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1、1学习要求与内容提要学习要求与内容提要目的与要求目的与要求：掌握留数的概念及计算方法。掌握留数的概念及计算方法。掌握掌握 用留数定理计算典型实定积分的方用留数定理计算典型实定积分的方 法。法。重点：重点：难点：难点：理解解析函数的积分值与函数的奇点的关理解解析函数的积分值与函数的奇点的关系。系。留数的计算与留数定理留数的计算与留数定理2 如图如图:在在 l 围成的区域中存在围成的区域中存在f(z)的的孤立奇点孤立奇点z0，我们，我们可引入曲线可引入曲线l1将此奇将此奇点挖掉，而构成点挖掉，而构成复连通区域复连通区域复连通区域复连通区域，f(z)在此在此复连通区域复连通区域复连通区域复连通区域解
2、析解析。由柯西定理或或 l与与l0方向相反，方向相反，但与但与-l0方向相同方向相同。又又回顾:复连通域柯西定理3（一）留数引入（一）留数引入设设为为在在l构成区域内的一个孤立奇点构成区域内的一个孤立奇点;.的某去心区域的某去心区域(内半径为零内半径为零)(2)取取l0为为去心区域去心区域内包内包含含的任一条正向简单闭曲线的任一条正向简单闭曲线4.1 4.1 留数定理留数定理ll001010)()()(azzazzazfkk+-+-+=-LLLLL+-+-+kkzzazza)()(001内的洛朗级数内的洛朗级数:在在(1)由洛朗级数展开定理洛朗级数展开定理:在在去心区域内解析，可去心区域内解析
3、，可展开洛朗级数。展开洛朗级数。400 (柯西定理柯西定理)LLL+-+-+=-l0l0kkzzzazzzad)(d)(1010LL+-+-+zzzazzzazakl0kl0l0d)(d)(d001012-p p=ia的系数的系数洛朗级数中负幂项洛朗级数中负幂项101)(-zza由柯西定理由柯西定理,我们有积分我们有积分zzfia ald)(211 1 p p=-即即 l0zzfd)(lz=zfd)(各正幂项各正幂项各正幂项各正幂项f fk k(z-zz-z0 0)=)=a ak k (z-z-z z0 0)k k是解析函数是解析函数是解析函数是解析函数5（二）留数定理（二）留数定理说明说明:
4、Res f(bj)：f(z)在的无心邻域在的无心邻域0|z bj|R中的中的罗朗级数的系数罗朗级数的系数 a-1(j)，称为称为称为称为f f(z z)在在在在 z z=b bj j 的的的的留数留数留数留数。a-1(j)：f(z)在它的第在它的第j 个孤立奇点的邻域内罗朗展个孤立奇点的邻域内罗朗展开式中开式中(z-bj)-1 的系数。的系数。1.留数定理留数定理在区域在区域 B内除有限个孤内除有限个孤外处处解析外处处解析,l 是闭区域是闭区域B包围诸奇包围诸奇点的一条正向简单闭曲线点的一条正向简单闭曲线,那么那么立奇点立奇点函数函数l：B内任意的包含有限个孤立奇点的闭合曲线。内任意的包含有限
5、个孤立奇点的闭合曲线。.6证证两边同时除以两边同时除以 ，则有，则有.由复连通域的柯西定理由复连通域的柯西定理)(Res1=njbjf7(1)(1)方程左边：解析函数的积分值；方程右边：函数奇点方程左边：解析函数的积分值；方程右边：函数奇点的的留数留数留数留数。留数定理：将上述两者建立了一种关系。留数定理：将上述两者建立了一种关系。留数定理：将上述两者建立了一种关系。留数定理：将上述两者建立了一种关系。(2)(2)要计算解析函数的积分，关键：计算留数；要计算解析函数的积分，关键：计算留数；(3)(3)留数理论：复变函数的积分与级数相结合的产物；留数理论：复变函数的积分与级数相结合的产物；(4)
6、(4)bj(j=1,2,)是是 l 所包围的所包围的f(z)的所有奇点，而不是的所有奇点，而不是f(z)所有的奇点。所有的奇点。即：即：8(1)如果如果为为的可去奇点的可去奇点,如果如果 为为 的一级极点的一级极点,那末那末规则规则1 1(2)如果如果为为的本性奇点的本性奇点,(3)如果如果为为的极点的极点,则有如下计算规则则有如下计算规则展开展开则需将则需将成洛朗级数成洛朗级数求求求求1-a a求求求求a a-1-1-1-1)()(0kkkzzazf-=-=2.2.留数的计算方法留数的计算方法求求求求a a-1-1-1-19例例1 求求在在的留数的留数.解解 在在内内的洛朗级数的洛朗级数的洛
