨论中，参数 是预测的，下面讨论当它们发生变化时对模型价格的影响。是 的增函数，下图反映了 与 的关系。1.设每天生猪价格的下降率 不变，研究 变化对 的影响。由式，得第32页/共152页第三十三页，共152页。第33页/共152页第三十四页，共152页。下表给出了 与 的数据(shj)关系。r1.51.61.71.81.92.02.12.2t02.54.76.78.41
13、011.4 12.7r2.32.42.52.62.72.82.93.0t13.9151616.9 17.8 18.6 19.320第34页/共152页第三十五页，共152页。2.设每天生猪体重的增加(zngji)公斤不变，研究 变化对 的影响。由式得即 是 的减函数。第35页/共152页第三十六页，共152页。第36页/共152页第三十七页，共152页。g0.06 0.07 0.08 0.090.10.11 0.12 0.13 0.14 0.15t3022.9 17.5 13.3107.35.03.13.31.4第37页/共152页第三十八页，共152页。用相对改变量来衡量结果对参数的敏感(m
14、ngn)程度。对 的敏感程度记为 定义式为由式，得再代入式，得第38页/共152页第三十九页，共152页。将 代入式，得此说明:若每天的体重增加 则出售时间推迟 类似可以定义 对 的敏感度由式可得第39页/共152页第四十页，共152页。当 时，可得此说明价格每降低 则出售的时间提早第40页/共152页第四十一页，共152页。说明:该模型的建模和解模都较为简单.我们的注意力是放在对模型的结果分析(fnx)上,即重点讨论敏感性分析(fnx)上.另外该模型还适用与其它与之类似的模型.第41页/共152页第四十二页，共152页。三、报童三、报童三、报童三、报童(botng)(botng)问题问题问题
15、问题 问题 报童每天清晨从邮局批进报纸进行零售，晚上将卖不掉的报纸返回邮局进行处理(chl).售出一份报纸可获得相应的利润，而处理(chl)一份报纸会造成亏损.为此要考虑报童如何确定每天的进货量以达到最大利润.随机性的函数(hnsh)极值问题第42页/共152页第四十三页，共152页。模型(mxng)假设 1.报童知道(zh do)卖出各个数量的概率的大小.2.设报童每天批进报纸 份，进价为 元，卖价为 元，处理价为 元.第43页/共152页第四十四页，共152页。建模 由假设，报童每卖出一份报纸获利 元，每处理一份报纸亏损 元。当卖出量 时，报童获利元，当卖出量 时，报童获利元.由大数定律，
16、报童(botng)每天的平均收入因为每天收入的期望值来表示.第44页/共152页第四十五页，共152页。设每天卖出 份报纸的概率为 因而期望收入为从而问题转变为求出进货量 使期望收入 达到最大.第45页/共152页第四十六页，共152页。解模 为了用微积分的方法解决该问题，将变量连续化，从而相应的概率函数 用连续型随机变量的概率密度 来表示.于是由连续性随机变量的数学期望公式由极值(j zh)存在的条件，对式求导并令其为零，再由含第46页/共152页第四十七页，共152页。参变量积分(jfn)的求导公式得整理(zhngl)后得:第47页/共152页第四十八页，共152页。即:再由合比定理(dn
17、gl)得第48页/共152页第四十九页，共152页。即再由概率密度的性质(xngzh):从而(cng r)上式为第49页/共152页第五十页，共152页。由于 是一个常数，当概率密度为已知时，可由式计算相应的 在统计学中数 又称为 分位数.第50页/共152页第五十一页，共152页。数值 是卖出一份报纸的收益与处理一份报纸所造成亏损的比值。这个比值越大，进报量就应该大一点，如果处理价 变小，则应该少进一些.第51页/共152页第五十二页，共152页。应用(yngyng)举例 设某报亭销售新民晚报，售价为 元，进价为元，处理价为 元，销售量服从参数为 的指数分布，求相应的进货量解 由即第52页/
