数学随机变量数字特征.pptx

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1、4.1 随机变量的数学期望1.离散型随机变量的数学期望引例 有甲、乙两射手，他们的射击技术用下表给出问题：已知随机变量的概率分布,如何计算其平均值？解 “射击水平”一般用平均击中环数来反映。所以，只要对他们的平均击中环数进行比较即可。第1页/共85页 分析：若甲射击N次,设击中8环,9环和10环的次数分别为 次，则甲在N次射击中，平均每次击中的环数为由于概率是频率的稳定中心，以 表示甲的平均击中环数,则故认为甲射手的水平较高。由于可以看出：平均值是以分布概率为权重的加权平均。第2页/共85页 定义 设离散型随机变量X的概率分布为PX=xk=pk ，k=1,2,3若级数，则称级数和为随机变量 X

2、 的数学期望（或均值），记作E（X）随机变量 X 的数学期望完全是由它的概率分布确定的，而不应受 X 的可能取值的排列次序的影响，因此要求否则，称随机变量的数学期望不存在第3页/共85页解 易知 X 1 3 P 0.4 0.6 例1 设随机变量X的分布列为求 若将此例视为甲、乙两队“比赛”，甲队赢的概率为0.6，输的概率为0.4，并且甲队每赢一次得3分，每输一次扣1分，则 E(X)=1.4 是指甲队平均每次可得分第4页/共85页 例2 按规定，某公交车每天8点至9点和9点至10点都恰有一辆到站，各车到站的时刻是随机的，且各车到站的时间是相互独立的，其规律为到站时刻 8:10/9:10 8:30

3、/9:30 8:50/9:50 概率 0.2 0.4 0.4某乘客8:20到站，求他候车时间的数学期望 解 设乘客的候车时间为X,若该乘客8:20到车站,而8点到9点的一趟车已于8:10开走,第二趟车9:10开,则他候车的时间为50 min，该乘客其余候车时间对应的概率可类似得到，于是候车时间X的分布列为 10 30 50 70 90 0.4 0.4 0.04 0.08 0.08对应的概率为事件“第一趟车8:10开走，且第二趟9:10开”发生的概率,即第5页/共85页解 候车时间X的分布列为 10 30 50 70 90 0.4 0.4 0.04 0.08 0.08从而该乘客候车时间的数学期望

4、为 例2 按规定，某公交车每天8点至9点和9点至10点都恰有一辆到站，各车到站的时刻是随机的，且各车到站的时间是相互独立的，其规律为到站时刻 8:10/9:10 8:30/9:30 8:50/9:50 概率 0.2 0.4 0.4某乘客8:20到站，求他候车时间的数学期望第6页/共85页 求随机变量X和Y的数学期望于是有 解 由(X,Y)的联合分布律可得关于X、Y的边缘分布分别为 例3 设二维离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布表为 1 2 3 1 1/4 1/8 1/4 2 1/8 1/8 1/8 1 2 5/8 3/8 1 2 3 3/8 1/4 3/8第7页/共85页 定理1 设二维离

5、散型随机变量(X,Y)的联合概率分布为则 证明 关于X的边缘分布为于是有 同理可得 第8页/共85页 定义 设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，若积分 说明：如果积分 不收敛，则称随机变量X的数学期望不存在。收敛，则称积分值 为X的数学期望（或均值）。记作E(X)，即2.连续型随机变量的数学期望第9页/共85页试证X的数学期望不存在 例4 设随机变量X 服从柯西分布,其密度函数为证 因为即 不收敛，所以X的数学期望不存在 第10页/共85页求X的数学期望.例5 设在某一规定的时间内，一电气设备用于最大负荷的时间X（单位：min）是一个随机变量，概率密度函数为解 由已知可得 第11页/共85

6、页例6 设二维连续型随机变量的概率密度函数为解 关于X、Y的边缘概率密度函数分别为求E（X），E（Y）于是有 第12页/共85页 定理2 设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度函数为 f(x,y),则有 于是有 证 关于X、Y的边缘概率密度函数分别为第13页/共85页3.随机变量函数的数学期望如果级数 收敛，则有 定理3 设X是随机变量，Y=g(X)是X的连续函数，则有(1)若 为离散型变量，其概率函数为(2)如果X为连续型随机变量，其概率密度为 f(x),如果积分 收敛则有第14页/共85页 (3)如果(X,Y)为离散型随机向量，其联合概率分布为 P X=xi Y=yj=pij i,j=1

