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1、1第第 1 1 讲讲 直线与圆直线与圆考情考向分析 考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现热点一 直线的方程及应用1两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1l2k1k2，l1l2k1k21.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在2求直线方程要注意几种直线方程的局限性点斜式、斜截式方程要求直线不能与x轴垂直，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线3两个距离公式(1)两平行直线l1：
2、AxByC10，l2：AxByC20 间的距离d(A2B20)|C1C2|A2B2(2)点(x0，y0)到直线l：AxByC0 的距离公式d(A2B20)|Ax0By0C|A2B2例 1 (1)(2018齐鲁名校教科研协作体模拟)已知直线l1：xsin y10，直线l2：x3ycos 10，若l1l2，则 sin 2等于( )A. B C D.2 33 53 53 5答案 D解析 因为l1l2，所以 sin 3cos 0，所以 tan 3，所以 sin 22sin cos 2sin cos sin2cos2 .2tan 1tan23 5(2)在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kxy20 与直
3、线l2：xky20 相交于点P，2则当实数k变化时，点P到直线xy40 的距离的最大值为_答案 32解析 由题意得，当k0 时，直线l1：kxy20 的斜率为k，且经过点A(0,2)，直线l2：xky20 的斜率为 ，且经过点B(2,0)，且直线l1l2，所以点P落在以AB为直1 k径的圆C上，其中圆心坐标为C(1,1)，半径为r，2由圆心到直线xy40 的距离为d2，|114|22所以点P到直线xy40 的最大距离为dr23.222当k0 时，l1l2，此时点P(2,2)点P到直线xy40 的距离d2.|224|22综上，点P到直线xy40 的距离的最大值为 3.2思维升华 (1)求解两条直
4、线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况(2)对解题中可能出现的特殊情况，可用数形结合的方法分析研究跟踪演练 1 (1)(2018上海市虹口区模拟)直线ax(a1)y10 与直线 4xay20互相平行，则实数a_.答案 2解析 当a0 时， ，解得a2.a 4a1 a1 2当a0 时，两直线显然不平行故a2.(2)(2018齐齐哈尔模拟)圆x2y22x4y30 的圆心到直线xay10 的距离为2，则a等于( )A1 B0 C1 D2答案 B解析 因为(x1)222，(y2)所以2，所以a0.|12a1|1a2热点二 圆的方程及应用1圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x
5、a)2(yb)2r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2y2r2.2圆的一般方程3x2y2DxEyF0，其中D2E24F0，表示以为圆心，为半径(D 2，E 2)D2E24F2的圆例 2 (1)圆心为(2,0)的圆C与圆x2y24x6y40 相外切，则C的方程为( )Ax2y24x20Bx2y24x20Cx2y24x0Dx2y24x0答案 D解析 圆x2y24x6y40，即(x2)2(y3)29，圆心为(2,3)，半径为 3.设圆C的半径为r.由两圆外切知，圆心距为53r，222032所以r2.故圆C的方程为(x2)2y24，展开得x2y24x0.(2)已知圆M与直线 3x4y0 及 3x4y
6、100 都相切，圆心在直线yx4 上，则圆M的方程为( )A.2(y1)21(x3)B.221(x3)(y1)C.221(x3)(y1)D.2(y1)21(x3)答案 C解析 到两直线 3x4y0 及 3x4y100 的距离都相等的直线方程为 3x4y50，联立方程组Error!解得Error!两平行线之间的距离为 2，所以半径为 1，从而圆M的方程为221.故选 C.(x3)(y1)思维升华 解决与圆有关的问题一般有两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数跟踪演练 2 (1)已知
7、aR R，方程a2x2(a2)y24x8y5a0 表示圆，则圆心坐标是_，半径是_4答案 (2，4) 5解析 由已知方程表示圆，则a2a2，解得a2 或a1.当a2 时，方程不满足表示圆的条件，故舍去当a1 时，原方程为x2y24x8y50，化为标准方程为(x2)2(y4)225，表示以(2，4)为圆心，5 为半径的圆(2)(2018天津)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为_答案 x2y22x0解析 方法一 设圆的方程为x2y2DxEyF0.圆经过点(0,0)，(1,1)，(2,0)，Error!解得Error!圆的方程为x2y22x0.方法二 画出示意
