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1、江苏专用江苏专用 20222022 版高考数学二版高考数学二轮复习专题五解析几何第轮复习专题五解析几何第 1 1讲直讲直线与圆学案文苏教版线与圆学案文苏教版第第 1 1 讲讲直线与圆直线与圆 2022 2022 考向导航考向导航 考点扫考点扫描描1 1直直线线方方 程程 与与两两 直直 线线的的 位位 置置关系关系2 2圆圆的的方程方程3 3直直线线与与 圆圆 的的位位 置置 关关系系第第1212题题三年考情三年考情2022022022022022022 22 22 2本讲命题热点是本讲命题热点是直线间的平行和垂直直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的条件、与距离有关的问题、圆的方程、的问题、
2、圆的方程、直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系(特别是弦长、特别是弦长、切线问切线问题题)，此类问题难度属此类问题难度属于中等，一般以填空于中等，一般以填空题的形式出现，多考题的形式出现，多考查其几何图形的性质查其几何图形的性质或方程知识或方程知识1 1必记的概念与定理必记的概念与定理-2-2-考向预测考向预测第第1313题题(1)(1)直线方程的五种形式直线方程的五种形式点斜式：点斜式：y yy y1 1k k(x xx x1 1)()(直线过点直线过点P P1 1(x x1 1，y y1 1)，且斜率为，且斜率为k k，不包括，不包括y y轴和平行于轴和平行于y y轴的直轴的直线线)斜截式
3、：斜截式：y ykxkxb b(b b为直线为直线l l在在y y轴上的轴上的截距，且斜率为截距，且斜率为k k，不包括，不包括y y轴和平行于轴和平行于y y轴的轴的直线直线)y yy y1 1x xx x1 1两点式：两点式：(直线过点直线过点P P1 1(x x1 1，y y2 2y y1 1x x2 2x x1 1y y1 1)，P P2 2(x x2 2，y y2 2)，且，且x x1 1x x2 2，y y1 1y y2 2，不包括坐标，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线轴和平行于坐标轴的直线)x xy y截距式：截距式：1(1(a a、b b分别为直线的横、分别为直线的横、a ab
4、 b纵截距，且纵截距，且a a0，0，b b0 0，不包括坐标轴、平行于，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线坐标轴和过原点的直线)一般式：一般式：AxAxByByC C0(0(其中其中A A，B B不同时不同时为为 0)0)(2)(2)圆的方程的两种形式圆的方程的两种形式-3-3-圆的标准方程：圆的标准方程：(x xa a)(y yb b)r r圆的一般方程：圆的一般方程：x xy yDxDxEyEyF F0(0(D DE E4 4F F0)0)2 2记住几个常用的公式与结论记住几个常用的公式与结论(1)(1)点到直线的距离公式点到直线的距离公式点点P P(x x1 1，y y1 1)到
5、直线到直线l l：AxAxByByC C0 0 的距离的距离|AxAx1 1ByBy1 1C C|d d2 22 2A AB B(2)(2)两条平行线间的距离公式两条平行线间的距离公式两条平行线两条平行线AxAxByByC C1 10 0 与与AxAxByByC C2 20 0|C C1 1C C2 2|间的距离间的距离d d2 22 2A AB B(3)(3)假设直线假设直线l l1 1和和l l2 2有斜截式方程有斜截式方程l l1 1y yk k1 1x xb b1 1，l l2 2y yk k2 2x xb b2 2，那么直线，那么直线l l1 1l l2 2的充要条件的充要条件是是k
