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1、会计学1数列数列(shli)通项公式的求法通项公式的求法第一页，共55页。类型一：等差数列(dn ch sh li)与等比数列的通项：公式(gngsh)第1页/共55页第二页，共55页。练习(linx)：第2页/共55页第三页，共55页。类型(lixng)二：类等差（比）数列,方法(fngf)：累加(乘)第3页/共55页第四页，共55页。一、若数列(shli)有形如an1anf(n)的解析式，而f(1)f(2)f(n)的和是可求的，则可用多式累(迭)加法求得an.(2011年厦门质检(zh jin)已知数列an中，a120，an1an2n1，nN*，则数列an的通项公式an_.解析：由条件(t
2、iojin)an1an2n1，nN*，即an1an2n1，得a2a11，a3a23，a4a35，an1an22n5，anan12n3，以上n1个式子相加并化简，得ana1(n1)2n22n21.答案：n22n21第4页/共55页第五页，共55页。变式探究变式探究(tnji)1已知数列(shli)an中，a11，an1an2n，求an.解析：当n2时，a2a12，a3a222，a4a323，anan12n1.将这n1个式子累加起来(q li)可得ana12222n1，ana12222n112222n12n1.当n1时，a1适合上式，故an2n1.第5页/共55页第六页，共55页。二、若数列有形如
3、anf(n)an1的解析(ji x)关系，而f(1)f(2)f(n)的积是可求的，则可用多式累(迭)乘法求得an.设an的首项为1的正项数列(shli)，且 n an1an0，求它的通项公式解析(ji x)：由题意a11,an0，(n1,2,3，)，第6页/共55页第七页，共55页。方法(fngf)二:第7页/共55页第八页，共55页。第8页/共55页第九页，共55页。练习(linx)第9页/共55页第十页，共55页。由整理(zhngl)得第10页/共55页第十一页，共55页。第11页/共55页第十二页，共55页。再用累乘法(chngf)也可以第12页/共55页第十三页，共55页。练习(lin
4、x)第13页/共55页第十四页，共55页。类型五：待定系数(xsh)法求数列的通项：则可考虑(kol)待定系数法设 构造新的辅助(fzh)数列 是首项为 公比为q的等比数列，求出 ,再进一步求通项 第14页/共55页第十五页，共55页。若数列有形如anpan1q(n2，p，q为常数，pq0，p1)的线性递推关系(gun x)，则可用待定系数法求得an.具体思路：设递推式可化为an1Ap(anA)，得an1pan(p1)A，与已知递推式比较(bjio)，解得A ，故可将递推式化为an p（an-1+），构造数列bn，其中bnan ，则bn1pbn，即 p，所以bn为等比数列故可求出bnf(n)，
5、再将bnan 代入即可得an.第15页/共55页第十六页，共55页。已知数列(shli)an中，a11，an1 an1，求an.解析(ji x)：解法一：数列(shli)bn为等比数列(shli)，又a132，第16页/共55页第十七页，共55页。第17页/共55页第十八页，共55页。点评：(1)注意数列解题中的换元思想的运用(ynyng)，如bnan3.(2)对数列递推式an1panq，我们通常将其化为 p ，设bnanA，构造数列bn为等比数列第18页/共55页第十九页，共55页。第19页/共55页第二十页，共55页。，练习(linx)第20页/共55页第二十一页，共55页。四、递推式如a
6、npan1rqn(n2，pqr0，p，q，r为常数(chngsh)型的通项的求法具体思路：1.等式(dngsh)两边同除以qn，第21页/共55页第二十二页，共55页。第22页/共55页第二十三页，共55页。已知数列(shli)an满足an4an12n(n2，nN*)，且a12.求an.解析(ji x)：解法一：an4an12n,第23页/共55页第二十四页，共55页。解法二：an4an12n，令an2n4(an12n1)，(n2)，得an4an12n，与已知递推式比较得1，an2n4 ，又a12214，an2n是首项为4，公比(n b)为4的等比数列an2n44n1，an4n2n22n2n.
