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1、重点重点：难点难点：留数的计算与留数定理留数的计算与留数定理留数定理在定积分计算上的应用留数定理在定积分计算上的应用解析函数的积分值与函数的奇点的关系解析函数的积分值与函数的奇点的关系1内容提要留数留数计算方法计算方法可去奇点可去奇点孤立奇点孤立奇点极点极点本性奇点本性奇点函数的零点与函数的零点与极点的关系极点的关系对数留数对数留数留数定理留数定理留留数数在在定定积积分分上上的的应应用用辐辐角角原原理理路路西西原原理理2柯西定理：若柯西定理：若f(z)是复闭通区域上的解析函数，则是复闭通区域上的解析函数，则研究奇点是求积分的第一要务研究奇点是求积分的第一要务4.1 4.1 留数定理留数定理3设
2、设f(z)在域在域内解析，称环绕着孤立奇点内解析，称环绕着孤立奇点z0的积分的积分(其中其中l：，0PR)为为f(z)在在z0的留数，记的留数，记证：证：洛朗级数在收敛环内可逐项积分洛朗级数在收敛环内可逐项积分定理定理设函数设函数 f(z)在回路在回路 l 所围区域所围区域B 是除有限个孤立是除有限个孤立奇点奇点 外解析，在闭区域外解析，在闭区域 上除上除点点 外连续，则外连续，则4(1)方程左边：解析函数的积分值；方程右边：函数方程左边：解析函数的积分值；方程右边：函数的奇点。留数定理：将上述两者建立了一种关系。的奇点。留数定理：将上述两者建立了一种关系。(2)要计算解析函数的积分，关键：计
3、算留数；要计算解析函数的积分，关键：计算留数；(3)留数理论：复变函数的积分与级数相结合的产物；留数理论：复变函数的积分与级数相结合的产物；(4)bi是是l 所包围的所包围的f(z)的所有奇点，而不是的所有奇点，而不是f(z)所有的所有的奇点。奇点。5留数的计算留数的计算1 单极点的情况：单极点的情况：1当当z0()是是f(z)的可去奇点时，的可去奇点时，Resf(z),z0=03如果如果为为的极点的极点,则有如下计算规则则有如下计算规则成洛朗级数求成洛朗级数求2如果如果为为的本性奇点的本性奇点,展开展开则需将则需将如果如果为为的一级极点的一级极点,那末那末规则规则1 162 2 m阶极点的情
4、况阶极点的情况如果如果为为的的级极点级极点,规则规则2 2证证7+(含有含有正幂的项正幂的项)两边求两边求阶导数阶导数,证毕证毕得得8规则规则3 3如果如果设设及及在在都解析，都解析，证证的一级零点的一级零点,为为的一级极点的一级极点.为为那末那末为为的一级极点的一级极点,且有且有9解析且解析且在在因此因此其中其中在在解析且解析且为为的一级极点的一级极点,103、在无穷远点的留数注意积分路线取顺时针方向注意积分路线取顺时针方向说明说明记作记作 定义定义 设函数设函数在圆环域在圆环域内解析，内解析，C为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线，为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线，11.证证由
5、留数定义有由留数定义有:(绕原点的并将绕原点的并将内部的正向简单闭曲线内部的正向简单闭曲线)包含在包含在定理二定理二如果函数如果函数在扩充复平面内只有有限个在扩充复平面内只有有限个孤立奇点孤立奇点,那末那末在所有各奇点在所有各奇点(包括包括点点)的留数的总和必等于零的留数的总和必等于零.证毕证毕12说明说明:由定理得由定理得(留数定理留数定理)计算积分计算积分计算无穷远点的留数计算无穷远点的留数.优点优点:使计算积分进一步得到简化使计算积分进一步得到简化.(避免了计算诸有限点处的留数避免了计算诸有限点处的留数)133.3.在无穷远点处留数的计算：规则在无穷远点处留数的计算：规则说明说明:定理二
6、定理二和本规则提供了和本规则提供了计算函数沿闭曲线计算函数沿闭曲线积分的又一种方法积分的又一种方法:此法在很多情况下此法更为简单此法在很多情况下此法更为简单.14现取正向简单闭曲线现取正向简单闭曲线C为半径足够大的为半径足够大的正向圆周正向圆周:于是有于是有证证15内除内除在在外无其他奇点外无其他奇点.证毕证毕16典型例题典型例题例例1求求在在的留数的留数.解解17例例2求求在在的留数的留数.分析分析是是的三级零点的三级零点由规则由规则3得得计算较麻烦计算较麻烦.18如果利用洛朗展开式求如果利用洛朗展开式求较方便较方便:解解19说明说明:如如为为m 级极点，当级极点，当m 较大而导数又难以计算