6、 k1 1k k2 21 1(4)(4)设设l l1 1A A1 1x xB B1 1y yC C1 10 0，l l2 2A A2 2x xB B2 2y yC C2 20 0那么那么l l1 1l l2 2A A1 1A A2 2B B1 1B B2 20 0(5)(5)方程方程AxAxBxyBxyCyCyDxDxEyEyF F0 0 表示表示-4-4-2 22 22 22 22 22 22 22 22 2圆的充要条件是：圆的充要条件是：B B0 0；A AC C0；0；D DE E4 4AFAF0 0(6)(6)常用到的圆的几个性质常用到的圆的几个性质直线与圆相交时应用垂径定理构成直角三
7、直线与圆相交时应用垂径定理构成直角三角形角形(半弦长，弦心距，圆半径半弦长，弦心距，圆半径)；圆心在过切点且与切线垂直的直线上；圆心在过切点且与切线垂直的直线上；圆心在任一弦的中垂线上；圆心在任一弦的中垂线上；两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；共线；圆的对称性：圆关于圆心成中心对称，关圆的对称性：圆关于圆心成中心对称，关于任意一条过圆心的直线成轴对称于任意一条过圆心的直线成轴对称两圆相交，将两圆方程联立消去二次项，得两圆相交，将两圆方程联立消去二次项，得到一个二元一次方程即为两圆公共弦所在的直线到一个二元一次方程即为两圆公共弦所在的直线方程方程3 3
8、需要关注的易错易混点需要关注的易错易混点(1)(1)在判断两条直线的位置关系时，在判断两条直线的位置关系时，首先应分首先应分析直线的斜率是否存在，两条直线都有斜率时，析直线的斜率是否存在，两条直线都有斜率时，可根据斜率的关系作出判断，无斜率时，要单独可根据斜率的关系作出判断，无斜率时，要单独-5-5-2 22 2考虑考虑(2)(2)在使用点到直线的距离公式或两平行线在使用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式时，直线方程必须先化为间的距离公式时，直线方程必须先化为AxAxByByC C0 0 的形式，否那么会出错的形式，否那么会出错直线方程与两直线的位置关系直线方程与两直线的位置关系 典型例
9、题典型例题(1)(2022高考江苏卷(1)(2022高考江苏卷)在平面直角坐在平面直角坐标系标系xOyxOy中，中，A A为直线为直线l l：y y2 2x x上在第一象限内上在第一象限内的点，的点，B B(5(5，0)0)，以，以ABAB为直径的圆为直径的圆C C与直线与直线l l交交于另一点于另一点D D假设假设ABABCDCD0 0，那么点，那么点A A的横坐标的横坐标为为_(2)(2022徐州、淮安、宿迁、连云港四市(2)(2022徐州、淮安、宿迁、连云港四市模拟模拟)a a，b b为正数，且直线为正数，且直线axaxbyby6 60 0 与直线与直线2 2x x(b b3)3)y y
10、5 50 0 互相平行，那么互相平行，那么2 2a a3 3b b的最的最小值为小值为_-6-6-【解析】【解析】(1)(1)因为因为ABABCDCD0 0，所以所以ABABCDCD，又点又点C C为为ABAB的中点，所以的中点，所以BADBAD4545设直线设直线l l的倾斜角为的倾斜角为，直线直线ABAB的斜率为的斜率为k k，那么那么 tantan 2 2，k ktantan 3 3又又B B(5(5，0)0)，所以直，所以直4 4 线线ABAB的方程为的方程为y y3(3(x x5)5)，又，又A A为直线为直线l l：y y2 2x x上在第一象限内的点，上在第一象限内的点，联立直线
11、联立直线ABAB与直线与直线l l y y3 3x x5 5，x x3 3，的方程，得的方程，得 解得解得 所以所以 y y2 2x x，y y6 6，点点A A的横坐标为的横坐标为 3 3a a2 2a a(2)(2)法一：法一：由两条直线平行得由两条直线平行得 且且b bb b3 32 26 62 2b b，化简得，化简得a a0 0，得，得b b3 3，故，故 2 2a a3 3b b5 5b b3 34 4b b4 4b b3 312123 3b b3(3(b b3)3)9 91313b b3 3b b3 312123(3(b b3)133)13 2 236362525，当且仅当，当且
