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1、动量和能量守恒第1页，本讲稿共27页质点的动量定理质点的动量定理(续）续）注意：冲量是矢量。冲量的方向为动量增量的方向注意：冲量是矢量。冲量的方向为动量增量的方向质点动量定理在直角坐标系中的分量式为：质点动量定理在直角坐标系中的分量式为：显然，质点在某一轴线上的动量增量，仅与该质点在显然，质点在某一轴线上的动量增量，仅与该质点在此轴线上所受外力的冲量有关。此轴线上所受外力的冲量有关。其速度变化不相同其速度变化不相同,但动量的变化却是一样的。但动量的变化却是一样的。由动量定理知由动量定理知:在相等的冲量作用下在相等的冲量作用下,不同质量的物体不同质量的物体因此动量p作为描述物体机械运动的状态参量
2、.(还有r)下页上页结束返回第2页，本讲稿共27页二二.质点系的动量定理质点系的动量定理1 2S设系统内有两个质点设系统内有两个质点1和和2,质量分别为质量分别为m1和和m2,分别受分别受外力外力F1和和F2作用作用.F1F2两质点间的相互作用为F12和F21F12F21对各质点有动量定理对各质点有动量定理:上两式相加得上两式相加得:即:F12+F21=0由于F12和F21是作用力和反作用.则则:下页上页结束返回第3页，本讲稿共27页质点系的动量定理续质点系的动量定理续即作用于两质点组成系统的合外力的冲量等于系统内两即作用于两质点组成系统的合外力的冲量等于系统内两质点动量之和的增量质点动量之和
3、的增量.推广到推广到n个质点系统个质点系统由于内力总是成对出现由于内力总是成对出现,即即则则:或:I=p-p0上式表明上式表明:作用于系统的合外力的冲量等于系统动量的作用于系统的合外力的冲量等于系统动量的增量增量质点系的动量定理质点系的动量定理.对在无限小的时间间隔对在无限小的时间间隔或或作用于质点系的合外力等于质点系动量随时间的变化率作用于质点系的合外力等于质点系动量随时间的变化率.下页上页结束返回第4页，本讲稿共27页例例1.如图如图,一质量为一质量为0.20kg、速率为、速率为5m/s的钢球的钢球,以与钢板法线成以与钢板法线成60角角的方向撞击在钢板上的方向撞击在钢板上,并以相同的速率和
4、角度弹回来并以相同的速率和角度弹回来.设球与钢板设球与钢板的碰撞时间为的碰撞时间为0.05s.求在此碰撞时间内钢板所受到的平均冲力求在此碰撞时间内钢板所受到的平均冲力.解：已知解：已知v1=v2=v=5m/s建立如图坐标系建立如图坐标系yxv1v2对钢球对钢球,由动量定理的分量式由动量定理的分量式=2mv cos=mv sin -mv sin =0因此因此,球受的平均冲力为球受的平均冲力为则钢板受的作用力与球受的力大小相等则钢板受的作用力与球受的力大小相等,方向相反方向相反.代入数据有代入数据有F的方向与的方向与Ox轴正向相反轴正向相反下页上页结束返回第5页，本讲稿共27页三质点系的三质点系的
5、 动量守恒定律动量守恒定律由动量定理由动量定理当系统所受合外力为零时当系统所受合外力为零时,即即 Fex=0时时,系统的动量不变系统的动量不变.即即:系统所受合外力为零时系统所受合外力为零时,系统的总动量将保持不变系统的总动量将保持不变动量动量守恒定律守恒定律在直角坐标系中的分量式为在直角坐标系中的分量式为式中式中C1、C2和和C3均均为恒量。为恒量。下页上页结束返回第6页，本讲稿共27页应用动量守恒时注意：应用动量守恒时注意：1.动量是矢量动量是矢量.系统的总动量不变是指系统内各物体系统的总动量不变是指系统内各物体动量的矢量和不变动量的矢量和不变,而不是指哪个物体的动量不变而不是指哪个物体的
6、动量不变.2.系统所受合外力为零时系统所受合外力为零时,系统的动量守恒系统的动量守恒.但在应用时但在应用时若外力远小于系统的内力时可近似认为动量守恒若外力远小于系统的内力时可近似认为动量守恒.3.动量守恒式可单独应用其分量式动量守恒式可单独应用其分量式.即某方向外力为零即某方向外力为零.则该方向动量守恒则该方向动量守恒(反映了力的独立性和叠加性反映了力的独立性和叠加性).4.动量守恒定律是物理学最普遍、最基本的定律之一动量守恒定律是物理学最普遍、最基本的定律之一.在微观领域牛顿定律不适用在微观领域牛顿定律不适用,而动量守恒却适用而动量守恒却适用.5.动量定理和动量守恒只在惯性系中成立动量定理和
7、动量守恒只在惯性系中成立.因此运用它时要选定一惯性参考系因此运用它时要选定一惯性参考系.下页上页结束返回第7页，本讲稿共27页例例2.P40如图，一质量为如图，一质量为 m 的球在质量为的球在质量为 M 的的1/4圆弧滑槽中从静止滑圆弧滑槽中从静止滑下。设圆弧的半径为下。设圆弧的半径为 R，如所有摩擦都可忽略，求当小球，如所有摩擦都可忽略，求当小球 m 滑到槽底时，滑到槽底时，M 滑槽在水平上移动的距离。滑槽在水平上移动的距离。解解:先受力分析先受力分析水平方向不受外力，故水平方向动量水平方向不受外力，故水平方向动量守恒守恒.以向右为以向右为x正向正向,有有解得解得没没m在槽上运动时间在槽上运