8、图如图所示，则OAB为等腰直角三角形，故所求圆的圆心为(1,0)，半径为 1，所求圆的方程为(x1)2y21，即x2y22x0.热点三 直线与圆、圆与圆的位置关系1直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法主要有点线距离法和判别式法(1)点线距离法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，则dr直线与圆相离(2)判别式法：设圆C：(xa)2(yb)2r2，直线l：AxByC0(A2B20)，方程组Error!消去y，得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为，则直线与圆相离0.2圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离设圆C1：(xa1)2(yb1)2r，圆C2：(xa2)2(
9、yb2)2r，两圆心之间的距离为2 12 2d，则圆与圆的五种位置关系的判断方法如下：(1)dr1r2两圆外离(2)dr1r2两圆外切5(3)|r1r2|11，22222故两圆外离(2)(2018揭阳模拟)已知直线 4x3ya0 与C：x2y24x0 相交于A，B两点，且ACB120，则实数a的值为( )A3 B10C11 或 21 D3 或 13答案 D解析 圆的方程整理为标准方程即(x2)2y24，作CDAB于点D，由圆的性质可知ABC为等腰三角形，其中|CA|CB|，则|CD|CA|sin 302 1，1 2即圆心(2,0)到直线 4x3ya0 的距离为d1，据此可得1，|80a|423
10、2即|a8|5，解得a3 或a13.思维升华 (1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题跟踪演练 3 (1)(2018广州名校联考)已知直线yax与圆C：x2y22ax2y20 交于两点A，B，且CAB为等边三角形，则圆C的面积为_答案 6解析 圆C化为(xa)2(y1)2a21，且圆心C(a,1)，半径R(a21)a21直线yax和
11、圆C相交，且ABC为等边三角形，圆心C到直线axy0 的距离为Rsin 60，32a216即d.|a21|a213a212解得a27.圆C的面积为 R2(71)6.(2)如果圆(xa)2(ya)28 上总存在到原点的距离为的点，则实数a的取值范围是( )2A(3，1)(1,3) B(3,3)C1,1 D3，11,3答案 D解析 圆心(a，a)到原点的距离为|a|，半径r2，圆上的点到原点的距离为d.因为22圆(xa)2(ya)28 上总存在点到原点的距离为，则圆(xa)2(ya)28 与圆2x2y22 有公共点，r，所以rr|a|rr，即 1|a|3，解得221a3 或3a1，所以实数a的取值
12、范围是3，11,3.真题体验1(2016山东改编)已知圆M：x2y22ay0(a0)截直线xy0 所得线段的长度是 2，则圆M与圆N：(x1)2(y1)21 的位置关系是_2答案 相交解析 圆M：x2(ya)2a2，圆心坐标为M(0，a)，半径r1a，圆心M到直线xy0 的距离d，|a|2由几何知识得2()2a2，解得a2.(|a|2)2M(0,2)，r12.又圆N的圆心坐标为N(1,1)，半径r21，|MN|.1021222又r1r23，r1r21，r1r20，所以t1，所以mn32.mn22故mn有最小值 32，无最大值故选 B.23若圆x2y24 与圆x2y2ax2ay90(a0)相交，
13、公共弦的长为 2，则2a_.押题依据 本题已知公共弦长，求参数的范围，情境新颖，符合高考命题的思路答案 102解析 联立两圆方程Error!可得公共弦所在直线方程为ax2ay50，故圆心(0,0)到直线ax2ay50 的距离为(a0)|5|a24a25a故 22，22(5a)22解得a2 ，5 2因为a0，所以a.102A 组 专题通关91若0，直线过(0，sin )，(cos ，0)两点，因而直线不过第二象限2(2018呼和浩特调研)设直线l1：x2y10 与直线l2：mxy30 的交点为A，P，Q分别为l1，l2上任意两点，点M为P，Q的中点，若|AM| |PQ|，则m的值为( )1 2A
14、2 B2 C3 D3答案 A解析 根据题意画出图形，如图所示直线l1：x2y10 与直线l2：mxy30 的交点为A，M 为PQ 的中点，若|AM| |PQ|，则PAQA，1 2即l1l2，1m(2)10，解得m2.3我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长，这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就现作出圆x2y22 的一个内接正八边形，使该正八边形的其中 4 个顶点在坐标轴上，则下列 4 条直线中不是该正八边形的一条边所在直线的为( )Ax(1)y0 B(1)xy02222Cx(1)y0 D(