18、共152页第五十三页，共152页。在Mathematic下计算(j sun)积分，输入命令.IntegrateE(-0.015x)*0.015,x,0,74得积分(jfn)值为0.670441，即进报纸的份数近似为74.分析，若提高处理价，如处理价为 元，则第53页/共152页第五十四页，共152页。输入(shr)命令：IntegrateE(-0.015x)*0.015,x,0,92得积分(jfn)值为0.748421，即进货量为92.第54页/共152页第五十五页，共152页。四、森林救火四、森林救火四、森林救火四、森林救火(ji hu)(ji hu)问题问题问题问题 问题 在森林发生火灾时
19、，要派出消防人员去灭火.需要选择(xunz)合理的方案，使得救火的费用和森林被毁所造成的损失达到最低.第55页/共152页第五十六页，共152页。问题(wnt)分析 设起火时间为 开始灭火，时火被扑灭，在整个灭火过程中，总费用由损失费与救援费构成，设在时刻 时，森林被毁面积为 则被毁总面积为 考虑 单位时间被毁面积，它表示的是火势的蔓延(mn yn)程度，注意到 时，火势越来越大，时，火势逐渐减少，且第56页/共152页第五十七页，共152页。由此即得关系(gun x)第57页/共152页第五十八页，共152页。假设(jish)单位面积损失费为 ；当 时，与时间成正比，即 称为蔓延速度；派出
20、名消防队员进行灭火，每名队员的灭火速度为 ；则当 时，有每名消防队员单位时间的灭火费用为 ，于是在灭第58页/共152页第五十九页，共152页。火过程中，每名队员的费用为 ；每名队员的一次性开支为 注 模型假设的意义：火势以起火点为中心，以均匀速度向四周呈圆形蔓延，蔓延的半径 与时间 成正比。又被毁面积与 成正比，故被毁面积 与 成正比，从而 与 成正比.第59页/共152页第六十页，共152页。火过程中，每名队员(du yun)的费用为 ；每名队员(du yun)的一次性开支为 注 模型假设的意义：火势以起火点为中心，以均匀速度向四周呈圆形蔓延，蔓延的半径 与时间 成正比。又被毁面积与 成正
21、比，故被毁面积 与 成正比，从而 与 成正比。第60页/共152页第六十一页，共152页。火过程中，每名队员(du yun)的费用为 ；每名队员(du yun)的一次性开支为 注 模型假设的意义：火势以起火点为中心，以均匀速度向四周呈圆形蔓延，蔓延的半径 与时间 成正比。又被毁面积与 成正比，故被毁面积 与 成正比，从而 与 成正比。第61页/共152页第六十二页，共152页。又，每名消防队员的灭火速度 为常量，它将火势的蔓延速度压低为负值，因此第62页/共152页第六十三页，共152页。由于 此说明要把火扑灭，应满足 名消防队员。记 因 即有 即由此得第63页/共152页第六十四页，共152
22、页。由定积分的几何(j h)意义，得第64页/共152页第六十五页，共152页。建模 设派出 名消防队员，则由前面讨论知:森林总损失费为 开支费用为 于是目标函数为第65页/共152页第六十六页，共152页。解模 因 作变换 从而将目标函数化为其中，是一个与 无关的常量。两边对 求导，并令其为零，则有第66页/共152页第六十七页，共152页。由于(yuy)解之得：而 相应的极值点为第67页/共152页第六十八页，共152页。从上式中可以看到，要扑灭火势就得派出 名消防队员，并预计灭火需要的时间为 分析(fnx)参数 为已知，而 由森林的类型，消防队员的素质等因素确定.参数 的值，可从灭火现场
23、的考察来估计.第68页/共152页第六十九页，共152页。有人认为每名消防队员的救火速度为常量的假设是不妥当的，因为当火势蔓延程度 大的时候消防队员的救火速度会小些，于是 是 的单调减函数，若假设或于是用替换 可得第69页/共152页第七十页，共152页。从而得到 的极值点为第70页/共152页第七十一页，共152页。五、变分法简介五、变分法简介五、变分法简介五、变分法简介(jin ji)(jin ji)众所周知，平面上两点的距离以直线段最短，现在我们用数学的方法来推导(tudo)这一结论.设平面上两定点为 和 这两点的连线的方程为 弧段 的长为 显然函数 还需满足条件:第71页/共152页第
