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1、数学数学(shxu)随机变量数字特征随机变量数字特征第一页，共85页。4.1 随机变量的数学(shxu)期望1.离散(lsn)型随机变量的数学期望引例(yn l)有甲、乙两射手，他们的射击技术用下表给出问题：已知随机变量的概率分布,如何计算其平均值？解 “射击水平”一般用平均击中环数来反映。所以，只要对他们的平均击中环数进行比较即可。第1页/共85页第二页，共85页。分析：若甲射击N次,设击中8环,9环和10环的次数分别(fnbi)为 次，则甲在N次射击中，平均每次击中的环数为由于概率是频率的稳定中心(zhngxn)，以 表示甲的平均击中环数,则故认为(rnwi)甲射手的水平较高。由于可以看出
2、：平均值是以分布概率为权重的加权平均。第2页/共85页第三页，共85页。定义 设离散(lsn)型随机变量X的概率分布为PX=xk=pk ，k=1,2,3若级数(j sh)，则称级数(j sh)和为随机变量 X 的数学期望（或均值），记作E（X）随机变量 X 的数学期望完全是由它的概率分布确定的，而不应受 X 的可能取值的排列次序的影响，因此要求否则，称随机变量的数学期望不存在第3页/共85页第四页，共85页。解 易知 X 1 3 P 0.4 0.6 例1 设随机变量(su j bin lin)X的分布列为求 若将此例视为甲、乙两队“比赛(bsi)”，甲队赢的概率为0.6，输的概率为0.4，并且
3、甲队每赢一次得3分，每输一次扣1分，则 E(X)=1.4 是指甲队平均每次可得分第4页/共85页第五页，共85页。例2 按规定，某公交车每天8点至9点和9点至10点都恰有一辆到站，各车到站的时刻是随机(su j)的，且各车到站的时间是相互独立的，其规律为到站时刻 8:10/9:10 8:30/9:30 8:50/9:50 概率 0.2 0.4 0.4某乘客8:20到站，求他候车时间(shjin)的数学期望 解 设乘客的候车(hu ch)时间为X,若该乘客8:20到车站,而8点到9点的一趟车已于8:10开走,第二趟车9:10开,则他候车(hu ch)的时间为50 min，该乘客其余候车时间对应的
4、概率可类似得到，于是候车时间X的分布列为 10 30 50 70 90 0.4 0.4 0.04 0.08 0.08对应的概率为事件“第一趟车8:10开走，且第二趟9:10开”发生的概率,即第5页/共85页第六页，共85页。解 候车时间(shjin)X的分布列为 10 30 50 70 90 0.4 0.4 0.04 0.08 0.08从而该乘客候车时间的数学(shxu)期望为 例2 按规定，某公交车每天8点至9点和9点至10点都恰有一辆到站，各车到站的时刻是随机的，且各车到站的时间(shjin)是相互独立的，其规律为到站时刻 8:10/9:10 8:30/9:30 8:50/9:50 概率
5、0.2 0.4 0.4某乘客8:20到站，求他候车时间的数学期望第6页/共85页第七页，共85页。求随机变量X和Y的数学(shxu)期望于是(ysh)有 解 由(X,Y)的联合分布(fnb)律可得关于X、Y的边缘分布(fnb)分别为 例3 设二维离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布表为 1 2 3 1 1/4 1/8 1/4 2 1/8 1/8 1/8 1 2 5/8 3/8 1 2 3 3/8 1/4 3/8第7页/共85页第八页，共85页。定理1 设二维离散型随机变量(su j bin lin)(X,Y)的联合概率分布为则 证明(zhngmng)关于X的边缘分布为于是(ysh)有 同理可
6、得 第8页/共85页第九页，共85页。定义 设连续型随机变量(su j bin lin)X的概率密度为f(x)，若积分 说明：如果积分 不收敛，则称随机变量X的数学期望不存在。收敛，则称积分值 为X的数学期望（或均值）。记作E(X)，即2.连续型随机变量的数学(shxu)期望第9页/共85页第十页，共85页。试证X的数学期望(qwng)不存在 例4 设随机变量X 服从柯西分布,其密度(md)函数为证 因为即 不收敛，所以X的数学期望不存在 第10页/共85页第十一页，共85页。求X的数学(shxu)期望.例5 设在某一规定(gudng)的时间内，一电气设备用于最大负荷的时间X（单位：min）是