7、时较大而导数又难以计算时,可直接展开洛朗级数求可直接展开洛朗级数求来计算留数来计算留数.2.在应用规则在应用规则2时时,取得比实际的级数高取得比实际的级数高.级数高反而使计算方便级数高反而使计算方便.1.在实际计算中应灵活运用计算规则在实际计算中应灵活运用计算规则.为了计算方便一般不要将为了计算方便一般不要将m但有时把但有时把m取得比实际的取得比实际的如上例取如上例取20例例3 求求在在的留数的留数.解解是是的四级极点的四级极点.在在内将内将展成洛朗级数展成洛朗级数:21例例4计算积分计算积分C为正向圆周为正向圆周:解解为一级极点为一级极点,为二级极点为二级极点,2223例例5计算积分计算积分
8、C为正向圆周为正向圆周:函数函数在在的外部的外部,除除点外没有点外没有其他奇点其他奇点.解解根据定理根据定理2与规则与规则4:24与以下解法作比较与以下解法作比较:被积函数被积函数有四个一级极点有四个一级极点都都在圆周在圆周的内部的内部,所以所以由规则由规则325可见可见,利用无穷远点的留数更简单利用无穷远点的留数更简单.例例6计算积分计算积分C为正向圆周为正向圆周:解解除除被积函数被积函数点外点外,其他奇点为其他奇点为26由于由于与与 1在在C的内部的内部,则则所以所以274.2 4.2 应用留数定理计算实变函数定积分应用留数定理计算实变函数定积分 留数定理的主要应用之一留数定理的主要应用之
9、一：计算某些实变函数定：计算某些实变函数定积分积分 原理：原理：设法把实变函数定积分跟复变函数回路积设法把实变函数定积分跟复变函数回路积分联系起来。分联系起来。留数定理是复变函数的定理，若要在实变函数留数定理是复变函数的定理，若要在实变函数定积分中应用，必须将实变函数变为复变函数。这定积分中应用，必须将实变函数变为复变函数。这就要利用解析延拓的概念。就要利用解析延拓的概念。28如图，对于实积分如图，对于实积分，变量，变量x定义在闭区间定义在闭区间a,b(线段线段l1)，此区间应是回路此区间应是回路l=l1+l2的一部分。的一部分。实积分要变为回路积分，则实函数必须实积分要变为回路积分，则实函数
10、必须解析延拓解析延拓到到复平面上包含回路的一个区域中，而实积分复平面上包含回路的一个区域中，而实积分成为回成为回路积分的一部分：路积分的一部分：左边可以利用留数定理，右边对左边可以利用留数定理，右边对l2 的积分在解析延拓的积分在解析延拓允许的情况下，可以自由选择，通常选择允许的情况下，可以自由选择，通常选择l2 使积分最使积分最易完成。易完成。29一、形如 的积分思想方法思想方法:封闭路线的积分封闭路线的积分.两个重要工作两个重要工作:1)积分区域的转化积分区域的转化2)被积函数的转化被积函数的转化把定积分化为一个复变函数沿某条把定积分化为一个复变函数沿某条30变换积分区域变换：积分区域变换
11、：线段到单位圆。线段到单位圆。当当历经变程历经变程时时,的的正方向绕行一周正方向绕行一周.z 沿单位圆周沿单位圆周31z的有理函数的有理函数,且在且在单位圆周上分母不单位圆周上分母不为零为零,满足留数定满足留数定理的条件理的条件.包围在单位圆周包围在单位圆周内的诸孤立奇点内的诸孤立奇点.32例例1计算积分计算积分解解则则3334例例2计算计算解解令令35极点为极点为:(在单位圆内在单位圆内)(在单位圆外在单位圆外)36例例3解解故故积分有意义积分有意义.373839因此因此40 复变函数复变函数 f(z)在实轴上无奇点，在上半平面除有在实轴上无奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析的；当限个奇点
12、外是解析的；当 z 在实轴和上半平面趋于在实轴和上半平面趋于无穷大时，无穷大时，zf(z)一致地趋于零。一致地趋于零。二、形如 的积分若有理函数若有理函数f(x)的分母至少比分子高两次的分母至少比分子高两次,并且并且分母在实轴上无孤立奇点分母在实轴上无孤立奇点.一般设一般设41这个积分通常看作为这个积分通常看作为极限极限而当而当R1=R2，主值主值4243例例4计算积分计算积分解解在上半平面有二级极点在上半平面有二级极点一级极点一级极点4445偶函数偶函数 F(z)和奇函数和奇函数 G(z)在实轴上无奇点，在实轴上无奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析的；当在上半平面除有限个奇点外是解析的；当
