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1、会计学1理学理学(lxu)线性代数习题课线性代数习题课第一页，共80页。第1页/共80页第二页，共80页。把把 个不同的元素排成一列，叫做这个不同的元素排成一列，叫做这 个元个元素的素的全排列全排列（或（或排列排列）个不同的元素的所有排列的种数用个不同的元素的所有排列的种数用 表示，表示，且且 全排列全排列(pili)第2页/共80页第三页，共80页。逆序数逆序数(xsh)(xsh)为奇数的排列称为奇排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数(xsh)(xsh)为为偶数的排列称为偶排列偶数的排列称为偶排列在一个排列在一个排列 中，若数中，若数 ，则称这两个数组成一个则称这两个数组成一个逆序逆序
2、一个排列中所有逆序的总数称为一个排列中所有逆序的总数称为(chn wi)(chn wi)此排列的逆此排列的逆序数序数逆序数逆序数(xsh)第3页/共80页第四页，共80页。分别分别(fnbi)(fnbi)计算出排列中每个元素前面比它大的数计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数方法方法(fngf)2(fngf)2方法方法(fngf)1(fngf)1分别计算出排在分别计算出排在 前面比它大的前面比它大的数码之和，即分别算出数码之和，即分
3、别算出 这这 个元素个元素的逆序数，这的逆序数，这 个元素的逆序数之总和即为所求个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数排列的逆序数计算排列逆序数的方法计算排列逆序数的方法第4页/共80页第五页，共80页。定义定义(dngy)在排列中，将任意两个元素对调，其余元素在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，称为一次对换将相邻不动，称为一次对换将相邻(xin ln)两个元素两个元素对调，叫做相邻对调，叫做相邻(xin ln)对换对换定理定理(dngl)一个排列中的任意两个元素对换，排列改一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性变奇偶性推论推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，奇排列调成标准
4、排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数偶排列调成标准排列的对换次数为偶数对换对换第5页/共80页第六页，共80页。n阶行列式的定义阶行列式的定义(dngy)第6页/共80页第七页，共80页。第7页/共80页第八页，共80页。n阶行列式的性质阶行列式的性质(xngzh)第8页/共80页第九页，共80页。第9页/共80页第十页，共80页。）余子式与代数）余子式与代数(dish)余子式余子式行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开(zhn ki)第10页/共80页第十一页，共80页。）关于）关于(guny)代数余子式的重要性质代数余子式的重要性质第11页/共80页第十二页，共80页
5、。克拉默法则克拉默法则(fz)第12页/共80页第十三页，共80页。克拉默法则克拉默法则(fz)的理论价值的理论价值定理定理(dngl)定理定理(dngl)第13页/共80页第十四页，共80页。定理定理(dngl)定理定理(dngl)第14页/共80页第十五页，共80页。一、计算排列一、计算排列(pili)(pili)的逆序数的逆序数二、计算二、计算(j sun)(j sun)（证明）行列式（证明）行列式三、克拉默法则三、克拉默法则(fz)(fz)典型例题典型例题第15页/共80页第十六页，共80页。分别算出排列分别算出排列(pili)中每个元素前面比它大的数码之中每个元素前面比它大的数码之和
6、，即算出排列和，即算出排列(pili)中每个元素的逆序数中每个元素的逆序数解解例例一、计算一、计算(j sun)排列的逆序数排列的逆序数第16页/共80页第十七页，共80页。第17页/共80页第十八页，共80页。当当 为偶数时，排列为偶排列，为偶数时，排列为偶排列，当当 为奇数时，排列为奇排列为奇数时，排列为奇排列于是于是(ysh)排列的逆序数为排列的逆序数为第18页/共80页第十九页，共80页。用定义用定义(dngy)计算（证明）计算（证明）例用行列式定义例用行列式定义(dngy)计算计算二、计算二、计算(j sun)（证明）行列（证明）行列式式第19页/共80页第二十页，共80页。解解第2