15、1)xy02222答案 C解析 如图所示可知A(，0)，2B(1,1)，C(0，)，D(1,1)，210所以直线AB，BC，CD的方程分别为y(x)，101 22y(1)x，22y(1)x22整理为一般式即xy0，(21)2xy0，(1 2)2xy0，(21)2故选 C.4(2018吴忠模拟)与直线xy40 和圆x2y22x2y0 都相切的半径最小的圆的方程是( )A(x1)222 B(x1)224(y1)(y1)C(x1)222 D(x1)224(y1)(y1)答案 C解析 圆x2y22x2y0 的圆心为(1,1)，半径为，过圆心(1,1)与直线2xy40 垂直的直线方程为xy0，所求的圆心
16、在此直线上，又圆心(1,1)到直线xy40 的距离为3，则所求圆的半径为，设所求圆心为(a，b)，且圆心在直线6222xy40 的左上方，则，且ab0，解得a1，b1(a3，b3|ab4|22不符合半径最小，舍去)，故所求圆的方程为(x1)222.(y1)5(2018孝义模拟)已知点P是直线l：xyb0 上的动点，由点P向圆O：x2y21引切线，切点分别为M，N，且MPN90，若满足以上条件的点P有且只有一个，则b等于( )A2 B2 C. D22答案 B解析 由题意得PMOPNOMON90，|MO|ON|1，四边形PMON是正方形，|PO|，2满足以上条件的点P有且只有一个，OP垂直于直线x
17、yb0，b2.2|b|116在平面直角坐标系xOy中，圆O的方程为x2y24，直线l的方程为yk(x2)，若在圆O上至少存在三点到直线l的距离为 1，则实数k的取值范围是( )11A. B.0，3333，33C. D.1 2，1 20，1 2答案 B解析 根据直线与圆的位置关系可知，若圆O：x2y24 上至少存在三点到直线l：yk(x2)的距离为 1，则圆心(0,0)到直线kxy2k0 的距离d应满足d1，即1，解得k2 ，即k，故选 B.|2k|k211 333337(2018安阳模拟)已知圆C1：x2y2kx2y0 与圆C2：x2y2ky40 的公共弦所在直线恒过定点P(a，b)，且点P在
18、直线mxny20 上，则mn的取值范围是( )A. B.(0，1 4)(0，1 4C. D.(，1 4)(，1 4答案 D解析 由x2y2kx2y0 与x2y2ky40，相减得公共弦所在直线方程kxy40，(k2)即k(xy)0，(2y4)所以由Error!得x2，y2，即P，因此 2m2n20，(2，2)所以mn1，mn2 (当且仅当mn时取最大值)(mn 2)1 48(2018齐鲁名校教科研协作体模拟)直线xysin 30(R R)的倾斜角的取值范围是_答案 4，34解析 若 sin 0，则直线的倾斜角为； 2若 sin 0，则直线的斜率k，1 sin (，1 1，)设直线的倾斜角为，则
19、tan ，(，1 1，)故 ， 4，2)( 2，3412综上可得直线的倾斜角的取值范围是. 4，349(2018安徽省“皖南八校”联考)若过点(2,0)有两条直线与圆x2y22x2ym10 相切，则实数m的取值范围是_答案 (1,1)解析 由题意过点(2,0)有两条直线与圆x2y22x2ym10 相切，则点(2,0)在圆外，即 2222m10，解得m1；由方程x2y22x2ym10 表示圆，则(2)2224(m1)0，解得m0，解得a6，故选 D.|34a|515(2018合肥质检)为保护环境，建设美丽乡村，镇政府决定为A，B，C三个自然村建造一座垃圾处理站，集中处理A，B，C三个自然村的垃圾
20、，受当地条件限制，垃圾处理站M只能建在与A村相距 5 km，且与C村相距 km 的地方已知B村在A村的正东方向，相距313 km，C村在B村的正北方向，相距 3 km，则垃圾处理站M与B村相距_ km.3答案 2 或 7解析 以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(0,0)，B(3,0)，C(3,3)3由题意得垃圾处理站M在以A(0,0)为圆心，5 为半径的圆A上，同时又在以C(3,3)为圆3心，为半径的圆C上，两圆的方程分别为x2y225 和(x3)2(y3)231.313由Error!解得Error!或Error!垃圾处理站M的坐标为(5,0)或，(5 2，5
21、32)|MB|2 或|MB| 7，(5 23)2(5 32)2即垃圾处理站M与B村相距 2 km 或 7 km.16点P(x，y)是直线 2xy40 上的动点，PA，PB是圆C：x2(y1)21 的两条切线，A，B是切点，则PAB面积的最小值为_答案 8 5解析 由圆的方程C：x2(y1)21，16可得圆心C(0,1)，半径r1，则圆心到直线 2xy40 的距离为d，522125设|PC|m，则m，5则SPAB |PA|2sin 2APC1 2|PA|2sinAPCcosAPC|PA|2，1 |PC|PA| |PC|(m21)3m2令S，m，m213m25所以Sm21(3m22m22)m30，m21(m22)m3所以函数S在上单调递增，5，)所以 SminS .即(SPAB)min .(5)8585