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1、采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物1xoy0MA nMB 1M2M1 nM设设A、B是是曲曲线线弧弧上上的的两两个个端端点点，在在弧弧上上插插入入分分点点BMMMMMAnni ,110并并依依次次连连接接相相邻邻分分点点得得一一内内接接折折线线，当当分分点点的的数数目目无无限限增增加加且且每每个个小小弧弧段段都都缩缩向向一一点点时时，此折线的长此折线的长|11 niiiMM的极限存在，则称此极限为的极限存在，则称此极限为曲线弧曲线弧AB的弧长的弧长.1、平面曲线弧长的概念、平面曲线弧长的概念 平
2、面曲线的弧长平面曲线的弧长定理定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的任意光滑曲线弧都是可求长的.采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物2 设曲线弧为设曲线弧为)(xfy )(bxa ，其中，其中)(xf在在,ba上有一阶连续导数上有一阶连续导数xoyabxdxx 取取积积分分变变量量为为x，在在,ba上上任任取取小小区区间间,dxxx ，以以对对应应小小切切线线段段的的长长代代替替小小弧弧段段的的长长 dy小小切切线线段段的的长长22)()(dydx dxy21 弧长元素弧长元素dxyds21 弧长弧长
3、21.basy dx 2、直角坐标情形、直角坐标情形采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物3解解,21xy dxxds2)(121 ,1dxx 所求弧长为所求弧长为dxxsba 1.)1()1(322323ab ab采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物4曲线弧为曲线弧为,)()( tytx )( t其其中中)(),(tt 在在, 上上具具有有连连续续导导数数.22)()(dydxds 222)()(dt
4、tt dttt)()(22 弧长弧长22( )( ).stt dt 3、参数方程情形参数方程情形采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物5解解 星形线的参数方程为星形线的参数方程为 taytax33sincos)20( t根据对称性根据对称性14ss dtyx 20224dttta 20cossin34.6a a aoyx采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物6曲线弧为曲线弧为)( )( rr 其其中中)(
5、 在在, 上上具具有有连连续续导导数数. sin)(cos)(ryrx)( 22)()(dydxds ,)()(22 drr 弧长弧长22( )( ).srrd 4、极坐标情形、极坐标情形采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物7)0( a解解 drrs )()(22313cos3sin32 ar,3cos3sin2 a.23a daa242623cos3sin3sin 30 d23sin 30a 0()3 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以
6、保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物8解解,ar drrs )()(22 .)412ln(412222 a 20 daa222 20a d12 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物9(1) 曲线弧由直角坐标方程给出曲线弧由直角坐标方程给出:( )()yf xaxb所求弧长所求弧长21dbasyx 21( )dbafxx (2) 曲线弧由参数方程给出曲线弧由参数方程给出:( )()( )xttyt 所求弧长所求弧长22( )( ) dsttt 小结小结采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管
7、及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物10(3) 曲线弧由极坐标方程给出曲线弧由极坐标方程给出:( )()rr ( )cos ,( )sin ,xryr 令令因此所求弧长因此所求弧长22( )( ) dsrr 22( )( ) dxy 22( )( )drr 则得则得ds 弧长元素弧长元素(弧微分弧微分) :采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物11课堂练习题课堂练习题12第六章第六章 定积分的应用定积分的应用第三节第三节 定积分在物理学上的应用定
8、积分在物理学上的应用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物13一、变力沿直线作功一、变力沿直线作功二、水的压力二、水的压力三、引力三、引力定积分物理学上的应用定积分物理学上的应用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物14 如如果果物物体体在在运运动动的的过过程程中中所所受受的的力力是是变变化化的的，就就不不能能直直接接使使用用此此公公式式，而而采采用用“微微元元法法”思思想想.一、变力沿直线所作的功一、变
9、力沿直线所作的功采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物15变力沿直线所作的功变力沿直线所作的功设物体在连续变力设物体在连续变力 F(x) 作用下沿作用下沿 x 轴从轴从 xa 移动到移动到,bx 力的方向与运动方向平行力的方向与运动方向平行, 求变力所做的功求变力所做的功 .xabxxxd , ,d a bx xx 在在上上任任取取子子区区间间，在其上所作的功元在其上所作的功元素为素为d( )dWF xx 因此变力因此变力F(x) 在区间在区间 ,ba上所作的功为上所作的功为( )dbaWF xx
10、采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物16采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物17解解取取r为为积积分分变变量量，ro q a b 1 r,bar drr 取取任任一一小小区区间间,drrr ,功元素功元素,2drrkqdw 所求功为所求功为drrkqwba 2barkq 1.11 bakq如果要考虑将单位电荷移到无穷远处如果要考虑将单位电荷移到无穷远处drrkqwa 2 arkq1limbkqkqba