24、七十二页，共152页。则原问题转变为求函数 使得成立并使弧长 取最小值。由于 故积分当 时取最小值，即该曲线为直线段时距离达到最小值。第72页/共152页第七十三页，共152页。一、固定端点的简单(jindn)泛函极值问题 设 为函数类，若有法则，使在该法则之下，对中的每一个元素都可以确定一个相应的数与之对应，则称该法则为 上的一个泛函。例如，取 区间上的黎曼可积函数类，定义泛函 为在此定义之下，函数类 称为泛函的定义域，泛函一第73页/共152页第七十四页，共152页。般记为 考虑(kol)简单泛函其中，函数 且问题是求函数 满足条件，并使由式定义的泛函取得极小值或极大值。这样的问题称为泛函
25、第74页/共152页第七十五页，共152页。极值(j zh)问题。假设函数 使泛函 取得极值，任意取得函数 要求它满足条件 若限制函数在 的范围中，则函数第75页/共152页第七十六页，共152页。在 时取得(qd)极值。由函数取得极值的必要条件，有 因再由复合(fh)函数微分法，得第76页/共152页第七十七页，共152页。再由分部(fn b)积分公式，第二项积分可化为由得第77页/共152页第七十八页，共152页。因而(yn r)有所以(suy)，第78页/共152页第七十九页，共152页。由函数 的任意性及因子 的连续性，则有第79页/共152页第八十页，共152页。是使泛函 取得极值的
26、函数应满足的方程。这个方程成为 Eular方程。注意到，Eular方程经展开(zhn ki)后，成为该方程(fngchng)为一个二阶常微分方程(fngchng)，方程(fngchng)的解还需满足条件，即第80页/共152页第八十一页，共152页。二、固定端点的简单(jindn)泛函的条件极值问题 考虑(kol)简单泛函其中函数 且及满足条件第81页/共152页第八十二页，共152页。求函数 满足条件和并使由式定义的泛函取得极小值。这样的问题就称为泛函条件极值问题。如同条件极值，泛函条件极值问题也可拉格朗日乘数(chn sh)法加以解决。为此作辅助函数和辅助(fzh)泛函第82页/共152页
27、第八十三页，共152页。其中(qzhng)为引入的待定常数。得到的使泛函 取极值的函数 即为原问题的解。第83页/共152页第八十四页，共152页。六、生产六、生产六、生产六、生产(shngchn)(shngchn)安排问题安排问题安排问题安排问题泛函极值(j zh)问题 工厂与客户签定合同，规定工厂在时间 内向客户提供 件产品。为了使工厂在生产过程中的费用达到最小，工厂应如何安排生产？第84页/共152页第八十五页，共152页。模型(mxng)假设 1.工厂在单位时间内生产这类产品的生产费用是当时(dngsh)产品增长率的函数;2.工厂必须按合同规定交付产品(chnpn)，提前交付或滞后交付
28、都属违约，存储费与产量成正比。第85页/共152页第八十六页，共152页。建模 设在时刻 时开始生产，为时刻 时的累计产量，则由条件所设，有 记在时刻 时单位时间内所生产的产品费用为 产品增长率为 即由假设(jish)1，有第86页/共152页第八十七页，共152页。因而有 令其中 为比例常数，所以在时段 内总的生产费用为第87页/共152页第八十八页，共152页。记在 时刻单位时间内的产品存储费用为 由假设2.有 其中 为比例常数。于是在时间段 总存储费用为所以在时间段 总费用为第88页/共152页第八十九页，共152页。即问题转变为求满足条件 的函数(hnsh)使得泛函取得极小值。第89页
