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1、数学数学(shxu)物理方法第四章物理方法第四章第一页，共70页。2 2学习要求学习要求学习要求学习要求(yoqi)(yoqi)与内容提要与内容提要与内容提要与内容提要目的与要求：掌握目的与要求：掌握(zhngw)留数的概念及计算方法。留数的概念及计算方法。掌握掌握(zhngw)用留数定理计算典型实定积分的方用留数定理计算典型实定积分的方 法。法。重点重点(zhngdin)：难点：难点：理解解析函数的积分值与函数的奇点的关系。理解解析函数的积分值与函数的奇点的关系。留数的计算与留数定理留数的计算与留数定理第1页/共70页第二页，共70页。3 3 如图如图:在在 l 围成的区域中存在围成的区域中
2、存在f(z)的孤的孤立立(gl)奇点奇点z0，我们可引入曲线，我们可引入曲线l1将此将此奇点挖掉，而构成复连通区域，奇点挖掉，而构成复连通区域，f(z)在在此复连通区域解析。此复连通区域解析。由柯西定理或或 l与与l0方向相反方向相反(xingfn)，但与，但与-l0方向相方向相同。同。又又回顾(hug):复连通域柯西定理第2页/共70页第三页，共70页。4 4（一）留数引入（一）留数引入（一）留数引入（一）留数引入设设为为在在l构成区域内的一个孤立奇点构成区域内的一个孤立奇点;.的某去心区域的某去心区域(内半径为零内半径为零)(2)取取l0为为去心区域去心区域内包含内包含的任一条正向简单闭曲
3、线的任一条正向简单闭曲线4.1 4.1 4.1 4.1 留数定理留数定理留数定理留数定理(dngl)(dngl)(dngl)(dngl)ll001010)()()(azzazzazfkk+-+-+=-LLLLL+-+-+kkzzazza)()(001内的洛朗级数内的洛朗级数:在在(1)由洛朗级数展开定理洛朗级数展开定理:在在去心区域内解析，可去心区域内解析，可展开洛朗级数。展开洛朗级数。第3页/共70页第四页，共70页。5 500 (柯西定理柯西定理)LLL+-+-+=-l0l0kkzzzazzzad)(d)(1010LL+-+-+zzzazzzazakl0kl0l0d)(d)(d001012
4、-p p=ia的系数的系数洛朗级数中负幂项洛朗级数中负幂项101)(-zza由柯西定理由柯西定理,我们我们(w men)(w men)有有积分积分zzfia ald)(211 1 p p=-即即 l0zzfd)(lz=zfd)(各正幂项各正幂项各正幂项各正幂项fk(z-z0)=ak(z-z0)kfk(z-z0)=ak(z-z0)k是解析是解析是解析是解析(ji x)(ji x)函数函数函数函数第4页/共70页第五页，共70页。6 6（二）留数定理（二）留数定理（二）留数定理（二）留数定理(dngl)(dngl)说明说明(shumng):Res f(bj)：f(z)在的无心邻域在的无心邻域(ln
5、 y)0|z bj|R中的中的罗朗级数的系数罗朗级数的系数 a-1(j)，称为，称为f(z)在在 z=bj 的留数。的留数。a-1(j)：f(z)在它的第在它的第j 个孤立奇点的邻域内罗朗展开式中个孤立奇点的邻域内罗朗展开式中(z-bj)-1 的系数。的系数。1.留数定理留数定理在区域在区域 B内除有限个孤内除有限个孤外处处解析外处处解析,l 是闭区域是闭区域B包围诸奇包围诸奇点的一条正向简单闭曲线点的一条正向简单闭曲线,那么那么立奇点立奇点函数函数l：B内任意的包含有限个孤立奇点的闭合曲线。内任意的包含有限个孤立奇点的闭合曲线。.第5页/共70页第六页，共70页。7 7证证两边同时除以两边同
