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1、定积分的应用物理应用第1页，本讲稿共12页一、一、变力沿直线所作的功变力沿直线所作的功设物体设物体设物体设物体力的方向力的方向力的方向力的方向求力所做的功求力所做的功求力所做的功求力所做的功.的功元素为的功元素为的功元素为的功元素为因此因此因此因此所作的功为所作的功为所作的功为所作的功为的作用下的作用下的作用下的作用下从从从从 a a在在在在力力力力F F1.1.1.1.力力力力F F是常数，是常数，是常数，是常数，则则则则常常常常力所做的功力所做的功力所做的功力所做的功 2.2.2.2.力力力力 F F(x x)是变量，是变量，是变量，是变量，移动移动移动移动到到到到与运动方向平行与运动方向
2、平行与运动方向平行与运动方向平行,沿沿沿沿 x x 轴轴轴轴从从从从 a a移动移动移动移动到到到到变力变力变力变力F F(x x)从从从从移动移动移动移动到到到到第2页，本讲稿共12页例例例例1.1.1.1.一个单一个单一个单一个单求电场力所作的功求电场力所作的功求电场力所作的功求电场力所作的功.解解解解:当单位当单位当单位当单位正正正正电荷电荷电荷电荷由由由由库仑定律库仑定律库仑定律库仑定律电场力为电场力为电场力为电场力为则功的元素为则功的元素为则功的元素为则功的元素为所求功为所求功为所求功为所求功为说明说明说明说明:位位位位正电荷沿直线正电荷沿直线正电荷沿直线正电荷沿直线在一个带在一个带
3、在一个带在一个带 +q q 电荷电荷电荷电荷所产生的所产生的所产生的所产生的电场电场电场电场作用下作用下作用下作用下,从距离点电荷从距离点电荷从距离点电荷从距离点电荷a a 处处处处 b b 处处处处(a a b b),),移动到移动到移动到移动到距离原点距离原点距离原点距离原点 r r 时时时时,第3页，本讲稿共12页例例例例2.2.2.2.求移动过程中求移动过程中求移动过程中求移动过程中解解解解:由于气体的由于气体的由于气体的由于气体的膨胀膨胀膨胀膨胀,移动到移动到移动到移动到所作的功所作的功所作的功所作的功.建立坐标系如图建立坐标系如图建立坐标系如图建立坐标系如图.由波义耳由波义耳由波义
4、耳由波义耳压强压强压强压强p p功元素为功元素为功元素为功元素为故作用在活塞上的故作用在活塞上的故作用在活塞上的故作用在活塞上的压力压力压力压力为为为为所求功为所求功为所求功为所求功为在底面积为在底面积为在底面积为在底面积为S S盛有盛有盛有盛有一定量的气体一定量的气体一定量的气体一定量的气体,把容器中把容器中把容器中把容器中点点点点 b b 处处处处(如图如图如图如图),),),),即即即即从点从点从点从点 a a 处处处处的圆柱形容器中的圆柱形容器中的圆柱形容器中的圆柱形容器中面积为面积为面积为面积为S S S S 的的的的活塞活塞活塞活塞气体气体气体气体压力压力压力压力与体积与体积与体积
5、与体积 V V 成反比成反比成反比成反比,马略特定律知马略特定律知马略特定律知马略特定律知第4页，本讲稿共12页例例3.试问要把桶中的水试问要把桶中的水试问要把桶中的水试问要把桶中的水解解解解:在任一小区间在任一小区间在任一小区间在任一小区间上的一薄层水的重力为上的一薄层水的重力为上的一薄层水的重力为上的一薄层水的重力为这薄层水吸出桶外这薄层水吸出桶外这薄层水吸出桶外这薄层水吸出桶外故所求功为故所求功为故所求功为故所求功为(KJ(KJ(KJ(KJ )设水的密度为设水的密度为设水的密度为设水的密度为(KN)(KN)(KN)(KN)一一一一蓄蓄蓄蓄满水满水满水满水的圆柱形的圆柱形的圆柱形的圆柱形水