12、仅当b b3 312123(3(b b3)3)，即，即b b5 5 或或b b1(1(舍去舍去)时等号成时等号成b b3 3-7-7-立，故立，故(2(2a a3 3b b)minmin2525a a2 2a a法二：由两条直线平行得法二：由两条直线平行得 且且 b bb b3 32 2 2 23 3 6 62 23 3，化简得化简得 1 1，故故 2 2a a3 3b b (2(2a a3 3b b)5 5a ab b a ab b 13136 6b ba a6 6a ab b13132 26 6b bb b2525，当且仅当当且仅当a ab ba a6 6a aa a2 23 3 且且 1
13、 1，b ba ab b即即a ab b5 5 时等号成立，故时等号成立，故(2(2a a3 3b b)minmin2525【答案】【答案】(1)3(1)3(2)25(2)25(1)(1)在求直线方程时，在求直线方程时，应选择适当的形式，应选择适当的形式，并并注意各种形式的适用条件对于点斜式、截距式注意各种形式的适用条件对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用方程使用时要注意分类讨论思想的运用(2)(2)求解与两条直线平行或垂直有关的问题求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即“斜率相等或“互为负倒
14、数假设出现斜即“斜率相等或“互为负倒数假设出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研-8-8-究究 对点训练对点训练 1 1直线直线 4 4axaxy y1 1 与直线与直线(1(1a a)x xy y1 1互相垂直，那么互相垂直，那么a a_ 解析解析 由题可得：由题可得：4 4a a(1(1a a)1 10 0，即，即 4 4a a2 24 4a a1 10 0，1 1 2 2故故a a2 21 1 2 2 答案答案 2 22 2(2022南京、(2022南京、盐城高三模拟盐城高三模拟)在平面直角在平面直角坐标系坐标系xOyxOy中，直线中，
15、直线l l1 1：kxkxy y2 20 0 与直线与直线l l2 2：x xkyky2 20 0 相交于点相交于点P P，那么当实数，那么当实数k k变化时，变化时，点点P P到直线到直线x xy y4 40 0 的距离的最大值为的距离的最大值为_ 解析解析 由题意可得直线由题意可得直线l l1 1恒过定点恒过定点A A(0(0，2)2)，直线直线l l2 2恒过定点恒过定点B B(2(2，0)0)，且，且l l1 1l l2 2，那么点，那么点P P的轨迹是以的轨迹是以ABAB为直径的圆，圆的方程为为直径的圆，圆的方程为(x x1)1)2 2-9-9-(y y1)1)2 2圆心圆心(1(1
16、，1)1)到直线到直线x xy y4 40 0 的的|1|11 14|4|距离为距离为2 2 2 2，那么点，那么点P P到直线到直线x xy y2 24 40 0 的距离的最大值为的距离的最大值为 3 3 2 2 答案答案 3 3 2 2圆的方程圆的方程 典型例题典型例题 (1)(1)在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中，以点中，以点(1(1，0)0)为圆心且与直线为圆心且与直线mxmxy y2 2m m1 10(0(m mR R)相切相切的的所所有有圆圆中中，半半径径最最大大的的圆圆的的标标准准方方程程为为_(2)(2)(2022南通市高三第一次调研测试2022南通市高三第一次调
17、研测试)在在平面直角坐标系平面直角坐标系xOyxOy中，中，B B，C C为圆为圆x xy y4 4 上上两点，点两点，点A A(1(1，1)1)，且，且ABABACAC，那么线段，那么线段BCBC的长的长的取值范围为的取值范围为_【解析】【解析】(1)(1)直线直线mxmxy y2 2m m1 10 0 经过定经过定点点(2(2，1)1)-10-10-2 22 22 2当圆与直线相切于点当圆与直线相切于点(2(2，1)1)时，圆的半径时，圆的半径最大，最大，此时半径此时半径r r满足满足r r(1(12)2)(0(01)1)2 2，故所求圆的标准方程为故所求圆的标准方程为(x x1)1)y