29、/共152页第九十页，共152页。解模 由于被积函数为 故相应的Eular方程(fngchng)为与构成一个二阶常微分方程的边际问题(wnt)。方程的通解为第90页/共152页第九十一页，共152页。再由初始条件 得当生产计划为 时，工厂完成合同中的生产任务的总费用最小。第91页/共152页第九十二页，共152页。分析(fnx)由于 所以 的图象为开口向上的经过原点一条抛物线。又由于当 时，所以只有在第一象限中的部分才是问题的解。1.若当 时，总有即有第92页/共152页第九十三页，共152页。即有即等价(dngji)于第93页/共152页第九十四页，共152页。此说明，在条件(tiojin)
30、满足时，所规定的生产计划是最优的计划。2.若式不成立(chngl)，即则必存在 使得 令则平移曲线 在时间 区间中，由可完成相应的生产计划。但此时要增加存储费 第94页/共152页第九十五页，共152页。这显然是不合理的。反之在区间 中不安排生产，而从 开始生产，并到 时完成生产计划。此为最佳生产计划。第95页/共152页第九十六页，共152页。应用(yngyng)例1 设 则相应的生产(shngchn)方案为第96页/共152页第九十七页，共152页。例2 设 则同样可以(ky)得到令 即在区间 按 安排生产。思考：该问题(wnt)解的意义是什么？第97页/共152页第九十八页，共152页。
31、七、商品七、商品七、商品七、商品(shngpn)(shngpn)的最优价格的最优价格的最优价格的最优价格条件(tiojin)泛函极值问题 如何根据市场的变化确定商品的价格，以获得(hud)最大利润，这是企业经营决策中的一个重要问题。第98页/共152页第九十九页，共152页。模型(mxng)假设 根据供销平衡的原则，设产量和销售量均为 每件产品的生产成本为 价格为 则总成本为 销售收入为第99页/共152页第一百页，共152页。建模 在市场竞争的制约下，销售量是价格(jig)的减函数，即此函数称为需求函数。因而(yn r)在总成本不变的情况下，利润为从而问题转变为求 使 达到最大。第100页/
32、共152页第一百零一页，共152页。解模 当销售价格 不随时间变化而变化时，可采用求极值的方法。即令即 在经济学中，上式的左端称为边际收入，右边称为边际成本，因此式所反映的一个重要的定律(dngl)：最优经济第101页/共152页第一百零二页，共152页。效益(xioy)是当边际收入等于边际成本时取得。模型(mxng)分析 设需求函数 在该问题中，称为绝对需求量，表示向社会提供的免费产品的需求量。而表示市场需求对价格的敏感(mngn)程度。第102页/共152页第一百零三页，共152页。此时(c sh)由此得到(d do)，上式说明(shumng)最优价格由两部分组成：第一部分为成本的一半，另
33、一部分与绝对需求量成正比，与敏感程度成反比。第103页/共152页第一百零四页，共152页。要求在一段时间 内达到(d do)总销售量 的情况。设价格 为时间的函数。并设需求函数仍然为则相应(xingyng)的总利润为且函数 还需满足条件第104页/共152页第一百零五页，共152页。此是一个条件泛函极值问题(wnt)。由拉格朗日乘数法，得因被积函数(hnsh)中未出现 故相应的Eular方程为第105页/共152页第一百零六页，共152页。即解得：将代入到条件 得到第106页/共152页第一百零七页，共152页。因被积函数(hnsh)为常数，得即所以(suy)，第107页/共152页第一百零
34、八页，共152页。解出 得代入，有即第108页/共152页第一百零九页，共152页。从式中可以看到，最优价格与成本无关，若销售周期延长，则价格 可定得高一些；若销售量 增多，则价格 可低一些。考虑(kol)因滞销所产生的影响 假设其它情况如同 此时由于因滞销而造成了损失，因而成本不再(b zi)是常量。而应该是时间的函数。设 的相对增长率为 即第109页/共152页第一百一十页，共152页。注意(zh y)到初始成本解此微分方程(wi fn fn chn)、，得到解于是如同的讨论(toln)，总收益为限制条件为第110页/共152页第一百一十一页，共152页。由此得到(d do)条件泛函为相应