6、桶水桶水桶水桶高为高为高为高为 5 m,5 m,5 m,5 m,底圆半径为底圆半径为底圆半径为底圆半径为3m,3m,3m,3m,全部全部全部全部吸出吸出吸出吸出需作多少功需作多少功需作多少功需作多少功?所作的功为所作的功为所作的功为所作的功为建立坐标系如图建立坐标系如图建立坐标系如图建立坐标系如图.第5页，本讲稿共12页练习练习解解解解:作作作作 x x 轴如图轴如图轴如图轴如图.为清除井底污泥为清除井底污泥为清除井底污泥为清除井底污泥,提出井口提出井口提出井口提出井口,缆绳缆绳缆绳缆绳每米重每米重每米重每米重50N50N50N50N,在提升过程中污泥在提升过程中污泥在提升过程中污泥在提升过程
7、中污泥以以以以20N/s20N/s20N/s20N/s 的的的的速度速度速度速度现现现现将将将将抓起污泥的抓斗抓起污泥的抓斗抓起污泥的抓斗抓起污泥的抓斗抓斗抓起的抓斗抓起的抓斗抓起的抓斗抓起的污泥重污泥重污泥重污泥重2000N,2000N,2000N,2000N,提升提升速度速度为为3m/s,问问问问克服重力需作多少功克服重力需作多少功?已知已知已知已知井深井深井深井深30303030 m m m m,抓斗抓斗抓斗抓斗自重自重自重自重400N,400N,400N,400N,将抓起污泥将抓起污泥将抓起污泥将抓起污泥抓起污泥后抓起污泥后抓起污泥后抓起污泥后x x 提升提升提升提升 d dx x用缆
8、绳用缆绳从抓斗缝隙中从抓斗缝隙中从抓斗缝隙中从抓斗缝隙中漏掉漏掉漏掉漏掉,提升到井口提升到井口提升到井口提升到井口,提升抓斗中的提升抓斗中的提升抓斗中的提升抓斗中的污泥污泥污泥污泥克服克服克服克服缆绳缆绳缆绳缆绳重重重重抓斗升至抓斗升至抓斗升至抓斗升至 x x 处所需时间处所需时间处所需时间处所需时间:克服抓斗克服抓斗克服抓斗克服抓斗自重自重自重自重 的抓斗由的抓斗由的抓斗由的抓斗由的功元素的功元素的功元素的功元素 的功元素的功元素的功元素的功元素 的功元素的功元素的功元素的功元素 将抓斗将抓斗 放入井底放入井底,第6页，本讲稿共12页面积为面积为面积为面积为 A A 的平板的平板的平板的平板
9、二、液体侧压力二、液体侧压力二、液体侧压力二、液体侧压力设液体密度为设液体密度为 深为深为深为深为 h 处的压强处的压强:当平板当平板当平板当平板平板一侧平板一侧与水面平行时与水面平行时,所受的压力所受的压力与水面不平行时与水面不平行时,平板一侧平板一侧 所受的压力所受的压力就需用积分解决就需用积分解决就需用积分解决就需用积分解决.第7页，本讲稿共12页小条上各点的压强小条上各点的压强小条上各点的压强小条上各点的压强例例例例4.4.的的的的液体液体液体液体,解解解解:半圆的半圆的半圆的半圆的小条的面积小条的面积小条的面积小条的面积端面所受侧压力端面所受侧压力端面所受侧压力端面所受侧压力方程为方