7、一个随机变量，概率密度函数为解 由已知可得 第11页/共85页第十二页，共85页。例6 设二维连续型随机变量(su j bin lin)的概率密度函数为解 关于(guny)X、Y的边缘概率密度函数分别为求E（X），E（Y）于是(ysh)有 第12页/共85页第十三页，共85页。定理(dngl)2 设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度函数为 f(x,y),则有 于是(ysh)有 证 关于X、Y的边缘(binyun)概率密度函数分别为第13页/共85页第十四页，共85页。3.随机变量(su j bin lin)函数的数学期望如果级数 收敛，则有 定理(dngl)3 设X是随机变量，Y=g(X)
8、是X的连续函数，则有(1)若 为离散型变量，其概率函数为(2)如果X为连续型随机变量，其概率密度为 f(x),如果积分 收敛则有第14页/共85页第十五页，共85页。(3)如果(X,Y)为离散(lsn)型随机向量，其联合概率分布为 P X=xi Y=yj=pij i,j=1,2,3,如果 则Z=g(X,Y)的数学(shxu)期望为(4)设二维随机向量(xingling)（X，Y）为连续型随机变量，它的联合概率密度为f(x,y),若 收敛,则Z=g(X,Y)的数学期望为：第15页/共85页第十六页，共85页。解 因为 分布律为 所以 其中 求例7 设随机变量 ，第16页/共85页第十七页，共85
9、页。解 例8 设二维随机变量(su j bin lin)(X,Y)的密度函数为 求 第17页/共85页第十八页，共85页。解 例9 设二维随机变量 的密度函数为 求 第18页/共85页第十九页，共85页。例9 设二维随机变量 的密度函数为 求 解 第19页/共85页第二十页，共85页。例10 设国际市场上每年对我国某种出口(ch ku)农产品的需求量X(单位：t)是随机变量，它服从1200，3000上的均匀分布若售出这种农产品1t，可赚2万元，但若销售不出去，则每吨需付仓库保管费1万元，问每年应准备多少吨产品才可得到最大利润?解 设每年(minin)准备该种商品y t 得到(d do)平均利润
10、为则利润为第20页/共85页第二十一页，共85页。解利润(lrn)为得到(d do)平均利润为当y=2400时，取到最大值，故每年准备此种商品2400 t，可使平均利润达到最大 例10 设国际市场(shchng)上每年对我国某种出口农产品的需求量X(单位：t)是随机变量，它服从1200，3000上的均匀分布若售出这种农产品1t，可赚2万元，但若销售不出去，则每吨需付仓库保管费1万元，问每年应准备多少吨产品才可得到最大利润?第21页/共85页第二十二页，共85页。证 可将C看成离散型随机变量(su j bin lin)，分布律为 PX=C=1，故由定义即得E(C)=C.2.设C为常数(chngs
11、h)，X为随机变量，则有E(CX)=CE(X)证 设X的密度函数为 ，则有 3.设 为任意两个随机变量，都有 1.设C为常数(chngsh)，则有E(C)=C 4.数学期望的性质第22页/共85页第二十三页，共85页。3.设 X,Y 为任意两个(lin)随机变量，都有 证 设二维随机变量(X,Y)的密度函数为边缘密度函数分别为和 则推广到任意有限(yuxin)多个随机变量之和的情形，有 4.数学(shxu)期望的性质第23页/共85页第二十四页，共85页。4.设X,Y为相互独立(dl)的随机变量，则有 证 因为X与Y相互(xingh)独立，故其联合密度函数与边缘密度函数满足 推广到任意有限多个
12、相互独立(dl)的随机变量之积的情形，有 所以 第24页/共85页第二十五页，共85页。解 设随机变量(su j bin lin)例11 一民航机场的送客班车载有20位旅客，自机场开出，沿途旅客有10个车站可以下车如到达一个(y)车站没有旅客下车班车就不停设每位旅客在各个车站下车是等可能的（P0.9），且各旅客是否下车相互独立，以X表示停车的次数，求 E(X)i=1,2,10由题意，任一旅客在第i个车站不下车的概率为 表示第i站没有旅客下车，故20位旅客都不在第i站下车的概率为，在第i站有人下车的概率为，于是得的分布律如下：Xi 0 1 P 0.920 1-0.920第25页/共85页第二十六