7、0页/共80页第二十一页，共80页。评注本例是从一般项入手，将行标按标准评注本例是从一般项入手，将行标按标准顺序排列，讨论顺序排列，讨论(toln)列标的所有可能取到的值，并注列标的所有可能取到的值，并注意每一项的符号，这是用定义计算行列式的一般意每一项的符号，这是用定义计算行列式的一般方法方法注意注意(zh y)第21页/共80页第二十二页，共80页。例例设设第22页/共80页第二十三页，共80页。证明证明(zhngmng)由行列式的定义由行列式的定义(dngy)有有第23页/共80页第二十四页，共80页。评注本题证明两个行列评注本题证明两个行列(hng li)式相等，即证明两式相等，即证明
8、两点，一是两个行列点，一是两个行列(hng li)式有完全相同的项，二是每一式有完全相同的项，二是每一项所带的符号相同这也是用定义证明两个行列项所带的符号相同这也是用定义证明两个行列(hng li)式相等的常用方法式相等的常用方法第24页/共80页第二十五页，共80页。利用利用(lyng)范德蒙行列式计算范德蒙行列式计算例计算例计算(j sun)利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德蒙行列式的特点蒙行列式的特点(tdin)，将所给行列式化为范德蒙行列，将所给行列式化为范德蒙行列式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。第25页
9、/共80页第二十六页，共80页。解解第26页/共80页第二十七页，共80页。上面上面(shng min)等式右端行列式为等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，由阶范德蒙行列式，由范德蒙行列式知范德蒙行列式知第27页/共80页第二十八页，共80页。评注本题所给行列式各行（列）都是某元评注本题所给行列式各行（列）都是某元素的不同素的不同(b tn)方幂，而其方幂次数或其排列与范德蒙方幂，而其方幂次数或其排列与范德蒙行列式不完全相同，需要利用行列式的性质（如行列式不完全相同，需要利用行列式的性质（如提取公因子、调换各行（列）的次序等）将此行提取公因子、调换各行（列）的次序等）将此行列式化成范德蒙行列式列
10、式化成范德蒙行列式第28页/共80页第二十九页，共80页。用化三角形行列式计算用化三角形行列式计算(j sun)例计算例计算(j sun)第29页/共80页第三十页，共80页。解解第30页/共80页第三十一页，共80页。提取提取(tq)第一列的公因子，第一列的公因子，得得第31页/共80页第三十二页，共80页。第32页/共80页第三十三页，共80页。评注本题利用行列式的性质，采用评注本题利用行列式的性质，采用“化零化零”的方法，逐步将所给行列式化为三角形行列式的方法，逐步将所给行列式化为三角形行列式化零时一般尽量选含有的行（列）及含零较多化零时一般尽量选含有的行（列）及含零较多的行（列）；若没
11、有，则可适当选取便于化零的行（列）；若没有，则可适当选取便于化零的数，或利用行列式性质将某行（列）中的某数的数，或利用行列式性质将某行（列）中的某数化为化为1 1；若所给行列式中元素间具有某些特点，则；若所给行列式中元素间具有某些特点，则应充分利用这些特点，应用行列式性质，以达到应充分利用这些特点，应用行列式性质，以达到(d do)(d do)化为三角形行列式之目的化为三角形行列式之目的第33页/共80页第三十四页，共80页。用降阶法计算用降阶法计算(j sun)例计算例计算(j sun)解解第34页/共80页第三十五页，共80页。第35页/共80页第三十六页，共80页。第36页/共80页第三
12、十七页，共80页。第37页/共80页第三十八页，共80页。评注本题是利用行列式的性质将所给行列评注本题是利用行列式的性质将所给行列式的某行（列）化成式的某行（列）化成(hu chn)只含有一个非零元素，然后只含有一个非零元素，然后按此行（列）展开，每展开一次，行列式的阶数按此行（列）展开，每展开一次，行列式的阶数可降低可降低 1阶，如此继续进行，直到行列式能直接阶，如此继续进行，直到行列式能直接计算出来为止（一般展开成二阶行列式）这种计算出来为止（一般展开成二阶行列式）这种方法对阶数不高的数字行列式比较适用方法对阶数不高的数字行列式比较适用第38页/共80页第三十九页，共80页。用拆成行列式之