6、时除以 ，则有，则有.由复连通由复连通(lintng)域的柯西定理域的柯西定理)(Res1=njbjf第6页/共70页第七页，共70页。8 8(1)(1)(1)(1)方程左边：解析方程左边：解析方程左边：解析方程左边：解析(ji x)(ji x)(ji x)(ji x)函数的积分值；方程右边：函数的积分值；方程右边：函数的积分值；方程右边：函数的积分值；方程右边：函数奇点的留数。函数奇点的留数。函数奇点的留数。函数奇点的留数。留数定理：将上述两者建立了一种关系。留数定理：将上述两者建立了一种关系。留数定理：将上述两者建立了一种关系。留数定理：将上述两者建立了一种关系。(2)(2)(2)(2)要
7、计算解析要计算解析要计算解析要计算解析(ji x)(ji x)(ji x)(ji x)函数的积分，关键：计算留数；函数的积分，关键：计算留数；函数的积分，关键：计算留数；函数的积分，关键：计算留数；(3)(3)(3)(3)留数理论：复变函数的积分与级数相结合的产物；留数理论：复变函数的积分与级数相结合的产物；留数理论：复变函数的积分与级数相结合的产物；留数理论：复变函数的积分与级数相结合的产物；(4)bj(j=1,2,)(4)bj(j=1,2,)(4)bj(j=1,2,)(4)bj(j=1,2,)是是是是 l l l l 所包围的所包围的所包围的所包围的f(z)f(z)f(z)f(z)的所有奇
8、点，而不的所有奇点，而不的所有奇点，而不的所有奇点，而不是是是是f(z)f(z)f(z)f(z)所有的奇点。所有的奇点。所有的奇点。所有的奇点。即：即：第7页/共70页第八页，共70页。9 9(1)如果如果为为的可去奇点的可去奇点,如果如果 为为 的一级极点的一级极点,那末那末规则规则(guz)1(guz)1(2)如果如果为为的本性奇点的本性奇点,(3)如果如果为为的极点的极点,则有如下计算规则则有如下计算规则展开展开则需将则需将成洛朗级数成洛朗级数求求求求1-a a求求求求a a-1-1-1-1)()(0kkkzzazf-=-=2.2.留数的计算方法留数的计算方法求求求求a a-1-1-1-
9、1第8页/共70页第九页，共70页。1010例例1 求求在在的留数的留数.解解 在在内内的洛朗级数的洛朗级数的洛朗级数的洛朗级数为为:展开展开将将成洛朗级数求成洛朗级数求1-a第9页/共70页第十页，共70页。1111例例2 求求在在的留数的留数.解解如果如果 为为 的的 级极点级极点,规则规则(guz)2(guz)2那末那末(n m)第10页/共70页第十一页，共70页。1212例例3 求求在在的留数的留数.解解1是是的三级零点的三级零点由规则由规则(guz)3得得第11页/共70页第十二页，共70页。1313 利用洛朗展开式求利用洛朗展开式求:解解2第12页/共70页第十三页，共70页。1
10、414说明说明(shumng):如如 为为 m 级极点，当级极点，当 m 较大而导数又难以计算时较大而导数又难以计算时,可直接展开洛朗级数求可直接展开洛朗级数求来计算留数来计算留数.2.在应用在应用(yngyng)规则规则2时时,取得取得(qd)(qd)比实际的级数高比实际的级数高.1.在实际计算中应灵活运用计算规则在实际计算中应灵活运用计算规则.为了计算方便一般不要将为了计算方便一般不要将m第13页/共70页第十四页，共70页。1515例例4 计算积分计算积分l为正向圆周为正向圆周:解解为一级极点为一级极点,为二级极点为二级极点,f(z)第14页/共70页第十五页，共70页。1616规则规则
11、(guz)3(guz)3 如果如果设设及及在在都解析都解析，那末那末为为的一级极点的一级极点,且有且有例例5 5 计算计算f(z)=在在z=0处的留数处的留数.解解:P(z)=ez,Q(z)=sinz，于是，于是(ysh)P(0)=1,Q(0)=0,Q(0)=1.第15页/共70页第十六页，共70页。1717例例6解解第16页/共70页第十七页，共70页。1818（三）无穷远点的留数（三）无穷远点的留数（三）无穷远点的留数（三）无穷远点的留数注意积分路线注意积分路线注意积分路线注意积分路线(lxin)(lxin)取顺时针方向取顺时针方向取顺时针方向取顺时针方向说明说明(shumng)记作记作1