35、(xingyng)的Eular方程为第111页/共152页第一百一十二页，共152页。即解出 得再代入限制(xinzh)条件得第112页/共152页第一百一十三页，共152页。积分(jfn)后得到，从而(cng r)第113页/共152页第一百一十四页，共152页。代入式，得到(d do)第114页/共152页第一百一十五页，共152页。第115页/共152页第一百一十六页，共152页。第116页/共152页第一百一十七页，共152页。八、赛跑八、赛跑八、赛跑八、赛跑(sipo)(sipo)的最优速度安排的最优速度安排的最优速度安排的最优速度安排 问题 赛跑时运动员要根据自己的体力来合理安排速
36、度是重要的技术(jsh)问题。能充分发挥运动员的潜力。使得比赛的成绩有所提高。那么如何安排体能使比赛成绩达到最佳？第117页/共152页第一百一十八页，共152页。假设(jish)1.运动员能发挥出的最大冲力是有限的。在除了(ch le)其它因素的干扰下，每个运动员认为自己的最大冲力是常数。2.在运动的时候，来自体外的阻力和来自体内的阻力存在(cnzi)，与速度成正比；3.在运动过程中，运动员通过呼吸从外界吸入氧气，然后通过体内的消化系统、血液系统等进行新陈代谢作用，为运动员提供能量。假定运动员足够强壮，使得这第118页/共152页第一百一十九页，共152页。种能量的提供(tgng)速度在运动
37、期间保持常量。4.运动员在运动过程中体内所存储的能量是逐渐减少的。对每个运动员来说，在平时能提供的体能(t nn)可设为常量。这个量就是运动刚开始时体能(t nn)的初始值。第119页/共152页第一百二十页，共152页。建模 假设比赛距离为 运动员跑的时间为 速度函数为 则有则问题转变为求速度 使得在赛跑距离 一定时，赛跑时间 取得最小值。该问题等价于求速度函数使得在赛跑时间一定时，赛跑的距离 取得最大值。第120页/共152页第一百二十一页，共152页。记 为运动员能够发挥出来的冲力函数。记 为运动员的最大冲力，则有 记 为体内外的总阻力系数。由假设 2总阻力为则由牛顿定律，有其中 为为运
38、动员的质量。取 则式可写为第121页/共152页第一百二十二页，共152页。初始条件为从而问题转变成如何控制函数 使得在赛跑时间一定时，由和所确定的赛跑距离 达到最大。记 为运动员的体能函数，为运动员体能的最大值，由假设4，知 为常量，且有第122页/共152页第一百二十三页，共152页。记 为在单位时间内由氧的新陈代谢为运动员所提供能量，由假设3，为常量，单位时间内体能的变化为由氧的新陈代谢为运动员所提供能量和所消耗的能量（为获得速度 而所作的功 ）的差，即现在的问题是：寻找合适的函数 使得在赛跑时间 一定时，由，所确定的赛跑距离 达到最大值。第123页/共152页第一百二十四页，共152页
39、。解模 把整个(zhngg)过程分成三个阶段：初始阶段、中间阶段和最后阶段。1.初始(ch sh)阶段 这个阶段的时间段为 其中 为待定的常量，且 在这个阶段中，赛跑的速度为 在这个阶段中，假设运动员是以全力赛跑的，即以最大的冲力在加速跑。此时即有 从而方程为第124页/共152页第一百二十五页，共152页。由和初始条件 可解出将代入，则变成由及初始条件可得第125页/共152页第一百二十六页，共152页。在中应有(yn yu)因 及由连续函数的零点定理，知存在某个时刻 使得第126页/共152页第一百二十七页，共152页。若运动员赛跑的时间(shjin)则运动员应该以最大的冲力去赛跑，此时赛