13、和（积）计算用拆成行列式之和（积）计算(j sun)例证明例证明(zhngmng)证证第39页/共80页第四十页，共80页。用递推法计算用递推法计算(j sun)例计算例计算(j sun)解解第40页/共80页第四十一页，共80页。第41页/共80页第四十二页，共80页。第42页/共80页第四十三页，共80页。由此递推，得由此递推，得如此如此(rc)继续下去，可得继续下去，可得第43页/共80页第四十四页，共80页。第44页/共80页第四十五页，共80页。评注评注(pngzh)第45页/共80页第四十六页，共80页。用数学用数学(shxu)归纳法归纳法例证明例证明(zhngmng)第46页/共
14、80页第四十七页，共80页。证证对阶数对阶数n用数学用数学(shxu)归纳法归纳法第47页/共80页第四十八页，共80页。第48页/共80页第四十九页，共80页。评注评注(pngzh)第49页/共80页第五十页，共80页。计算行列式的方法比较灵活，同一计算行列式的方法比较灵活，同一(tngy)行列式可行列式可以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方法综合应用在计算时，首先要仔细考察行列式法综合应用在计算时，首先要仔细考察行列式在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变换后，再考察它是否能用常用的几种方法换后，
15、再考察它是否能用常用的几种方法小结小结(xioji)第50页/共80页第五十一页，共80页。当线性方程组方程个数与未知数个数相等、当线性方程组方程个数与未知数个数相等、且系数行列式不等于零时，可用克莱姆法则为且系数行列式不等于零时，可用克莱姆法则为了避免在计算中出现分数，可对有的方程乘以适了避免在计算中出现分数，可对有的方程乘以适当整数当整数(zhngsh)，把原方程组变成系数及常数项都是整数，把原方程组变成系数及常数项都是整数(zhngsh)的线性方程组后再求解的线性方程组后再求解三、克拉默法则三、克拉默法则(fz)第51页/共80页第五十二页，共80页。解解设所求的二次多项式为设所求的二次
16、多项式为由题意由题意(t y)得得第52页/共80页第五十三页，共80页。由克莱姆法则由克莱姆法则(fz)，得，得于是于是(ysh)，所求的多项式为，所求的多项式为第53页/共80页第五十四页，共80页。证证第54页/共80页第五十五页，共80页。第55页/共80页第五十六页，共80页。第56页/共80页第五十七页，共80页。第57页/共80页第五十八页，共80页。例例12有甲、乙、丙三种有甲、乙、丙三种(sn zhn)化肥，甲种化肥每千化肥，甲种化肥每千克含氮克含氮70克，磷克，磷8克，钾克，钾2克；乙种化肥每千克含克；乙种化肥每千克含氮氮64克，磷克，磷10克，钾克，钾0.6克；丙种化肥每
17、千克含氮克；丙种化肥每千克含氮70克，磷克，磷5克，钾克，钾1.4克若把此三种克若把此三种(sn zhn)化肥混合，要化肥混合，要求总重量求总重量23千克且含磷千克且含磷149克，钾克，钾30克，问三种克，问三种(sn zhn)化化肥各需多少千克？肥各需多少千克？解解第58页/共80页第五十九页，共80页。第59页/共80页第六十页，共80页。例例1313第60页/共80页第六十一页，共80页。解解第61页/共80页第六十二页，共80页。第62页/共80页第六十三页，共80页。第63页/共80页第六十四页，共80页。第64页/共80页第六十五页，共80页。第65页/共80页第六十六页，共80页
18、。第66页/共80页第六十七页，共80页。第67页/共80页第六十八页，共80页。第一章第一章 测试题测试题一、填空题一、填空题(每小题每小题4 4分，共分，共4040分分)第68页/共80页第六十九页，共80页。第69页/共80页第七十页，共80页。第70页/共80页第七十一页，共80页。第71页/共80页第七十二页，共80页。二、计算二、计算(j sun)(j sun)下列行列式下列行列式(每小题每小题9 9分，共分，共1818分分)第72页/共80页第七十三页，共80页。有非零解？有非零解？三、解答三、解答(jid)(jid)题题(9(9分分)第73页/共80页第七十四页，共80页。四、证明四、证明(zhngmng)(zhngmng)(每小题每小题8 8分，共分，共2424分分)第74页/共80页第七十五页，共80页。第75页/共80页第七十六页，共80页。第76页/共80页第七十七页，共80页。五、五、(9(9分分)设设 行列式行列式求第一行各元素求第一行各元素(yun s)的代数余子式之和的代数余子式之和第77页/共80页第七十八页，共80页。测试题答案测试题答案(d n)第78页/共80页第七十九页，共80页。第79页/共80页第八十页，共80页。