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1、1专题能力训练专题能力训练 3 3 平面向量与复数平面向量与复数一、能力突破训练1 1.设有下面四个命题p1:若复数z满足 R R,则zR R;1 p2:若复数z满足z2R R,则zR R;p3:若复数z1,z2满足z1z2R R,则z1=;2p4:若复数zR R,则 R R.其中的真命题为( )A.p1,p3B.p1,p4C.p2,p3D.p2,p42 2.设 a a,b b 是两个非零向量,则下列结论一定成立的为( )A.若|a a+b b|=|a a|-|b b|,则 a ab bB.若 a ab b,则|a a+b b|=|a a|-|b b|C.若|a a+b b|=|a a|-|b
2、 b|,则存在实数,使得 b b=a aD.若存在实数,使得 b b=a a,则|a a+b b|=|a a|-|b b|3 3.(2018 全国,理 2)(1+i)(2-i)=( )A.-3-iB.-3+iC.3-iD.3+i4 4.在复平面内,若复数z的对应点与的对应点关于虚轴对称,则z=( )5 1 + 2A.2-iB.-2-iC.2+iD.-2+i5 5.已知向量 a a=(1,-1),b b=(-1,2),则(2a+ba+b)a a=( )A.-1B.0C.1D.26 6.(2018 浙江,4)复数(i 为虚数单位)的共轭复数是( )2 1 - 2A.1+iB.1-iC.-1+iD.
3、-1-i7 7.已知菱形ABCD的边长为a,ABC=60,则=( )A.- a2B.- a23 23 4C.a2D.a23 43 28 8.已知非零向量 m m,n n 满足 4|m m|=3|n n|,cos= .若 n n(tm m+n n),则实数t的值为( )1 3A.4B.-4C.D.-9 49 49 9.如图,已知平面四边形ABCD,ABBC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O,记I1=,I2=,I3=,则( )A.I10),又 n n(tm m+n n),所以 n n(tm m+n n)=n ntm m+n nn n=t|m m|n n|cos+|n n|2=t3
4、k4k+(4k)1 32=4tk2+16k2=0.所以t=-4,故选 B.59 9.C 解析 由题图可得OA90,BOC0,I1=0,I3=0,且|I1|I3|,所以I3I10I2,故选 C.1010 解析 2a a+b b=2(1,2)+(2,-2)=(4,2),c c=(1,),.12由 c c(2a a+b b),得 4-2=0,得=1 2.1111 解析 =2,)=.3 11 = + = +2 3 = +2 3( 2 3 +1 3.又=,A=60,AB=3,AC=2,=-4, =32=3,()=-4, 1 2(2 3 +1 3) 即=-4,2 321 32+(3-2 3)4-9+3=-
5、4,即-5=-4,解得=2 31 3( 3-2 3)11 33 11.1212.-1 解析 (1+i)(a+i)=a-1+(a+1)iR R,a+1=0,即a=-1.1313.5 2 解析 由题意可得a2-b2+2abi=3+4i,则解得则a2+b2=5,ab=2.2- 2= 3, = 2,?2= 4,2= 1,?1414 解析 由题意)=-,故1=-.12 = + =1 2 +2 3 =1 2 +2 3( + 1 6 +2 3,2=,即1+2=1 62 31 2.二、思维提升训练1515.D 解析 如图,D是AB边上一点,6过点D作DEBC,交AC于点E,过点D作DFAC,交BC于点F,则
6、= + .因为+, =1 3所以= =1 3,.由ADEABC,得, = =2 3所以,故= = =2 32 3.1616.A 解析 以点A为原点,所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,如图,则A(0,0),B,C(0,t),(1 ,0)=(1,0),=(0,1),|=(1,0)+4(0,1)=(1,4), =|+4|点P的坐标为(1,4),=(-1,t-4),=1- -4t+16=- =(1- 1, - 4), 1 +17-4+17=13.(1 + 4)当且仅当=4t,即t=时取“=”,1 1 2的最大值为 13. 1717.B 解析 因为M(-3,0),N(3,0),所以=(6,0)
7、,|=6,=(x+3,y),=(x-3,y).由|+=0,得 6+6(x-3)=0,化简得y2=-12x,所以点M是抛物线y2=-( + 3)2+ 212x的焦点,所以点P到M的距离的最小值就是原点到M(-3,0)的距离,所以dmin=3.71818.4 2 解析 设向量 a a,b b 的夹角为,5由余弦定理得|a a-b b|=,12+ 22- 2 1 2 = 5 - 4|a a+b b|=,12+ 22- 2 1 2 ( - )= 5 + 4则|a a+b b|+|a a-b b|=5 + 4 + 5 - 4.令y=,5 + 4 + 5 - 4则y2=10+216,20,25 - 162
8、据此可得(|a a+b b|+|a a-b b|)max=2,(|a a+b b|+|a a-b b|)min=4.20516即|a a+b b|+|a a-b b|的最小值是 4,最大值是 25.1919.1 解析 如图,因为E,F分别是AD与BC的中点,所以=0 0,=0 0. + + 又因为=0 0,所以 + + + = + + .同理 = + + .由+得,2+()+()=, = + + + + 所以).所以=,= =1 2( + 1 21 2.所以+=1.2020.-2 解析 i 为实数, - 2 + =( - )(2 - ) (2 + )(2 - )=2 - 1 5 + 2 5-=0,即a=-2. + 2 5