7、,2,3,如果 则Z=g(X,Y)的数学期望为(4)设二维随机向量（X，Y）为连续型随机变量，它的联合概率密度为f(x,y),若 收敛,则Z=g(X,Y)的数学期望为：第15页/共85页解 因为 分布律为 所以 其中 求例7 设随机变量 ，第16页/共85页解 例8 设二维随机变量(X,Y)的密度函数为 求 第17页/共85页解 例9 设二维随机变量 的密度函数为 求 第18页/共85页例9 设二维随机变量 的密度函数为 求 解 第19页/共85页 例10 设国际市场上每年对我国某种出口农产品的需求量X(单位：t)是随机变量，它服从1200，3000上的均匀分布若售出这种农产品1t，可赚2万元

8、，但若销售不出去，则每吨需付仓库保管费1万元，问每年应准备多少吨产品才可得到最大利润?解 设每年准备该种商品y t 得到平均利润为则利润为第20页/共85页解利润为得到平均利润为当y=2400时，取到最大值，故每年准备此种商品2400 t，可使平均利润达到最大 例10 设国际市场上每年对我国某种出口农产品的需求量X(单位：t)是随机变量，它服从1200，3000上的均匀分布若售出这种农产品1t，可赚2万元，但若销售不出去，则每吨需付仓库保管费1万元，问每年应准备多少吨产品才可得到最大利润?第21页/共85页证 可将C看成离散型随机变量，分布律为 PX=C=1，故由定义即得E(C)=C.2.设C

9、为常数，X为随机变量，则有E(CX)=CE(X)证 设X的密度函数为 ，则有 3.设 为任意两个随机变量，都有 1.设C为常数，则有E(C)=C 4.数学期望的性质第22页/共85页 3.设 X,Y 为任意两个随机变量，都有 证 设二维随机变量(X,Y)的密度函数为边缘密度函数分别为和 则推广到任意有限多个随机变量之和的情形，有 4.数学期望的性质第23页/共85页4.设X,Y为相互独立的随机变量，则有 证 因为X与Y相互独立，故其联合密度函数与边缘密度函数满足 推广到任意有限多个相互独立的随机变量之积的情形，有 所以 第24页/共85页解 设随机变量 例11 一民航机场的送客班车载有20位旅

10、客，自机场开出，沿途旅客有10个车站可以下车如到达一个车站没有旅客下车班车就不停设每位旅客在各个车站下车是等可能的（P0.9），且各旅客是否下车相互独立，以X表示停车的次数，求 E(X)i=1,2,10由题意，任一旅客在第i个车站不下车的概率为 表示第i站没有旅客下车，故20位旅客都不在第i站下车的概率为，在第i站有人下车的概率为，于是得的分布律如下：Xi 0 1 P 0.920 1-0.920第25页/共85页 例11 一民航机场的送客班车载有20位旅客，自机场开出，沿途旅客有10个车站可以下车如到达一个车站没有旅客下车班车就不停设每位旅客在各个车站下车是等可能的（P0.9），且各旅客是否下

11、车相互独立，以X表示停车的次数，求E(X)解 随机变量 Xi 0 1 P 0.920 1-0.920=10.920 这表明班车平均停车约9次 第26页/共85页解 例12 设二维随机变量 的密度函数为 试验证 ，但X和Y是不独立的第27页/共85页解例12 设二维随机变量 的密度函数为 试验证 ，但X和Y是不独立的所以X的边缘密度函数同理可得Y的边缘密度函数为 显然有 ，故X和Y是不独立的第28页/共85页1.离散型2.连续型3.Y=g(X)4.Y=g(X,Y)小 结第29页/共85页 由第一节我们知道，随机变量的数学期望可以反映变量取值的平均程度，但仅用数学期望描述一个变量的取值情况是远不够