12、.1.定义定义(dngy)(dngy)1)(Res-=af1-=a设函数设函数在圆环域在圆环域内解析内解析，l为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线，点的留数点的留数，在在为为)(zf的值与的值与l无关，则称此定值无关，则称此定值那么积分那么积分第17页/共70页第十八页，共70页。1919.证证由留数定义由留数定义(dngy)有有:(绕原点的并将绕原点的并将内部的正向简单闭曲线内部的正向简单闭曲线)包含在包含在 2.2.留数和定理留数和定理如果函数如果函数在扩充复平面内只有有限个在扩充复平面内只有有限个孤立奇点孤立奇点,那末那末在所有各奇点在所有各奇
13、点(包括包括 点点)的留数的总和必等于零的留数的总和必等于零.第18页/共70页第十九页，共70页。2020说明说明(shumng):由定理得由定理得(留数定理留数定理(dngl)(dngl)计算计算(j sun)积分积分计算无穷远点的留数计算无穷远点的留数.优点优点:使计算积分进一步得到使计算积分进一步得到简化简化.(避免了计算诸有限点处的留数避免了计算诸有限点处的留数)第19页/共70页第二十页，共70页。2121解：共有解：共有解：共有解：共有(n yu)(n yu)(n yu)(n yu)七个奇点：七个奇点：七个奇点：七个奇点：前前前前6 6 6 6个个个个根根根根均均均均在在在在内内
14、内内部部部部，故故故故由由由由留留留留数数数数和和和和定定定定理理理理可可可可用用用用求求求求无限远奇点留数解此题。即无限远奇点留数解此题。即无限远奇点留数解此题。即无限远奇点留数解此题。即例7 计算(j sun)而而 故故 。从而。从而(cng r)(cng r)第20页/共70页第二十一页，共70页。22224.1 1.（1）（3）（5）（7）（9）2.（1）（3）3.第21页/共70页第二十二页，共70页。23234.2 4.2 4.2 4.2 应用应用应用应用(yngyng)(yngyng)(yngyng)(yngyng)留数定理计算实变函数留数定理计算实变函数留数定理计算实变函数留数
15、定理计算实变函数定积分定积分定积分定积分第22页/共70页第二十三页，共70页。2424 留数定理计算实变函数定积分要点：留数定理计算实变函数定积分要点：设法把实变函数定积分跟复变函数回路积分联设法把实变函数定积分跟复变函数回路积分联系系(linx)起来。起来。把实变定积分联系于复变回路把实变定积分联系于复变回路(hul)(hul)积分的要点：积分的要点：把实积分把实积分 ，的积分区间，的积分区间(q jin)a,b看成看成复平面实轴上的一线段复平面实轴上的一线段l1。利用自变量的变换把利用自变量的变换把l1变换成某个新的复数平面变换成某个新的复数平面的回路，这样就可以应用留数定理了。（类型一
16、）的回路，这样就可以应用留数定理了。（类型一）第23页/共70页第二十四页，共70页。2525 或添加路径或添加路径l2，使，使l=l1+l2构成复平面中的包围区域构成复平面中的包围区域B的回路（类型二的回路（类型二四）。四）。实积分解析实积分解析(ji x)延拓为回路区域延拓为回路区域B内的复积分，而内的复积分，而原实积分成为回路积分的一部分：原实积分成为回路积分的一部分：左边可以利用留数定理，右边对左边可以利用留数定理，右边对l2 l2 的积分在解析延拓的积分在解析延拓允许的情况允许的情况(qngkung)(qngkung)下，可以自由选择，通常选择下，可以自由选择，通常选择l2 l2 使
17、积分最易完成。使积分最易完成。第24页/共70页第二十五页，共70页。2626（一）（一）型的积分型的积分(jfn)(jfn)2 2 2 2方法方法方法方法(fngf):(fngf):(fngf):(fngf):，将自变量作这换：，将自变量作这换：，将自变量作这换：，将自变量作这换：x xz z.把被积函数把被积函数把被积函数把被积函数(hnsh)(hnsh)(hnsh)(hnsh)转化为复变函数转化为复变函数转化为复变函数转化为复变函数(hnsh)(hnsh)(hnsh)(hnsh)。积分区域为积分区域为00，2 2 ，如不是要先变为如不是要先变为如不是要先变为如不是要先变为00，2 2 当