7、朗级数的洛朗级数为为:展开展开将将成洛朗级数求成洛朗级数求1-a10例例2 求求在在的留数的留数.解解如果如果 为为 的的 级极点级极点,规则规则2 2那末那末11例例3 求求在在的留数的留数.解解1是是的三级零点的三级零点由规则由规则3得得12 利用洛朗展开式求利用洛朗展开式求:解解213说明说明:如如 为为 m 级极点，当级极点，当 m 较大而导数又难以计算时较大而导数又难以计算时,可直接展开洛朗级数求可直接展开洛朗级数求来计算留数来计算留数.2.在应用规则在应用规则2时时,取得比实际的级数高取得比实际的级数高.1.在实际计算中应灵活运用计算规则在实际计算中应灵活运用计算规则.为了计算方便
8、一般不要将为了计算方便一般不要将m14例例4 计算积分计算积分l为正向圆周为正向圆周:解解为一级极点为一级极点,为二级极点为二级极点,f(z)15规则规则3 3 如果如果设设及及在在都解析都解析，那末那末为为的一级极点的一级极点,且有且有例例5 5 计算计算f(z)=在在z=0处的留数处的留数.解解:P(z)=ez,Q(z)=sinz，于是，于是P(0)=1,Q(0)=0,Q(0)=1.16例例6解解17（三）无穷远点的留数（三）无穷远点的留数注意积分路线取顺时针方向注意积分路线取顺时针方向注意积分路线取顺时针方向注意积分路线取顺时针方向说明说明记作记作1.1.定义定义1)(Res-=af1-
9、=a设函数设函数在圆环域在圆环域内解析内解析，l为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线，点的留数点的留数，在在为为)(zf的值与的值与l无关，则称此定值无关，则称此定值那么积分那么积分18.证证由留数定义有由留数定义有:(绕原点的并将绕原点的并将内部的正向简单闭曲线内部的正向简单闭曲线)包含在包含在 2.2.留数和留数和定理定理如果函数如果函数在扩充复平面内只有有限个在扩充复平面内只有有限个孤立奇点孤立奇点,那末那末在所有各奇点在所有各奇点(包括包括 点点)的留数的总和必等于零的留数的总和必等于零.19说明说明:由定理得由定理得(留数定理留数定理)计算
10、积分计算积分计算无穷远点的留数计算无穷远点的留数.优点优点:使计算积分进一步得到使计算积分进一步得到简化简化.(避免了计算诸有限点处的留数避免了计算诸有限点处的留数)20解：共有七个奇点：解：共有七个奇点：前前6 6个个根根均均在在内内部部，故故由由留留数数和和定定理理可可用用求求无限远奇点留数解此题。即无限远奇点留数解此题。即例7 计算 而而 故故 。从而。从而214.1 1.（1）（3）（5）（7）（9）2.（1）（3）3.224.2 4.2 应用留数定理计算实变函数定积分应用留数定理计算实变函数定积分23 留数定理计算实变函数定积分要点留数定理计算实变函数定积分要点留数定理计算实变函数定
11、积分要点留数定理计算实变函数定积分要点：设法设法把实变函数定积分把实变函数定积分跟跟跟跟复变函数回路积分复变函数回路积分联联联联系起来系起来系起来系起来。把实变定积分联系于复变回路积分的要点：把实变定积分联系于复变回路积分的要点：把把实积分实积分实积分实积分 ，的积分，的积分区间区间区间区间 a a,b b 看成复平看成复平面实轴上的一线段面实轴上的一线段l1 1。利用自变量的变换把利用自变量的变换把l1变换成某个新的复数变换成某个新的复数平面的回路，这样就可以应用留数定理了。（类平面的回路，这样就可以应用留数定理了。（类型一）型一）24 或添加路径或添加路径l2，使使l=l1+l2构成复平面
12、中的包围区域构成复平面中的包围区域B的回路的回路（类型二（类型二四四）。实积分实积分解析延拓解析延拓解析延拓解析延拓为回路区域为回路区域B内的复积分，而原内的复积分，而原实积分成为回路积分的一部分：实积分成为回路积分的一部分：左边可以利用留数定理左边可以利用留数定理左边可以利用留数定理左边可以利用留数定理，右边对右边对右边对右边对l l2 2 的积分在解析的积分在解析的积分在解析的积分在解析延拓允许的情况下，可以自由选择，通常选择延拓允许的情况下，可以自由选择，通常选择延拓允许的情况下，可以自由选择，通常选择延拓允许的情况下，可以自由选择，通常选择l l2 2 使积使积使积使积分最易完成。分最
13、易完成。分最易完成。分最易完成。25（一）（一）型的积分型的积分2 2 2 2方法方法方法方法 :，将自变量作这换：，将自变量作这换：，将自变量作这换：，将自变量作这换：x xz z.把把把把被积函数转化为复变函数。被积函数转化为复变函数。被积函数转化为复变函数。被积函数转化为复变函数。积分区域为积分区域为00，2 2 ，如不是要先变为如不是要先变为如不是要先变为如不是要先变为00，2 2 当当历经变化历经变化时时,的的正方向绕行一周正方向绕行一周.z 沿单位圆周沿单位圆周1 1特征：有理实函数特征：有理实函数特征：有理实函数特征：有理实函数R R（coscosx x,sin,sinx x）在