12、的。我们仍用类似于第一节中的例子来说明。假设甲乙两射手各发十枪，击中目标靶的环数分别为4.2随机变量的方差第30页/共85页 容易算得，二人击中环数的平均值都是8.8环，现问，甲、乙二人哪一个水平发挥的更稳定？甲 9 8 10 8 9 8 8 9 10 9乙 6 7 9 10 10 9 10 8 9 10 直观的理解，二选手中哪一个击中的环数偏离平均值越少，这个选手发挥的更稳定第31页/共85页一些。为此我们利用二人每枪击中的环数距平均值的偏差的均值来比较。为了防止偏差 和的计算中出现正、负偏差相抵的情况，应由偏差的绝对值之和求平均更合适。对于甲选手，偏差绝对值之和为：第32页/共85页 所以

13、甲、乙二人平均每枪偏离平均值为0.64 环和 1.08 环，因而可以说，甲选手水平发挥更稳定些。类似的，为了避免运算式中出现绝对值符号。我们也可以采用偏差平方的平均值进行比较。第33页/共85页定义(离差):设X为随机变量,EX存在,称X-EX为离差;显然：E(X-EX)=0.定义(方差):设X为随机变量,EX存在,且E(X-EX)2存在,则称E(X-EX)2 为X的方差,记为:DX=E(X-EX)2特别,记 x=注意:方差反映了随机变量相对其均值的偏离程度.结合随机变量函数的数学期望可得:(1)若P(X=xn)=pn,n=1,2,.,则DX=E(X-EX)2(2)若X为连续型,Xf(x),则

14、 DX=E(X-EX)2 随机变量的方差为X的标准差.第34页/共85页若X的取值比较分散，则方差较大.若方差D(X)=0,则r.v.X 以概率1取常数值.方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度.若X的取值比较集中，则方差较小；D(X)=EX-E(X)2第35页/共85页方差的性质:(1)D(c)=0;(2)D(aX)=a2D(X)(3)D(X+b)=DX(4)DX=EX2-(EX)2证明:(2)D(aX)=EaX-E(aX)2=Ea(X-EX)2=a2E(X-EX)2=a2D(X)(4)DX=E(X-EX)2=EX2-2X(EX)+(EX)2=EX2-E2X(EX)+E(EX)2=

15、EX2-2(EX)(EX)+(EX)2=EX2-(EX)2EX2=DX+(EX)2(常用于计算方差)(注:EX是常数)(1)D(c)=0;(2)D(aX)=a2D(X)(3)D(X+b)=DX(4)DX=EX2-(EX)2第36页/共85页 从而证明：若X与Y相互独立,则已知第37页/共85页性质（5）可以推广到多个相互独立的随机变量的情形。例如，当 相互独立时，成立 第38页/共85页 例1 对服从（01）分布的随机变量 X，分布列为求 X 的方差。已知 而且则 X 的方差为解第39页/共85页 由上节中的例14 知 其中 服从同一（01）分布：且 相互独立。又由本节例 1 有 于是可得：解

16、例2 设随机变量 X 服从二项分布 ，试求 第40页/共85页例 已知随机变量X服从二项分布，且E（X）=2.4,D(X)=1.44,则二项分布的参 数n,p的值为（）n=4,p=0.6 n=6,p=0.4 n=8,p=0.3 n=24,p=0.1例设X表示 10次独立重复射击命中 目标的次数,每 次射中目标的概率为0.4,则X2 的数学期望E（X2）=()18.4第41页/共85页 例3 设随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，求在本章第一节的例中我们已经知道从而解第42页/共85页 例4 对服从a，b区间上均匀分布的随机变量X，计算已知 ，且解从而第43页/共85页几何分布而：所以：第44

17、页/共85页f(x)x0小大EX=，DX=2正态分布期望和方差正态分布期望和方差第45页/共85页例5 已知 求由方差的定义可得解作代换 则第46页/共85页求EX和DX.练习：设X的密度 函数为解得:EX=1,DX=2=1/2第47页/共85页练习:1.X,Y独立,DX=6,DY=3,则D(2X-Y)=().2.XN(3,1),YN(2,4),X,Y独立,则X-2Y+1().3.XP(2),YN(-2,4),X,Y独立,Z=X-Y,则EZ=();若X,Y独立,则EZ2=().解:(1)D(2X-Y)=D(2X)+DY=4DX+DY=27(2)E(X-2Y+1)=EX-2EY+1=0,D(X-