18、y2 2(2)(2)设设BCBC的中点为的中点为M M(x x，y y)，因为因为OBOB2 2OMOM2 2BMBM2 2OMOM2 2AMAM2 2，所以所以 4 4x xy y(x x1)1)(y y1)1)，1 1 2 2 1 1 2 23 3化简得化简得 x x y y ，2 2 2 2 2 2 1 11 1 6 6所以点所以点M M的轨迹是以的轨迹是以，为圆心，为圆心，为半为半2 2 2 22 2 2 22 22 22 22 22 22 22 22 2径的圆，径的圆，1 11 1 2 2又又A A与与，的距离为的距离为，2 2 2 22 2 6 6 2 26 6 2 2 ，所以所以
19、AMAM的取值范围是的取值范围是，2 22 2 所以所以BCBC的取值范围是的取值范围是 6 6 2 2，6 6 22【答案】【答案】(1)(1)(x x1)1)y y2 2(2)(2)6 62 2，6 6 22-11-11-2 22 2在解题时选择设标准方程还是一般方程的一在解题时选择设标准方程还是一般方程的一般原那么是：如果由条件易得圆心坐标、半径或般原那么是：如果由条件易得圆心坐标、半径或可用圆心坐标、半径列方程可用圆心坐标、半径列方程(组组)，那么通常选择，那么通常选择设圆的标准方程，否那么选择设圆的一般方程设圆的标准方程，否那么选择设圆的一般方程 对点训练对点训练 3 3圆圆C C经
20、过坐标原点和点经过坐标原点和点(4(4，0)0)，且与直线，且与直线y y1 1 相切，那么圆相切，那么圆C C的方程是的方程是_ 解析解析 因为圆因为圆C C经过原点经过原点O O(0(0，0)0)和点和点P P(4(4，0)0)，所以线段所以线段OPOP的垂直平分线的垂直平分线x x2 2 过圆过圆C C的圆的圆心，心，设圆设圆C C的方程为的方程为(x x2)2)(y yb b)r r，又圆又圆C C过点过点O O(0(0，0)0)且与直线且与直线y y1 1 相切，所相切，所3 35 5以以b b2 2 r r，且且|1|1b b|r r，解得解得b b，r r，2 22 22 22
21、22 22 22 22 2 3 3 2 22525所以圆所以圆C C的方程为的方程为(x x2)2)y y 2 2 4 4 2 2 3 3 2 22525 答案答案(x x2)2)y y 2 2 4 4 2 2-12-12-直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 典型例题典型例题 (1)(1)在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中，直线中，直线x x2 2y y3 30 0 被圆被圆(x x2)2)2 2(y y1)1)2 24 4 截得的弦长截得的弦长为为_(2)(2)如图，如图，在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中，中，以以M M为为圆心的圆圆心的圆M M：x x2 2y
22、y2 21212x x1414y y60600 0 及其上一及其上一点点A A(2(2，4)4)设圆设圆N N与与x x轴相切，与圆轴相切，与圆M M外切，且圆心外切，且圆心N N在直线在直线x x6 6 上，求圆上，求圆N N的标准方程；的标准方程；设平行于设平行于OAOA的直线的直线l l与圆与圆M M相交于相交于B B，C C两点，且两点，且BCBCOAOA，求直线，求直线l l的方程；的方程；设点设点T T(t t，0)0)满足：存在圆满足：存在圆M M上的两点上的两点P P和和Q Q，使得，使得TATATPTPTQTQ，求实数，求实数t t的取值范围的取值范围-13-13-【解】【解