13、页，共85页。例11 一民航机场的送客班车载有20位旅客，自机场开出，沿途旅客有10个车站可以下车(xi ch)如到达一个车站没有旅客下车(xi ch)班车就不停设每位旅客在各个车站下车(xi ch)是等可能的（P0.9），且各旅客是否下车(xi ch)相互独立，以X表示停车的次数，求E(X)解 随机变量 Xi 0 1 P 0.920 1-0.920=10.920 这表明班车平均(pngjn)停车约9次 第26页/共85页第二十七页，共85页。解 例12 设二维随机变量 的密度函数为 试验证 ，但X和Y是不独立的第27页/共85页第二十八页，共85页。解例12 设二维随机变量 的密度函数为 试
14、验证 ，但X和Y是不独立的所以(suy)X的边缘密度(md)函数同理可得Y的边缘密度(md)函数为 显然有 ，故X和Y是不独立的第28页/共85页第二十九页，共85页。1.离散(lsn)型2.连续型3.Y=g(X)4.Y=g(X,Y)小 结第29页/共85页第三十页，共85页。由第一节我们知道，随机变量的数学期望可以反映变量取值的平均程度，但仅用数学期望描述一个变量的取值情况是远不够(bgu)的。我们仍用类似于第一节中的例子来说明。假设甲乙(ji y)两射手各发十枪，击中目标靶的环数分别为4.24.2随机变量随机变量随机变量随机变量(su j bin lin)(su j bin lin)的方差
15、的方差的方差的方差第30页/共85页第三十一页，共85页。容易算得，二人击中环数的平均值都是8.8环，现问，甲、乙二人哪一个水平发挥(fhu)的更稳定？甲 9 8 10 8 9 8 8 9 10 9乙 6 7 9 10 10 9 10 8 9 10 直观的理解，二选手中哪一个击中的环数偏离平均值越少，这个选手发挥(fhu)的更稳定第31页/共85页第三十二页，共85页。一些。为此我们利用二人每枪击中的环数距平均值的偏差的均值来比较(bjio)。为了防止偏差 和的计算中出现正、负偏差相抵的情况，应由偏差的绝对值之和求平均更合适。对于甲选手(xunshu)，偏差绝对值之和为：第32页/共85页第三
16、十三页，共85页。所以甲、乙二人平均(pngjn)每枪偏离平均(pngjn)值为0.64 环和 1.08 环，因而可以说，甲选手水平发挥更稳定些。类似的，为了避免运算式中出现绝对值符号(fho)。我们也可以采用偏差平方的平均值进行比较。第33页/共85页第三十四页，共85页。定义(离差):设X为随机变量(su j bin lin),EX存在,称X-EX为离差;显然(xinrn)：E(X-EX)=0.定义(方差(fn ch):设X为随机变量,EX存在,且E(X-EX)2存在,则称E(X-EX)2 为X的方差(fn ch),记为:DX=E(X-EX)2特别,记x=注意:方差反映了随机变量相对其均值
17、的偏离程度.结合随机变量函数的数学期望可得:(1)若P(X=xn)=pn,n=1,2,.,则DX=E(X-EX)2(2)若X为连续型,Xf(x),则DX=E(X-EX)2 随机变量的方差随机变量的方差随机变量的方差随机变量的方差为X的标准差.第34页/共85页第三十五页，共85页。若X的取值比较分散，则方差(fn ch)较大.若方差D(X)=0,则r.v.X 以概率(gil)1取常数值.方差刻划(k hu)了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度.若X的取值比较集中，则方差较小；D(X)=EX-E(X)2第35页/共85页第三十六页，共85页。方差(fn ch)的性质:(1)D(c)=0;(2
18、)D(aX)=a2D(X)(3)D(X+b)=DX(4)DX=EX2-(EX)2证明(zhngmng):(2)D(aX)=EaX-E(aX)2=Ea(X-EX)2=a2E(X-EX)2=a2D(X)(4)DX=E(X-EX)2=EX2-2X(EX)+(EX)2=EX2-E2X(EX)+E(EX)2=EX2-2(EX)(EX)+(EX)2=EX2-(EX)2EX2=DX+(EX)2(常用(chn yn)于计算方差)(注:EX是常数)(1)D(c)=0;(2)D(aX)=a2D(X)(3)D(X+b)=DX(4)DX=EX2-(EX)2第36页/共85页第三十七页，共85页。从而证明(zhngmn