40、跑只有初始阶段，即如果让运动员用最大冲力去跑，而要保持 则能跑的最大距离为第127页/共152页第一百二十八页，共152页。所以，若赛程不超过 则运动员应该以最大的冲力来跑才是最优策略。2.最后(zuhu)阶段 设此阶段为 其中 为待定参数，且而赛跑速度为 假设在这个时段中运动员已经把全部存储的能量(nngling)使用第128页/共152页第一百二十九页，共152页。完了，而是依靠(yko)在 时获得的速度的惯性来冲刺。因此有将代入，得由条件(tiojin)，得第129页/共152页第一百三十页，共152页。该方程(fngchng)可写成相应(xingyng)的解为其中 为这个阶段的初始速度
41、。第130页/共152页第一百三十一页，共152页。3.中间(zhngjin)阶段 为了确定数值 设该阶段为 赛跑速度为 现求取得最大赛程 时的速度 由于在初始阶段和最后(zuhu)阶段的速度都已经有了相应的表达式和，故赛程为第131页/共152页第一百三十二页，共152页。其中(qzhng)还满足 由方程(fngchng)及初始条件，得方程(fngchng)当 时得到第132页/共152页第一百三十三页，共152页。现在的问题(wnt)是，在条件满足的条件下，求泛函的极值。由Lagrange 乘数法，作辅助泛函在上式中将与 无关的量略去，则可写成第133页/共152页第一百三十四页，共152
42、页。在上式中，第一项依赖于 后两项依赖于数值因而上式是对函数 的泛函极值问题。对函数 是函数的极值问题，由 Eular方程，有第134页/共152页第一百三十五页，共152页。即从中解出第135页/共152页第一百三十六页，共152页。4.确定(qudng)参数 因 是连续函数，故在 时有即得(21)(22)(24)第136页/共152页第一百三十七页，共152页。在(21)中将(zhngjing)代入后积分得在最后阶段能量为零，把 代入能量公式，并积分得(24)第137页/共152页第一百三十八页，共152页。(25)由(23)、(24)和(25)可确定三个参数，由此可确定速度 最优速度的函
43、数(hnsh)图形如图。第138页/共152页第一百三十九页，共152页。模型(mxng)分析 在这个模型中，运动员的生理参数是要预先给出的，它们是 一般可以根据统计资料取得。第139页/共152页第一百四十页，共152页。赛跑成绩(chngj)的理论值和实际值的比较赛程赛程世界记录世界记录理论成绩理论成绩相对误差相对误差%初始阶段初始阶段最后阶段最后阶段50码码5.15.15.095.09-0.2-0.25050米米5.55.55.485.48-0.4-0.46060码码5.95.95.935.930.50.56060米米6.56.56.46.4-1.5-1.5100100码码9.19.19
44、.299.292.12.1100100米米9.99.910.0710.071.71.7第140页/共152页第一百四十一页，共152页。赛跑成绩的理论值和实际(shj)值的比较赛程赛程世界记录世界记录理论成绩理论成绩相对误差相对误差%初始阶段初始阶段最后阶段最后阶段200米米19.519.519.2519.25-1.3-1.3220220码码19.519.519.3619.36-0.7-0.7400400米米44.544.543.2743.27-2.8-2.81.781.780.860.86440440码码44.944.943.6243.62-2.9-2.91.771.770.860.8680
45、0800米米1:44.31:44.31:45.951:45.951.61.61.071.071.081.08880880码码1:44.91:44.91:46.691:46.691.71.71.061.061.081.08第141页/共152页第一百四十二页，共152页。赛跑成绩(chngj)的理论值和实际值的比较赛程赛程世界记录世界记录理论成绩理论成绩相对误差相对误差%初始阶段初始阶段最后阶段最后阶段1000米米2:16.22:16.22:18.162:18.161.41.40.980.981.161.1615001500米米3:33.13:33.13:49.443:49.443.03.00.