11、 .akq 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物18点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停例例 2 2 一圆柱形蓄水池一圆柱形蓄水池高为高为 5米，底半径为米，底半径为3 米，池内盛满了水米，池内盛满了水.问要把池内的水全部问要把池内的水全部吸出，需作多少功？吸出，需作多少功？解解建立坐标系如图建立坐标系如图xoxdxx 取取x为为积积分分变变量量，5 , 0 x5取取任任一一小小区区间间,dxxx ,采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转
12、，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物19xoxdxx 5这一薄层水的重力为这一薄层水的重力为23gdx 功元素为功元素为9,dwgx dx 509wgx dx 52092xg 112.5 g (千焦千焦)采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物20例例3. 设有半径为设有半径为 R 的半球形容器如图的半球形容器如图.(1) 以每秒以每秒 a 升的速度向空容器中注水升的速度向空容器中注水, 求水深为求水深为为为h (0 h R ) 时水面上升的速度时水面上升的速度 .(2) 设容器中已注满水设容
13、器中已注满水 , 求将其全部抽出所做的功最求将其全部抽出所做的功最少应为多少少应为多少 ? 解解: 过球心的纵截面建立坐标系如图过球心的纵截面建立坐标系如图.oxy则半圆方程为则半圆方程为2x22RyyhR设经过设经过 t 秒容器内水深为秒容器内水深为h ,( )hh t 则则采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物21oxyhR(1) 求求ddht由题设由题设, 经过经过 t 秒后容器内的水量为秒后容器内的水量为而高为而高为 h 的球缺的体积为的球缺的体积为半球可看作半圆半球可看作半圆绕绕 y 轴旋
14、转而成轴旋转而成体积元素体积元素:yx d2222yyRx( )V h20(2)dhRyyy 故有故有20(2)dhRyyyat 两边对两边对 t 求导求导, 得得2(2)Rhh ddhta ddht2(2)aRhh at (升升) ,采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物22(2) 将满池水全部抽出所做的最少功将满池水全部抽出所做的最少功为将全部水提为将全部水提对应于对应于d,yyyyx d2微元体积微元体积:微元的重力微元的重力 :yx dg2薄层所需的功元素薄层所需的功元素oxRyWd2gdx
15、y )(yR2g (2)()dRyyRyy 故所求功为故所求功为W0gR 223(23)dR yRyyy 4g4R y到池沿高度所需的功到池沿高度所需的功.采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物23解解 设木板对铁钉的阻力为设木板对铁钉的阻力为,)(kxxf 第一次锤击时所作的功为第一次锤击时所作的功为 101)(dxxfw,2k .)(0 hhdxxfw例例4 4 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次力与铁钉进入木板
16、的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作的功厘米，若每次锤击所作的功相等，问第相等，问第 次锤击时又将铁钉击入多少？次锤击时又将铁钉击入多少？n设设 次击入的总深度为次击入的总深度为 厘米厘米hn次锤击所作的总功为次锤击所作的总功为n采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物24 hhkxdxw0,22kh 依题意知，每次锤击所作的功相等依题意知，每次锤击所作的功相等1nwwh 22kh,2kn ,nh . 1 nn次击入的总深度为次击入的总深度为n第第 次击入的
17、深度为次击入的深度为n采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物25二、水压力二、水压力采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物26解解 在端面建立坐标系如图在端面建立坐标系如图xo取取x为为积积分分变变量量，, 0Rx 取取任任一一小小区区间间,dxxx xdxx 小矩形片上各处的压强近小矩形片上各处的压强近似相等似相等小矩形片的面积为小矩形片的面积为.222dxxR ,pgx 采用PP管及配件：根据给水设计
18、图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物27小小矩矩形形片片的的压压力力元元素素为为222dPgx Rx dx 端端面面上上所所受受的的压压力力2202RPgx Rx dx 22220()RgRx d Rx 322023RgRx 32.3gR 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物28解解 建立坐标系如图建立坐标系如图xoa2a2a面积微元面积微元,)(2dxxa (2 ) 2()dPg xaax dx 02(2 )()aPg xa a
19、x dx 37.3ga 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物29三、引力三、引力若考虑物体对质点的引力若考虑物体对质点的引力, 则需用积分解决则需用积分解决 .采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物302l2l xyoMa解解 建立坐标系如图建立坐标系如图取取y为积分变量为积分变量取取任任一一小小区区间间,dyyy ,2,2 lly将典型小段近似看成质点将典型小段近似看成质点小段的质量为小段的质量为,d
20、y rydyy 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物31小段与质点的距离为小段与质点的距离为,22yar 引力引力22,m dyFGay 水平方向的分力元素水平方向的分力元素cosxdFdF 222322()xllam dyFGay 22122,(4)Gm laal 由对称性知，引力在铅直方向分力为由对称性知，引力在铅直方向分力为. 0 yF22,m dydFGay 2l2l xyoMarydyy 2232()am dyGay adFr 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物32课堂练习题课堂练习题