23、】(1)(1)圆心为圆心为(2(2，1)1)，半径，半径r r2 2|2|2221 13|3|圆心到直线的距离圆心到直线的距离d d1 14 43 3 5 5，5 5所以弦长为所以弦长为2 2r rd d2 22 2 55555 52 2 5555故填故填5 5(2)(2)圆圆M M的标准方程为的标准方程为(x x6)6)(y y7)7)2525，所以圆心，所以圆心M M(6(6，7)7)，半径为，半径为 5 5由圆心由圆心N N在直线在直线x x6 6 上，上，可设可设N N(6(6，y y0 0)因因为圆为圆N N与与x x轴相切，与圆轴相切，与圆M M外切，所以外切，所以 00y y0
24、0700，c c0)0)恒过点恒过点P P(1(1，m m)，且且Q Q(4(4，0)0)到动直线到动直线l l0 0的最大距的最大距1 12 2离为离为 3 3，那么，那么 的最小值为的最小值为_2 2a ac c 解析解析 动直线动直线l l0 0：axaxbybyc c2 20(0(a a00，c c0)0)恒过点恒过点P P(1(1，m m)，所以，所以a abmbmc c2 20 0又又Q Q(4(4，0)0)到动直线到动直线l l0 0的最大距离为的最大距离为 3 3，所以所以4 41 1 0 0m m 3 3，解得，解得m m0 0所以所以a ac c2 2 1 12 2 1 1
25、2 21 1又又a a00，c c00，所以所以 (a ac c)2 2a ac c2 2 2 2a ac c 2 22 21 1 5 5c c2 2a a 1 1 5 5 2 22 2 2 22 2a ac c 2 2 2 24 42 2a a 时取等号时取等号3 39 9 答案答案 4 4c c2 2a a 9 9当且仅当当且仅当c c ，2 2a ac c 4 4-20-20-4 4以原点以原点O O为圆心的圆与直线为圆心的圆与直线l l：y ymxmx(3(34 4m m)，(m mR)R)恒有公共点，恒有公共点，且要求使圆且要求使圆O O的面的面积最小，那么圆积最小，那么圆O O的方
26、程为的方程为_ 解析解析 因为直线因为直线l l：y ymxmx(3(34 4m m)过定点过定点T T(4(4，3)3)，由题意，要使圆，由题意，要使圆O O的面积最小，那么定的面积最小，那么定点点T T(4(4，3)3)在圆上，在圆上，所以圆所以圆O O的方程为的方程为x xy y2525 答案答案 x xy y25255 5(2022南京高三模拟(2022南京高三模拟)在平面直角坐标系在平面直角坐标系2 22 22 22 2xOyxOy中，圆中，圆M M：(x xa a)(y ya a3)3)1(1(a a0)0)，点，点N N为圆为圆M M上任意一点假设以上任意一点假设以N N为圆心，
27、为圆心，ONON为半为半径的圆与圆径的圆与圆M M至多有一个公共点，那么至多有一个公共点，那么a a的最小的最小值为值为_ 解析解析 由题意可得圆由题意可得圆N N与圆与圆M M内切或内含，内切或内含，那么那么|ONON|2|2 恒成立，即恒成立，即|ONON|minmin|OMOM|12，12，|OMOM|3 3，即，即a a2 2(a a3)3)2 29 9，又，又a a00，得，得a a3，3，那么那么a a的最小值是的最小值是 3 3 答案答案 3 36 6(2022苏锡常镇四市高三调研(2022苏锡常镇四市高三调研)直线直线l l：-21-21-2 22 2mxmxy y2 2m m
28、1 10 0，圆，圆C C：x xy y2 2x x4 4y y0 0，当，当直线直线l l被圆被圆C C所截得的弦长最短时，实数所截得的弦长最短时，实数m m_ 解析解析 直线直线l l被圆被圆C C：(x x1)1)(y y2)2)5 5所截得的弦长最短，即圆心所截得的弦长最短，即圆心C C到直线到直线l l的距离最的距离最|1|1m m|大，大，d d2 2m m1 11 1m m2 2m m1 12 22 22 22 22 22 2m m1 12 2，当当m m1 1d d取取 最最 大大 值值 时时，m m 0 0，此此 时时d d1 1 2 2，当且仅当，当且仅当m m1 1，1