18、当历经变化历经变化时时,的的正方向绕行一周正方向绕行一周.z 沿单位圆周沿单位圆周1 1特征：有理实函数特征：有理实函数特征：有理实函数特征：有理实函数R R（coscosx x,sin,sinx x）在区域）在区域）在区域）在区域 0 0，2 2 内连续内连续内连续内连续.沿区间沿区间沿区间沿区间00，2 2 的实积分变成沿单位圆的回路复积分。的实积分变成沿单位圆的回路复积分。的实积分变成沿单位圆的回路复积分。的实积分变成沿单位圆的回路复积分。第25页/共70页第二十六页，共70页。2727z z的有理函数的有理函数的有理函数的有理函数,且在且在且在且在单位圆周上分母不单位圆周上分母不单位圆
19、周上分母不单位圆周上分母不为零为零为零为零,满足满足满足满足(mnz)(mnz)留数定理留数定理留数定理留数定理的条件。的条件。的条件。的条件。包围在单位包围在单位(dnwi)(dnwi)圆周圆周内的诸孤立奇点。内的诸孤立奇点。留数定理留数定理(dngl)(dngl)第26页/共70页第二十七页，共70页。2828例例1 计算积分计算积分解解则则第27页/共70页第二十八页，共70页。2929为二级极点为二级极点,为一级极点为一级极点,第28页/共70页第二十九页，共70页。3030例例2 解解 在区域在区域(qy)0，2不为零不为零，故被积函数在，故被积函数在0，2连续连续.)10(dcos
20、21cos2202的值的值计算计算 0 m0，CR CR 是以是以是以是以z=0 z=0 为圆心，为圆心，为圆心，为圆心，R R 为半径的位为半径的位为半径的位为半径的位于上半平面的半圆。于上半平面的半圆。于上半平面的半圆。于上半平面的半圆。约当引理：约当引理：约当引理：约当引理：证：第40页/共70页第四十一页，共70页。4242由于由于z z 在上半平面在上半平面(pngmin)(pngmin)及实轴上趋于及实轴上趋于时，时，F(z)F(z)一致一致地趋于零，只需证地趋于零，只需证是有界。是有界。从而从而(cng r)考虑考虑(kol)下图：下图：第41页/共70页第四十二页，共70页。4
21、343由留数定理由留数定理(dngl):(dngl):第42页/共70页第四十三页，共70页。4444例例4 计算计算(j sun)积分积分解解 在上半平面只有在上半平面只有(zhyu)二级二级极点极点又又第43页/共70页第四十四页，共70页。4545注意注意 以上两型积分中被积函数中的以上两型积分中被积函数中的R(x)在实轴在实轴上无孤立奇点上无孤立奇点.第44页/共70页第四十五页，共70页。46464.2 1.(1)(2)(6)2.(1)(2)(6)3.(2)(4)(6)第45页/共70页第四十六页，共70页。47CRa-RRCa+a-（四）实轴上有单极点（四）实轴上有单极点(jdin
22、)的情况的情况第46页/共70页第四十七页，共70页。4848第47页/共70页第四十八页，共70页。4949第48页/共70页第四十九页，共70页。5050例例4 计算计算(j sun)狄利克雷积分狄利克雷积分分析分析(fnx)因因在实轴上有一级极点在实轴上有一级极点(jdin)应使封闭路应使封闭路线不经过奇点线不经过奇点,所以可取图示路线所以可取图示路线:第49页/共70页第五十页，共70页。5151解解 封闭封闭(fngb)曲曲线线l:由柯西由柯西-古萨定理古萨定理(dngl)(dngl)得得:由由第50页/共70页第五十一页，共70页。5252第51页/共70页第五十二页，共70页。5