19、g)：若X与Y相互独立,则已知第37页/共85页第三十八页，共85页。性质（5）可以推广到多个(du)相互独立的随机变量的情形。例如，当 相互独立时，成立 第38页/共85页第三十九页，共85页。例1 对服从(fcng)（01）分布的随机变量 X，分布列为求 X 的方差(fn ch)。已知 而且则 X 的方差(fn ch)为解第39页/共85页第四十页，共85页。由上节中的例14 知 其中 服从同一（01）分布：且 相互独立。又由本节例 1 有 于是可得：解例2 设随机变量(su j bin lin)X 服从二项分布 ，试求 第40页/共85页第四十一页，共85页。例 已知随机变量(su j
20、bin lin)X服从二项分布，且E（X）=2.4,D(X)=1.44,则二项分布的参 数n,p的值为（）n=4,p=0.6 n=6,p=0.4 n=8,p=0.3 n=24,p=0.1例设X表示 10次独立重复射击命中 目标的次数(csh),每 次射中目标的概率为0.4,则X2 的数学期望E（X2）=()18.4第41页/共85页第四十二页，共85页。例3 设随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，求在本章第一节的例中我们(w men)已经知道从而(cng r)解第42页/共85页第四十三页，共85页。例4 对服从a，b区间上均匀分布的随机变量(binling)X，计算已知 ，且解从而(cng
21、 r)第43页/共85页第四十四页，共85页。几何分布而：所以：第44页/共85页第四十五页，共85页。f(x)x0小大EX=，DX=2正态分布期望正态分布期望正态分布期望正态分布期望(qwng)(qwng)和方差和方差和方差和方差第45页/共85页第四十六页，共85页。例5 已知 求由方差(fn ch)的定义可得解作代换 则第46页/共85页第四十七页，共85页。求EX和DX.练习：设X的密度(md)函数为解得:EX=1,DX=2=1/2第47页/共85页第四十八页，共85页。练习(linx):1.X,Y独立(dl),DX=6,DY=3,则D(2X-Y)=().2.XN(3,1),YN(2,
22、4),X,Y独立(dl),则X-2Y+1().3.XP(2),YN(-2,4),X,Y独立(dl),Z=X-Y,则EZ=();若X,Y独立(dl),则EZ2=().解:(1)D(2X-Y)=D(2X)+DY=4DX+DY=27(2)E(X-2Y+1)=EX-2EY+1=0,D(X-2Y+1)=DX+4DY=17所以(suy),X-2Y+1N(0,17)(3)EZ=EX-EY=4,EZ2=E(X2+Y2-2XY)=EX2+EY22EXEY=6+8+8=22或EZ2=DZ+(EZ)2=6+16=2227N(0,17)4 22第48页/共85页第四十九页，共85页。例6.设X,求EX,DX.解:(1
23、)EX=1(2)E(X2)=7/6所以(suy),DX=EX2-(EX)2=7/6-1=1/6第49页/共85页第五十页，共85页。练习：设X是一随机变量(su j bin lin)，E(X)=，D(X)=2(,0常数)，则对任意常数C，必有（）。解:E(X-C)2=EX2-2CX+C2=EX2-E(2CX)+C2=EX2-2C E(X)+C2=(EX)2+DX-2C E(X)+C2=2+2-2C+C2=2+(-C)2而E(X-)2=E(X-EX)2=DX=2所以(suy),(4)正确.第50页/共85页第五十一页，共85页。例7 设随机变量(su j bin lin)X 的期望E（X）和方差
24、D（X）都存在，则称为 X 的标准化随机变量，试求 和 注意到 均为常数，再由期望及方差的性质可得：解第51页/共85页第五十二页，共85页。可见(kjin)，标准化随机变量的期望是 0，方差是1。因此，把随机变量标准化，可以使所讨第52页/共85页第五十三页，共85页。论的问题变得较简单，这种处理问题的方法在概率与数理统计中时有应用。例如，随机变量 X 服从正态分布 把 X 标准化 则 服从标准正态分布 ,于是要求 X 落入某一区间的概率，只需由标准正态分布表查出 落入相应区间的概率即可，这一作法是我们早已熟知并已多少应用过的。第53页/共85页第五十四页，共85页。1.设则方差D(X)=(