7、第24页/共55页第二十五页，共55页。练习(linx)第25页/共55页第二十六页，共55页。变式探变式探究究(tnji)5(2011年盐城模拟(mn)在数列an中，a12，an1ann1(2)2n(nN*)，其中0.求数列an的通项公式解析(ji x)：由an1ann1(2)2n(nN*)，0，得an1ann12n12n，所以数列an的通项公式为an(n1)n2n.第26页/共55页第二十七页，共55页。第27页/共55页第二十八页，共55页。方法(fngf)二：累加由得第28页/共55页第二十九页，共55页。第29页/共55页第三十页，共55页。五、递推式如anpan1qnr(n2，pq
8、0，p，q为常数)型数列的通项求法具体思路：等价转化为anxnyp(an1x(n1)y)，再化为anpan1(p1)xn(p1)y，比较对应(duyng)系数，解出x，y，进而转化为例3的数列 (2011年济宁模拟)已知数列an中，a1 ，点(n,2an1an)在直线(zhxin)yx上，其中n1,2,3，.求数列an的通项解析(ji x)：点(n,2an1an)在直线yx上，2an1ann.第30页/共55页第三十一页，共55页。令an1x(n1)y (annxy)，可化为2an1anxn2xy0与比较(bjio)系数得x1，y2.可化为an1(n1)2 (ann2)，第31页/共55页第三
9、十二页，共55页。变式探变式探究究(tnji)6(2010年丰台区模拟(mn)在数列an中，a12，an14an3n1，nN*.(1)设bnann，求数列 的通项；(2)求数列an的前n项和Sn.解析：(1)由题设an14an3n1，得an1(n1)4(ann)，nN*.bnann，bn1an1(n1)，bn14bn.又b1a111，所以数列 是首项(shu xin)为1，且公比为4的等比数列bn4n1.第32页/共55页第三十三页，共55页。(2)由(1)可知ann4n1，于是数列(shli)an的通项公式为an4n1n.第33页/共55页第三十四页，共55页。七、倒数法求通项(1)对于递推
10、式如an1panqan1an(p，q为常数，pq0)型的数列，求其通项公式(gngsh)具体思路：两端除以an1an得：p q，若p1，则构成以首项为 ，公差为q的等差数列 ；若p1,转化为例3求解第34页/共55页第三十五页，共55页。(2011年保定(bo dn)摸底)已知数列an满足a11，n2时，an1an2an1an，求通项公式an.解析(ji x)：an1an2an1an，第35页/共55页第三十六页，共55页。变式探变式探究究(tnji)答案(d n)：an第36页/共55页第三十七页，共55页。(2)若数列(shli)an有形如an1 的关系，求其通项的具体思路是：取倒数后得
11、，即化为例3的数列(shli)，求出 ，再求得an.设数列(shli)an满足a12，an1 (nN*)，求an.解析(ji x)：由an1取倒数，第37页/共55页第三十八页，共55页。类型六：特征(tzhng)根法求数列通。（条件(tiojin)：若的相邻(xin ln)两项关系式可化为可用这种方法；(其中方程该数列的特征根）的根称为（一）有两特根与，可令构造等比数列，则可进而求出等比数列通项公式求出特征根为0与1略解：依题意可得该数列特征根为0与1第38页/共55页第三十九页，共55页。练习(linx)(改编(gibin)第39页/共55页第四十页，共55页。构造(guzo)辅助数列 ,
12、分析（二）有一根(y n)时,可令 易得 是等差数列(dn ch sh li)，求进而求出唯一特征根1解：依题意可得该数列有惟一特征根为1该题也可以先求出前几项，再猜想归纳出其通项，但要特别注意要用数学归纳法证明。第40页/共55页第四十一页，共55页。练习(linx)第41页/共55页第四十二页，共55页。（三）没有特征(tzhng)根，则可由递推关系式得出若干项可判断是周期(zhuq)数列第42页/共55页第四十三页，共55页。（题型）若数列(shli)相邻三项的关系可化为 且方程(fngchng)有解，则可用待定系数(xsh)法设 公比的辅助等比数列 构造新的以y为，转化相邻两项处理；若
13、 有两组值，也可得到两个等比数列，分别求其通项,再由方程组求出 第43页/共55页第四十四页，共55页。两种情况一起(yq)考虑，即累加方程(fngchng)思想第44页/共55页第四十五页，共55页。分别(fnbi)得到：由得第45页/共55页第四十六页，共55页。练习(linx)【解析(ji x)】（1）由求根公式，不妨设(2)(3)第46页/共55页第四十七页，共55页。递推式如递推式如的数列通项的求法的数列通项的求法【具体思路具体思路】若p=1，则等式两边取常用对数或自然对数，化为：，得到首项为 ，公比为r的等比数列 ，所以 =，得 若p1，则等式两边取以p为底的对数得：转化为题型三求
14、通项。第47页/共55页第四十八页，共55页。（11年石家庄市模拟年石家庄市模拟）若数列an中，且 ，则数列的通项公式为_ 【解析】及 知 两边取常用对数得：第48页/共55页第四十九页，共55页。是以首项为 ，公比为2的 等比数列。第49页/共55页第五十页，共55页。第50页/共55页第五十一页，共55页。其他方法：有构造常数数列，取对数（注意(zh y)真数大于零），取倒数，归纳法（注意(zh y)要用数学归纳法证明）左边(zu bian)能否因式分式？累乘法(chngf)第51页/共55页第五十二页，共55页。第52页/共55页第五十三页，共55页。第53页/共55页第五十四页，共55页。特征(tzhng)根法第54页/共55页第五十五页，共55页。