14、区域）在区域）在区域）在区域 0 0，2 2 内连续内连续内连续内连续.沿区间沿区间沿区间沿区间00，2 2 的实积分变成沿单位圆的回路复积分。的实积分变成沿单位圆的回路复积分。的实积分变成沿单位圆的回路复积分。的实积分变成沿单位圆的回路复积分。26z z的有理函数的有理函数的有理函数的有理函数 ,且在且在且在且在单位圆周上分母不单位圆周上分母不单位圆周上分母不单位圆周上分母不为零为零为零为零 ,满足留数定理满足留数定理满足留数定理满足留数定理的条件。的条件。的条件。的条件。包围在单位圆周包围在单位圆周内的内的诸孤立奇点诸孤立奇点。留数定理留数定理27例例1 计算积分计算积分解解则则28为二级
15、极点为二级极点,为一级极点为一级极点,29例例2 解解 在区域在区域0，2不为零不为零，故被积函数在，故被积函数在0，2连续连续.)10(dcos21cos2202的值的值计算计算 0，CR 是以是以z=0=0 为圆心，为圆心，R 为半径的位于为半径的位于上半平面的半圆。上半平面的半圆。约当引理：约当引理：证：41由于由于z 在上半平面及实轴上趋于在上半平面及实轴上趋于时，时，F(z)一致地趋一致地趋于零，只需证于零，只需证是有界。是有界。从而从而考虑下图：考虑下图：42由留数定理由留数定理:43例例4 计算积分计算积分解解 在上半平面只有二级极点在上半平面只有二级极点又又44注意注意 以上两
16、型积分中被积函数中的以上两型积分中被积函数中的R(x)在实轴在实轴上无孤立奇点上无孤立奇点.454.2 1.(1)(2)(6)2.(1)(2)(6)3.(2)(4)(6)46CRa-RRCa+a-（四）实轴上有单极点的情况（四）实轴上有单极点的情况474849例例4 计算计算狄利克雷积分狄利克雷积分分析分析 因因在实轴上有一级极点在实轴上有一级极点应使封闭路应使封闭路线不经过奇点线不经过奇点,所以可取图示路线所以可取图示路线:50解解 封闭曲线封闭曲线l:由柯西由柯西-古萨定理得古萨定理得:由由5152当当 充分小时充分小时,总有总有 ld53即即szgzzgrrCCd)(d)(因为因为.2d
17、sin0 +=xxx所以所以54例例5证证 如图路径如图路径，.221dcosdsin0202=xxxx证明证明2ize设函数设函数（五）物理中常用典型积分（五）物理中常用典型积分55y=sin2/4y=4/注意：由图可得出注意：由图可得出56令两端实部与虚部分别相等，即有：令两端实部与虚部分别相等，即有：菲涅菲涅耳耳(fresnelfresnel)积分积分由此，我们得到：由此，我们得到：57585960附录附录1 1：规则规则1 1与与2 2证证-=-0)()(zzazf11L+-+)(010zzaa0)()(-=-1azfzzL+-+-+0100)()(21zzazza 如果如果为为的一级
18、极点的一级极点,则则取取zz0的的极限，即得极限，即得a-1。61证证+-+-=-2020)()()(zzazzazfmmLL+-+-+-)()(010101zzaazza101010)()()()(-+-+-+=-mmmmzzazzaazfzzLL+-+-+10100)()(mmzzazza 如果如果为为的的m级极点级极点,那么那么62+(含有含有 正幂的项正幂的项)两边求两边求阶导数阶导数,得得1)!1(-=am,)!1()()(ddlim10110-=-amzfzzzmmmzz1)(Res-=az0f所以所以63规则规则3 3 如果如果设设及及在在都解析都解析，证证的一级零点的一级零点,
19、为为的一级极点的一级极点.为为那末那末为为的一级极点的一级极点,且有且有0)(,0)(00 =zQzQ因为因为64解析且解析且在在因此因此其中其中 在在 解析且解析且为为 的一级极点的一级极点,65附录附录2.2.在无穷远点处留数的计算在无穷远点处留数的计算规则规则4 4说明说明:定理二和规则定理二和规则4 4提供了提供了计算函数沿闭曲线计算函数沿闭曲线积分的又一种方法积分的又一种方法:此法在很多情况下此法更为简单此法在很多情况下此法更为简单.66现取正向简单闭曲线现取正向简单闭曲线l为半径足够大的为半径足够大的正向圆周正向圆周 :于是有于是有证证*67内除内除在在外外无其他奇点无其他奇点.证毕证毕.)1(为正向为正向r rz z=68例例 计算积分计算积分l为正向圆周为正向圆周:函数函数在在的外部的外部,除除点外没有点外没有 其他奇点其他奇点.解解 根据定理根据定理 2 2与规则与规则4 4:与以下解法作比较与以下解法作比较 :被积函数被积函数有四个一级极点有四个一级极点都都在圆周在圆周的内部的内部 ,所以所以69由规则由规则3 3 可见可见,利用无穷远点的留数更简单利用无穷远点的留数更简单.思考题思考题答：答：70