23、353当当 充分小时充分小时,总有总有 ld第52页/共70页第五十三页，共70页。5454即即szgzzgrrCCd)(d)(因为因为.2dsin0 +=xxx所以所以第53页/共70页第五十四页，共70页。5555例例5证证 如图路径如图路径(ljng)，.221dcosdsin0202=xxxx证明证明2ize设函数设函数（五）物理（五）物理(wl)中常用典型积分中常用典型积分第54页/共70页第五十五页，共70页。5656y=sin2/4y=4/注意注意(zh y)：由图：由图可得出可得出第55页/共70页第五十六页，共70页。5757令两端令两端(lin dun)实部与虚部分别相等，
24、即有：实部与虚部分别相等，即有：菲涅耳菲涅耳(fresnel)(fresnel)积分积分(jfn)(jfn)由此，我们由此，我们(w men)得到：得到：第56页/共70页第五十七页，共70页。5858第57页/共70页第五十八页，共70页。5959第58页/共70页第五十九页，共70页。6060第59页/共70页第六十页，共70页。6161附录附录(fl)1(fl)1：规则规则1 1与与2 2证证-=-0)()(zzazf11L+-+)(010zzaa0)()(-=-1azfzzL+-+-+0100)()(21zzazza 如果如果为为的一级极点的一级极点,则则取取zz0的极限的极限(jxi
25、n)，即得，即得a-1。第60页/共70页第六十一页，共70页。6262证证+-+-=-2020)()()(zzazzazfmmLL+-+-+-)()(010101zzaazza101010)()()()(-+-+-+=-mmmmzzazzaazfzzLL+-+-+10100)()(mmzzazza 如果如果为为的的m级极点级极点,那么那么第61页/共70页第六十二页，共70页。6363+(含有含有 正幂的项正幂的项)两边求两边求阶导数阶导数,得得1)!1(-=am,)!1()()(ddlim10110-=-amzfzzzmmmzz1)(Res-=az0f所以所以第62页/共70页第六十三页，
26、共70页。6464规则规则(guz)3(guz)3 如果如果设设及及在在都解析都解析，证证的一级零点的一级零点,为为的一级极点的一级极点.为为那末那末为为的一级极点的一级极点,且有且有0)(,0)(00 =zQzQ因为因为第63页/共70页第六十四页，共70页。6565解析且解析且在在因此因此(ync)其中其中 在在 解析且解析且为为 的一级极点的一级极点,第64页/共70页第六十五页，共70页。6666附录附录附录附录(fl)2.(fl)2.(fl)2.(fl)2.在无穷远点处留数的计算在无穷远点处留数的计算在无穷远点处留数的计算在无穷远点处留数的计算规则规则(guz)4(guz)4说明说明
27、:定理定理(dngl)(dngl)二和规则二和规则4 4提供了计算函数沿闭曲线提供了计算函数沿闭曲线积分的又一种方法积分的又一种方法:此法在很多情况下此法更为简单此法在很多情况下此法更为简单.第65页/共70页第六十六页，共70页。6767现取正向简单闭曲线现取正向简单闭曲线l为半径为半径(bnjng)足够大的足够大的正向正向(zhn xin)(zhn xin)圆周圆周:于是于是(ysh)有有证证*第66页/共70页第六十七页，共70页。6868内除内除在在外外无其他奇点无其他奇点.证毕证毕.)1(为正向为正向r rz z=第67页/共70页第六十八页，共70页。6969例例 计算积分计算积分l为正向圆周为正向圆周:函数函数在在的外部的外部,除除点外没有点外没有 其他奇点其他奇点.解解 根据根据(gnj)(gnj)定理定理 2 2与规则与规则4:4:与以下与以下(yxi)(yxi)解法作比较解法作比较:被积函数被积函数有四个一级极点有四个一级极点都都在圆周在圆周的内部的内部 ,所以所以第68页/共70页第六十九页，共70页。7070由规则由规则(guz)3(guz)3 可见可见,利用利用(lyng)(lyng)无穷远点的留数更简单无穷远点的留数更简单.思考题思考题答：答：第69页/共70页第七十页，共70页。