29、1m mm m即即m m1 1 时取等号，即时取等号，即d d取得最大值，弦长最取得最大值，弦长最短短 答案答案 1 17 7(2022江苏省六市高三调研(2022江苏省六市高三调研)在平面直角在平面直角坐标系坐标系xOyxOy中，圆中，圆C C1 1：(x x4)4)(y y8)8)1 1，圆，圆2 22 22 2C C2 2：(x x6)6)2 2(y y6)6)2 29 9假设圆心在假设圆心在x x轴上的轴上的圆圆C C同时平分圆同时平分圆C C1 1和圆和圆C C2 2的圆周，那么圆的圆周，那么圆C C的方的方程是程是_-22-22-解析解析 因为所求圆的圆心在因为所求圆的圆心在x x
30、轴上，轴上，所以可所以可设所求圆的方程为设所求圆的方程为x xy yDxDxF F0 0用它的方用它的方程与两圆的方程分别相减得，程与两圆的方程分别相减得，(D D8)8)x x1616y yF F79790 0，(D D12)12)x x1212y yF F63630 0，由题意，由题意，圆心圆心C C1 1(4(4，8)8)，C C2 2(6(6，6)6)分别在上述两条直线分别在上述两条直线上，从而求得上，从而求得D D0 0，F F8181，所以所求圆的方，所以所求圆的方程为程为x xy y8181 答案答案 x xy y81818 8(2022南京模拟(2022南京模拟)过点过点(2
31、2，0)0)引直线引直线l l与曲线与曲线y y 1 1x x相交于相交于A A，B B两点，两点，O O为坐标原为坐标原点，当点，当AOBAOB的面积取最大值时，直线的面积取最大值时，直线l l的斜率的斜率等于等于_ 解析解析 令令P P(2 2，0)0)，如图，如图，易知易知|OAOA|OBOB|1 11 11 1，所以，所以S SAOBAOB|OAOA|OBOB|sinsinAOBAOB sinsin2 22 21 1AOBAOB，当，当AOBAOB9090时，时，AOBAOB的面积取得的面积取得2 2最大值，此时过点最大值，此时过点O O作作OHOHABAB于点于点H H，那么，那么|
32、OHOH|-23-23-2 22 22 22 22 22 22 22 22 2|OHOH|2 21 1，于是于是 sinsinOPHOPH，易知易知OPHOPH2 2|OPOP|2 22 2为锐角，所以为锐角，所以OPHOPH3030，那么直线，那么直线ABAB的倾斜的倾斜角为角为 150150，故直线，故直线ABAB的斜率为的斜率为 tan 150tan 1503 33 33 3 答案答案 3 39 9(2022南京市四校第一学期联考(2022南京市四校第一学期联考)圆圆O O：x xy y1 1，半径为，半径为 1 1 的圆的圆M M的圆心的圆心M M在线段在线段CDCD：y yx x4(
33、4(m mx xn n，m m 0)0)，由，由2 22 22 2-28-28-|3|3a a7|7|2 213132 2R R题意知题意知 3 3 4 4，解得，解得a a1 1 或或a a8 82 2 a a3 3R R又圆又圆C C的面积的面积S SR R130200，2 2 6 62 2 6 6解得解得k k111，3 33 36 6k k2 2x x1 1x x2 22 2，y y1 1y y2 2k k(x x1 1x x2 2)6 61 1k k-29-29-2 22 22 22 2k k6 62 21 1k k在在OADBOADB中，中，ODODOAOAOBOB(x x1 1x
34、 x2 2，y y1 1y y2 2)，MCMC(1(1，3)3)，假设，假设ODODMCMC，那么，那么3(3(x x1 1x x2 2)6 6k k2 22 2k k6 63 3y y1 1y y2 2，所以，所以 3 32 22 2，解得，解得k k 1 1k k1 1k k4 43 32 2 6 62 2 6 6但但/(，/(，1 1)(1)(1，)，)，4 43 33 3所以不存在直线所以不存在直线l l，使得直线，使得直线ODOD与与MCMC恰好恰好平行平行1313(2022江苏省高考名校联考(2022江苏省高考名校联考(三三)如图，如图，在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxO
35、y中，中，圆圆O O：x x2 2y y2 24 4，F F(0(0，2)2)，点，点A A，B B是圆是圆O O上的动点，且上的动点，且FAFAFBFB4 4(1)(1)假设假设FBFB1 1，且点，且点B B在第二象限，求直线在第二象限，求直线ABAB的方程；的方程；(2)(2)是否存在与动直线是否存在与动直线ABAB恒相切的定圆？假恒相切的定圆？假-30-30-设存在，求出该圆的方程；假设不存在，请说明设存在，求出该圆的方程；假设不存在，请说明理由理由 解解 (1)(1)显然直线显然直线FBFB的斜率存在，故可设直的斜率存在，故可设直线线FBFB的方程为的方程为y ykxkx2(2(k
36、k0)0)，y ykxkx2 22 22 2 联立方程得联立方程得2 2，消去消去y y得，得，(k k1)1)x x2 2 x xy y4 44 4kxkx0 0，x xB B2 24 4k k k k1 1得得 2 2，2 22 2k k y yB B2 2k k1 1 4 4k k 4|4|k k|2 2故故FBFB 1 1k k 0 0 2 21 1，k k1 1 k k1 12 2 151515157 7 得得k k，点，点B B，15154 44 4 因为因为FBFB1 1，且，且FAFAFBFB4 4，所以，所以FAFA4 4，又圆又圆O O的半径为的半径为 2 2，所以，所以A
37、 A(0(0，2)2)，故直线故直线ABAB的方程为的方程为y y 1515x x2 2(2)(2)由由(1)(1)的求解方法易知，假设的求解方法易知，假设FBFB1 1，且，且-31-31-点点B B在第一象限，在第一象限，那么直线那么直线ABAB的方程为的方程为y y 1515x x2 2，故假设存在符合题意的圆，那么圆心在故假设存在符合题意的圆，那么圆心在y y轴轴上上设圆心坐标为设圆心坐标为(0(0，m m)，易知当，易知当ABABx x轴时，轴时，直线直线ABAB的方程为的方程为y y1 1，|m m2|2|m m2|2|2 2故故|m m1|1|，解得，解得m m 或或m m4 4
38、5 515151 12 2假设直线假设直线FBFB，FAFA的斜率存在，不妨设直线的斜率存在，不妨设直线FBFB，FAFA的方程分别为的方程分别为y yk k1 1x x2 2，y yk k2 2x x2(2(k k1 1k k2 2)，4 4k k1 12 22 2k k2 21 1 ，2 2由由(1)(1)的求解方法易知，的求解方法易知，B B 2 2 k k1 11 1k k1 11 1 4 4k k2 22 22 2k k 4|4|k k1 1|，FBFBA A 2 2，2 2，FAFA2 2 k k2 21 1k k2 21 1 k k1 11 12 22 24|4|k k2 2|2
39、 2k k2 21 1-32-32-4|4|k k1 1|4|4|k k2 2|又又FAFAFBFB4 4，所以，所以2 22 24 4，化，化k k1 11 1k k2 21 1简得简得 1515k k k kk kk k1(*)1(*)当直线当直线ABAB的斜率存在且不等于的斜率存在且不等于 0 0 时，直线时，直线 4 4k k1 1 x x 2 2 k k1 11 1 4 4k k1 1 4 4k k2 2 2 2 2 2k k2 21 1 k k1 11 1 2 21 12 22 22 21 12 22 2ABAB的的方方程程为为2 22 2k ky y2 2k k1 11 12 2
40、2 2，2 22 2k k2 22 22 2k k1 12 22 2k k2 21 1k k1 11 1化简得化简得(k k1 1k k2 2)x x(k k1 1k k2 21)1)y y2(2(k k1 1k k2 21)1)0 0，那那 么么 点点(0(0，2)2)到到 直直 线线ABAB的的 距距 离离d d|4|4k k1 1k k2 2|4|4k k1 1k k2 2|，2 22 22 22 22 22 2k k1 1k k2 2 k k1 1k k2 21 1k k1 1k k2 2k k1 1k k2 21 1把把(*)(*)代入上式得代入上式得d d1 1又又|m m1|1|