25、)。2.随机变量(su j bin lin)X只取-1,0,1三个值,且相应概率比为1:2:2,又Y=X2,求(1)EX,(2)DX,(3)EY,(4)DY.课堂练习课堂练习课堂练习课堂练习3.第54页/共85页第五十五页，共85页。第55页/共85页第五十六页，共85页。练习册 6某种产品表面(biomin)上的疵点数服从泊松分布,平均一个上 有0.8个疵点,若规定疵点数不超过1个为一等品,价值 10元;疵点数大于1个不多余4个为二等品,价值8元;4个以上者为废品,求产品为废品的概率以及产品的 平均价值.解：设 X-疵点数,Y-产品(chnpn)价值.则：EX=0.8第56页/共85页第五十
26、七页，共85页。第57页/共85页第五十八页，共85页。2在长为 的线段上任取两点，求两点间的距离的 数学期望和方差。综合(zngh)练习题 三、计算题 解：设所取两点分别(fnbi)为X,Y.则又 X,Y相互(xingh)独立，故第58页/共85页第五十九页，共85页。y=xXY0 x-y0 x-y0S1S2第59页/共85页第六十页，共85页。第60页/共85页第六十一页，共85页。1.协方差与相关系数的概念(ginin)2.协方差的性质(xngzh)3.相关系数的性质(xngzh)4.3 4.3 协方差与相关系数协方差与相关系数.小结4.矩的概念第61页/共85页第六十二页，共85页。(
27、1)问题(wnt)的提出 协方差1.协方差与相关系数的概念(ginin)第62页/共85页第六十三页，共85页。(2)定义(dngy)第63页/共85页第六十四页，共85页。(3)说明(shumng)第64页/共85页第六十五页，共85页。(4)协方差的计算公式证明(zhngmng)第65页/共85页第六十六页，共85页。2.协方差的性质(xngzh)第66页/共85页第六十七页，共85页。例例例例1 1 1 1 设随即设随即设随即设随即(suj)(suj)(suj)(suj)变量变量变量变量(X,Y)(X,Y)(X,Y)(X,Y)具有概率密度具有概率密度具有概率密度具有概率密度其中区域其中区
28、域其中区域其中区域 G G G G 由曲线由曲线由曲线由曲线 与与与与 围成围成围成围成.求求求求第67页/共85页第六十八页，共85页。第68页/共85页第六十九页，共85页。(1)问题(wnt)的提出3.相关系数的性质(xngzh)第69页/共85页第七十页，共85页。解得第70页/共85页第七十一页，共85页。(2)相关系数的意义(yy)第71页/共85页第七十二页，共85页。证明(zhngmng)(3)相关系数的性质(xngzh)第72页/共85页第七十三页，共85页。由方差(fn ch)性质知第73页/共85页第七十四页，共85页。故有第74页/共85页第七十五页，共85页。定理 若
29、随机变量X，Y相互(xingh)独立，则(4)不相关与相互独立(dl)的关系注 1)相互独立不相关 2)不相关(xinggun)的充要条件,即X，Y不相关。如后面例第75页/共85页第七十六页，共85页。因而(yn r)相关系数=0，随机变量(su j bin lin)与不相关(xinggun)，但是有，从而与不独立设是服从上的均匀分布，又，试求相关系数例2 解 第76页/共85页第七十七页，共85页。例3 解第77页/共85页第七十八页，共85页。第78页/共85页第七十九页，共85页。单击图形播放(b fn)/暂停 ESC键退出第79页/共85页第八十页，共85页。矩的概念(ginin)(1)(1)(1)(1)定义定义定义定义(dngy)(dngy)(dngy)(dngy)(2)说明(shumng)第80页/共85页第八十一页，共85页。第81页/共85页第八十二页，共85页。.小结小结小结小结(xioji)(xioji)第82页/共85页第八十三页，共85页。第83页/共85页第八十四页，共85页。(3)不相关(xinggun)与相互独立的关系1)相互独立不相关2)不相关(xinggun)的充要条件第84页/共85页第八十五页，共85页。