13、 z 在实轴和上半平面趋于无穷大，在实轴和上半平面趋于无穷大，F(z)和和 G(z)一致地趋于零。一致地趋于零。同理同理三、形如 的积分46约当引理对于正整数 m,F(z)一致地趋于零,则证证:只需证明只需证明有界。有界。47是一条对角线，在是一条对角线，在 范围内范围内若若m为负，则取下半平面为负，则取下半平面48例例5计算积分计算积分解解在上半平面只有二级极点在上半平面只有二级极点又又49注意注意以上两型积分中被积函数中的以上两型积分中被积函数中的R(x)在实轴在实轴上无孤立奇点上无孤立奇点.50例例6计算积分计算积分分析分析因因在实轴上有一级极点在实轴上有一级极点应使封闭路应使封闭路线不
14、经过奇点线不经过奇点,所以可取图示路线所以可取图示路线:51解解封闭曲线封闭曲线C:由柯西由柯西-古萨定理得古萨定理得:由由5253当当充分小时充分小时,总有总有54即即55例例7证证 如图路径，如图路径，5657令两端实部与虚部分别相等，得令两端实部与虚部分别相等，得菲涅菲涅耳耳(fresnel)积分积分584.3 计算定积分的补充例题一种常见的多值函数积分一种常见的多值函数积分 其中其中 为实数，为实数，Q(x)单值，在正实轴单值，在正实轴上没有奇点，为了保证积分收敛，要求上没有奇点，为了保证积分收敛，要求考虑积分考虑积分由于由于z=0，是被积函数的支点，所以需要将平面沿正实是被积函数的支
15、点，所以需要将平面沿正实轴割开，并规定割线上岸轴割开，并规定割线上岸argz=0。割线上下岸的割线上下岸的积显然直积显然直接与所要计算的实变积分有关，每绕一圈，幅角增加接与所要计算的实变积分有关，每绕一圈，幅角增加2，多出因子多出因子59如果在0argz 2内则 更进一步，如果Q(z)在全平面上除了有限个孤立奇点（不在正实轴上）外，是单值解析的，则例160例20-1可以证明所以61留数留数 例题例题621应用应用Laurent展式求展式求例例1解解由于63例例3解解64例例3解解2 2 利用留数计算周线积分利用留数计算周线积分例例4解解65由由故由留数定理故由留数定理66例例5解解由定理由定理
16、6.5得得67例例6解解应用Laurent展式68解法解法269例例7解解 被积函数一共有七个奇点被积函数一共有七个奇点则由留数定理及定理则由留数定理及定理6.6得得70注意到注意到71例例8解解故可展成Laurent级数72例例9计算积分计算积分C为正向圆周为正向圆周:解解除除被积函数被积函数点外点外,其他奇点为其他奇点为则则由于由于与与 1在在C的内部的内部,73所以所以74例例10解解故故积分有意义积分有意义.7576因此因此77注注:此时此时例例11计算积分计算积分解解则则7879由留数定理由留数定理例例12计算计算解解80由留数定理由留数定理81注注:例例13计算积分计算积分解解82
17、83解解例例148485解解例例158687例例16计算积分计算积分解解在上半平面只有二级极点在上半平面只有二级极点88注意注意以上两型积分中被积函数中的以上两型积分中被积函数中的R(x)在实轴在实轴上无孤立奇点上无孤立奇点.89例例17计算积分计算积分解解即即90由引理由引理由引理知由引理知91解解 例例18它是一个整函数它是一个整函数,则则92而而93比较两端实部与虚部即得比较两端实部与虚部即得弗莱聂尔弗莱聂尔(frensnel)积分积分即即94例例19计算积分计算积分解解故故95例例20试验证辐解原理试验证辐解原理.解解则则96注注97例例2198故故而而证明证明99所以所以另一方面又有另一方面又有故故100例例22符合条件符合条件证明证明101例例23证明证明 令102例例24证明代数学基本定理证明代数学基本定理:证明证明103104例例25试确定方程试确定方程解解105106本节结束本节结束 谢谢谢谢！Complex Function Theory Department of Mathematics107