18、2Y+1)=DX+4DY=17所以,X-2Y+1N(0,17)(3)EZ=EX-EY=4,EZ2=E(X2+Y2-2XY)=EX2+EY22EXEY=6+8+8=22或EZ2=DZ+(EZ)2=6+16=2227N(0,17)4 22第48页/共85页例6.设X,求EX,DX.解:(1)EX=1(2)E(X2)=7/6所以,DX=EX2-(EX)2=7/6-1=1/6第49页/共85页练习：设X是一随机变量，E(X)=，D(X)=2(,0常数)，则对任意常数C，必有（）。解:E(X-C)2=EX2-2CX+C2=EX2-E(2CX)+C2=EX2-2C E(X)+C2=(EX)2+DX-2C

19、E(X)+C2=2+2-2C+C2=2+(-C)2而E(X-)2=E(X-EX)2=DX=2所以,(4)正确.第50页/共85页 例7 设随机变量 X 的期望E（X）和方差D（X）都存在，则称为 X 的标准化随机变量，试求 和 注意到 均为常数，再由期望及方差的性质可得：解第51页/共85页 可见，标准化随机变量的期望是 0，方差是1。因此，把随机变量标准化，可以使所讨第52页/共85页论的问题变得较简单，这种处理问题的方法在概率与数理统计中时有应用。例如，随机变量 X 服从正态分布 把 X 标准化 则 服从标准正态分布 ,于是要求 X 落入某一区间的概率，只需由标准正态分布表查出 落入相应区

20、间的概率即可，这一作法是我们早已熟知并已多少应用过的。第53页/共85页1.设则方差D(X)=()。2.随机变量X只取-1,0,1三个值,且相应概率比为1:2:2,又Y=X2,求(1)EX,(2)DX,(3)EY,(4)DY.课堂练习3.第54页/共85页第55页/共85页练习册 6某种产品表面上的疵点数服从泊松分布,平均一个上 有0.8个疵点,若规定疵点数不超过1个为一等品,价值 10元;疵点数大于1个不多余4个为二等品,价值8元;4个以上者为废品,求产品为废品的概率以及产品的 平均价值.解：设 X-疵点数,Y-产品价值.则：EX=0.8第56页/共85页第57页/共85页2在长为 的线段上

21、任取两点，求两点间的距离的 数学期望和方差。综合练习题 三、计算题 解：设所取两点分别为X,Y.则又 X,Y相互独立，故第58页/共85页y=xXY0 x-y0 x-y0S1S2第59页/共85页第60页/共85页1.协方差与相关系数的概念2.协方差的性质 3.相关系数的性质4.3 4.3 协方差与相关系协方差与相关系数数.小结4.矩的概念第61页/共85页(1)问题的提出 协方差1.协方差与相关系数的概念第62页/共85页(2)定义第63页/共85页(3)说明 第64页/共85页(4)协方差的计算公式证明第65页/共85页2.协方差的性质 第66页/共85页例1 1 设随即变量(X,Y)具有

22、概率密度其中区域 G 由曲线 与 围成.求第67页/共85页第68页/共85页(1)问题的提出3.相关系数的性质第69页/共85页解得第70页/共85页(2)相关系数的意义第71页/共85页证明(3)相关系数的性质第72页/共85页由方差性质知第73页/共85页故有第74页/共85页定理 若随机变量X，Y相互独立，则(4)不相关与相互独立的关系注 1)相互独立不相关 2)不相关的充要条件,即X，Y不相关。如后面例第75页/共85页因而 相关系数=0，随机变量与不相关，但是有，从而与不独立设是服从上的均匀分布，又，试求相关系数例2 解 第76页/共85页例3 解第77页/共85页第78页/共85页单击图形播放/暂停 ESC键退出第79页/共85页矩的概念(1)(1)定义(2)说明 第80页/共85页第81页/共85页.小结第82页/共85页第83页/共85页(3)不相关与相互独立的关系1)相互独立不相关2)不相关的充要条件第84页/共85页感谢您的观看。第85页/共85页