10、程为方程为方程为一水平横放一水平横放一水平横放一水平横放内有内有内有内有半桶半桶密度为密度为密度为密度为 求桶的一个端面求桶的一个端面求桶的一个端面求桶的一个端面侧压力元素侧压力元素侧压力元素侧压力元素的半径为的半径为的半径为的半径为R R R R的圆桶的圆桶的圆桶的圆桶,所受的所受的所受的所受的侧压力侧压力侧压力侧压力.建立坐标系如图建立坐标系如图建立坐标系如图建立坐标系如图.第8页，本讲稿共12页锐角锐角锐角锐角 练习题练习题斜边为斜边为斜边为斜边为定长定长定长定长解解解解:设斜边长为设斜边长为设斜边长为设斜边长为 l l,并使一直角边并使一直角边并使一直角边并使一直角边则则则则问斜边与水
11、面交成的问斜边与水面交成的问斜边与水面交成的问斜边与水面交成的垂直放置于水中垂直放置于水中,的直角三角形薄板的直角三角形薄板的直角三角形薄板的直角三角形薄板,薄板所受薄板所受薄板所受薄板所受取多大时取多大时取多大时取多大时,故得唯一驻点故得唯一驻点故得唯一驻点故得唯一驻点 故此唯一驻点故此唯一驻点故此唯一驻点故此唯一驻点即为所求即为所求.由实际意义可知最大值存在由实际意义可知最大值存在由实际意义可知最大值存在由实际意义可知最大值存在,即即即即与水面与水面与水面与水面相齐相齐相齐相齐,选取坐标系如图选取坐标系如图选取坐标系如图选取坐标系如图.的压力的压力的压力的压力 P P 最大最大最大最大.压
12、力元素压力元素压力元素压力元素压力压力压力压力第9页，本讲稿共12页三、三、引力问题引力问题质量分别为质量分别为质量分别为质量分别为的的质点质点质点质点,两两质点质点间的引力间的引力:大小大小:方向方向:沿两质点的沿两质点的连线连线若考虑若考虑若考虑若考虑物体物体则需用积分解决则需用积分解决.对质点的引力对质点的引力,相距相距 r,第10页，本讲稿共12页例例例例5.5.设有一长度为设有一长度为设有一长度为设有一长度为 l l,其其其其中垂线中垂线中垂线中垂线上上上上该该该该棒棒棒棒对质点的对质点的对质点的对质点的引力引力引力引力.解解解解:建立坐标系建立坐标系建立坐标系建立坐标系.细棒上小段
13、细棒上小段细棒上小段细棒上小段对质点的引力大小为对质点的引力大小为对质点的引力大小为对质点的引力大小为故垂直分力元素为故垂直分力元素为故垂直分力元素为故垂直分力元素为在在在在计算计算计算计算线密度为线密度为线密度为线密度为 的均匀细的均匀细的均匀细的均匀细直棒直棒直棒直棒,距距距距 a a 单位处单位处单位处单位处有一质量为有一质量为有一质量为有一质量为 m m棒对质点的引力棒对质点的引力棒对质点的引力棒对质点的引力的的的的垂直垂直垂直垂直分力为分力为分力为分力为 棒对质点引力的棒对质点引力的棒对质点引力的棒对质点引力的水平水平水平水平分力分力分力分力故棒对质点的故棒对质点的故棒对质点的故棒对
14、质点的引力引力引力引力大小为大小为大小为大小为的质点的质点的质点的质点 M M,第11页，本讲稿共12页练习练习练习练习 设星形线设星形线设星形线设星形线上每一点处上每一点处线密度线密度的大小的大小的大小的大小解解解解:如图如图如图如图.在原点处有一单位在原点处有一单位在原点处有一单位在原点处有一单位质点质点质点质点,求星形线在第一象限的弧段求星形线在第一象限的弧段求星形线在第一象限的弧段求星形线在第一象限的弧段等于等于等于等于对这质点的对这质点的对这质点的对这质点的引力引力引力引力.同理同理同理同理引力大小为引力大小为引力大小为引力大小为该点到原点距离的该点到原点距离的该点到原点距离的该点到原点距离的立方立方立方立方,第12页，本讲稿共12页