46、880.881.311.311 1英里英里3:51.13:51.13:57.283:57.282.72.70.870.871.341.3420002000米米4:56.24:56.25:01.145:01.141.71.70.840.841.431.4330003000米米7:39.27:39.27:44.967:44.961.21.20.80.81.61.62 2英里英里8:19.88:19.88:20.828:20.820.20.20.80.81.631.63第142页/共152页第一百四十三页，共152页。赛跑成绩(chngj)的理论值和实际值的比较赛程赛程世界记录世界记录理论成绩理论成
47、绩相对误差相对误差%初始阶段初始阶段 最后阶段最后阶段5000米米13:16.613:16.613:13.1113:13.11-0.4-0.40.770.771.821.826 6英里英里26:2726:2725:57.6225:57.62-3.1-3.10.750.752.12.11000010000米米27.39.427.39.426.54.126.54.1-2.7-2.70.750.752.122.12注 表中的最后数据(shj)以秒为单位。第143页/共152页第一百四十四页，共152页。评注(pngzh)初始阶段速度公式显然(xinrn)适合于短跑的情况。因此用短跑记录与由、计算出的
48、理论数据作比较，用最小二乘法可获得 的值。同样，用中长跑的记录与所有的速度公式计算出来的理论数据作比较，用最小二乘法可获得 的值。利用(lyng)上面的数据表，可得第144页/共152页第一百四十五页，共152页。第145页/共152页第一百四十六页，共152页。练练练练 习习习习1.在存储模型中,增加购买货物本身的费用(fi yong),重新确定最优订货周期和订货批量,证明在不容许缺货模型中与原来的一样,而在容许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来的小.2.要在雨中从一处沿直线跑到另一处,若雨速为常数且方向保持不变,试建立(jinl)数学模型讨论是否跑得越快,淋雨量越少?第146页/共1
49、52页第一百四十七页，共152页。3.观察鱼在水中的运动,可发现鱼的游动路线并不是水平的,而是突发地,锯齿状地周期性游动.在一个周期内鱼先向上游动,然后再向下滑行（如下图所示）,我们有理由认为,鱼是在长期进化过程中选择到的这种游泳方式是消耗(xioho)能量最小的运动方式.第147页/共152页第一百四十八页，共152页。练习2的提示 将人体简化成一个长方形,假定这个正方形的前,侧,后三面的面积之比为 选取坐标系,把人的行走速度表为向量 其中 把雨速表示为向量 并记两处的直线距离为 由此得出淋雨量的表达式,然后(rnhu)讨论各个参数的情况.可以用图解方法或解析方法来说明.在什么情况下走得越快
50、淋雨越小,在什么情况下走得越快淋雨量越大.第148页/共152页第一百四十九页，共152页。练习3的提示 假设鱼总是以常速 游动的,记鱼在水中的净重为 而鱼在向下滑行运动时的阻力是 运动方向的分力;而鱼在向上(xingshng)游动时所付出的力是 在运动方向的分力与游动所受阻力之和.在游动时的阻力是滑行阻力的 倍,水平游动的阻力也是滑行阻力的倍,试写出这些阻力的表达式.试证明:当鱼从 运动到同一水平 时,沿折线 运动时所消耗(xioho)的能量与沿水平线运动第149页/共152页第一百五十页，共152页。所消耗(xioho)的能量之比为（设向下滑行时不消耗(xioho)能量）从经验观察到:试对