41、1 1d d，故存在定圆故存在定圆x x(y y2)2)1 1 与动直线与动直线ABAB恒相切恒相切2 22 22 21 1-33-33-2 2 同同 理理 点点 0 0，到到 直直 线线ABAB的的 距距 离离d d5 5 12128 8 k k1 1k k2 2 5 5 5 5 12128 8 k k1 1k k2 2 5 5 5 5k k1 1k k2 2 k k1 1k k2 21 12 22 2|4|4k k1 1k k2 2|，显然不是定值，故不符合题意显然不是定值，故不符合题意当直线当直线ABAB的斜率不存在时，易知可取的斜率不存在时，易知可取A A(1(1，3)3)，B B(1
42、(1，3)3)，或或A A(1 1，3)3)，B B(1 1，3)3)，显然直线显然直线ABAB与圆与圆x x(y y2)2)1 1 相切相切综上所述，存在定圆：综上所述，存在定圆：x x(y y2)2)1 1 与动与动直线直线ABAB恒相切恒相切1414(2022南京市高三年级第三次模拟考试(2022南京市高三年级第三次模拟考试)如图，某摩天轮底座中心如图，某摩天轮底座中心A A与附近的景观内某点与附近的景观内某点2 22 22 22 2B B之间的距离之间的距离ABAB为为 160 m160 m摩天轮与景观之间有摩天轮与景观之间有一建筑物，此建筑物由一个底面半径为一建筑物，此建筑物由一个底
43、面半径为 1515 m m 的圆的圆柱体与一个半径为柱体与一个半径为 1515 m m 的半球体组成圆柱的底的半球体组成圆柱的底面中心面中心P P在线段在线段ABAB上，且上，且PBPB为为 45 m45 m半球体球半球体球心心Q Q到地面的距离到地面的距离PQPQ为为 15 m15 m把摩天轮看作一把摩天轮看作一个半径为个半径为 72 m72 m的圆的圆C C，且圆，且圆C C在平面在平面BPQBPQ内，点内，点-34-34-C C到地面的距离到地面的距离CACA为为 7575 m m该摩天轮匀速旋转一该摩天轮匀速旋转一周需要周需要 30 min30 min，假设某游客乘坐该摩天轮，假设某游
44、客乘坐该摩天轮(把游把游客看作圆客看作圆C C上一点上一点)旋转一周，旋转一周，求该游客能看到点求该游客能看到点B B的时长的时长(只考虑此建筑物对游客视线的遮挡只考虑此建筑物对游客视线的遮挡)解解 以点以点B B为坐标原点，为坐标原点，BPBP所在直线为所在直线为x x轴，建立如下图的平面直角坐标系，轴，建立如下图的平面直角坐标系，那么那么B B(0(0，0)0)，Q Q(45(45，15)15)，C C(160(160，75)75)过点过点B B作直线作直线l l与半圆与半圆Q Q相切，与圆相切，与圆C C交于交于点点M M，N N，连结，连结CMCM，CNCN，过点，过点C C作作CHC
45、HMNMN，垂足，垂足为为H H设直线设直线l l的方程为的方程为y ykxkx，即，即kxkxy y0 0，|45|45k k15|15|那么点那么点Q Q到到l l的距离为的距离为1515，2 2k k1 1-35-35-3 3解得解得k k 或或k k0(0(舍舍)4 43 3所以直线所以直线l l的方程为的方程为y yx x，即，即 3 3x x4 4y y0 04 4所以点所以点C C(160(160，75)75)到直线到直线l l的距离的距离CHCH|3160475|3160475|2 22 236363 3 4 4因为在因为在 RtRtCHMCHM中，中，CHCH3636，CMCM7272，36361 1所以所以 coscosMCHMCH 72722 2又又MCHMCH(0，(0，)，所以，所以MCHMCH，所以，所以2 23 322MCNMCN22MCHMCH，3 3223 3所以该游客能看到点所以该游客能看到点B B的时长为的时长为 30302 210(min)10(min)-36-36-37-37-