8、动时间为为t,运动距离为运动距离为R下页上页结束返回MgNmgvV滑槽在水平上移滑槽在水平上移动的距离动的距离第8页，本讲稿共27页2.4 功功 动能动能 势能机械能守恒势能机械能守恒2.4.1 功功 功率功率定义：力对质点所作的功为力在质点位移方向的分量与定义：力对质点所作的功为力在质点位移方向的分量与位移大小的乘积。位移大小的乘积。元功：元功：ABFdrdA=Fcos ds=F dr这里|dr|=ds则总功：则总功：功是标量。功有正功、负功之分。功是标量。功有正功、负功之分。功是力对空间的累积效应。功是力对空间的累积效应。功可以用图示法来计算。功可以用图示法来计算。在在 Fcos s 曲线
9、中，曲线下的面曲线中，曲线下的面积等于变力的功积等于变力的功Fcosss1s2下页上页结束返回第9页，本讲稿共27页功在直角坐标系中的表示功在直角坐标系中的表示由由合力的功合力的功若几个力同时作用在质点上，则若几个力同时作用在质点上，则即：即：合力的功等于各分力所作功的代数和。合力的功等于各分力所作功的代数和。功的单位功的单位:焦耳焦耳(Joule).符号符号:J量纲：量纲：ML2T-2功率功率单位：瓦特单位：瓦特(Watt)1W=1Js-1下页上页结束返回第10页，本讲稿共27页例例1.一质量为一质量为m的小球竖直落入水中的小球竖直落入水中,刚接触水面时其速率为刚接触水面时其速率为v0.设球
10、在水中所受浮力与重力相等设球在水中所受浮力与重力相等,水的阻力为水的阻力为Fr=-bv,b为一常量为一常量.求阻力对球的功与时间的函数关系求阻力对球的功与时间的函数关系.解解:取水面为坐标原点取水面为坐标原点O,竖直向下为竖直向下为Ox轴正向轴正向.水的阻力作功为水的阻力作功为即即由牛顿运动定律由牛顿运动定律故故下页上页结束返回第11页，本讲稿共27页2.4 2.质点的动能定理质点的动能定理设质点m在合外力F 的作用下,从点1沿运动到点2，12 F其在其在A、B点的速率分别为点的速率分别为v1和和v2v1v2力力F作的元功为作的元功为dr又因为又因为故故积分后有积分后有定义：定义：为质点的动能
11、。为质点的动能。上式表明：上式表明：合外力对质点作的功合外力对质点作的功,等于质点动能的增量等于质点动能的增量动能定理动能定理.注注意意1.功是过程量功是过程量,动能是状态量动能是状态量.功是动能状态变化的量度功是动能状态变化的量度.2.该定理适用于惯性系该定理适用于惯性系,且只能应用于同一惯性系且只能应用于同一惯性系.下页上页结束返回第12页，本讲稿共27页例题例题2.0已知质量已知质量m=1.0Kg,0=30.求求10时时,小球的速率小球的速率v解解:小球在任意时刻受重力小球在任意时刻受重力P与拉力与拉力T.PT外力作功外力作功dr且且 cos =sin,ds=-ld 代积分上下限代积分上
12、下限由动能定理由动能定理因为因为 v0=0代入数据代入数据 l=1m,0=30,=10所以所以 v=1.53m/s第13页，本讲稿共27页2.4.3 保守力与非保守力保守力与非保守力 势能势能一、万有引力、重力、弹性力作功的特点一、万有引力、重力、弹性力作功的特点1.重力作功重力作功xyP质量为质量为m的物体在重力作用下的物体在重力作用下,沿沿acb,重力重力P对物体作力为对物体作力为a bcdA=P drdr故：故：或或y1y2上式表明：重力作功只与质点的起始和终了位置有关，而与上式表明：重力作功只与质点的起始和终了位置有关，而与所经过的路径无关。所经过的路径无关。引入势能后有：重力作等于物
13、体重力势能增量的负值。引入势能后有：重力作等于物体重力势能增量的负值。下页上页结束返回第14页，本讲稿共27页2.万有引力作功万有引力作功质点质点m受到受到M(固定不动固定不动)的万有引力的万有引力Mmrr+drdrer 为沿r 的单位矢量er则万有引力作功为则万有引力作功为:如图如图erdrdr所以所以积分积分:rAABrB可见可见,万有引力作功也只取决于质点的起始和终了位置万有引力作功也只取决于质点的起始和终了位置而与所经过的路径无关而与所经过的路径无关.下页上页结束返回第15页，本讲稿共27页3.弹力作功弹力作功Fmox质量为质量为m的物体与一弹簧相连的物体与一弹簧相连,设设O为平衡点为
14、平衡点当质点位移为当质点位移为x时时x质点受弹性力为 F=-kx i弹性力作功为弹性力作功为弹簧由弹簧由 x1 x2 时时xFdAdxx1x2可见对在弹性限度内可见对在弹性限度内,具有劲度系数为具有劲度系数为k的弹簧来说的弹簧来说.弹性力所作的功也只由弹簧起始和终了位置决定弹性力所作的功也只由弹簧起始和终了位置决定,而与而与弹性形变的过程无关弹性形变的过程无关.下页上页结束返回第16页，本讲稿共27页二二.保守力与非保守力保守力与非保守力 保守作功的数学表达式保守作功的数学表达式 保守力与非保守力保守力与非保守力作功只与物体的始末位置有关作功只与物体的始末位置有关,与路径无关的力叫保守力与路径
15、无关的力叫保守力.保守力作功的数学表达式保守力作功的数学表达式设一物体在保守力作用下从点设一物体在保守力作用下从点A沿路径沿路径ACB运动到运动到B.或或沿路径沿路径ADB运动到运动到B.ACBD有有而而则则=0物体沿任意闭合路径运动一周时物体沿任意闭合路径运动一周时,保守力所作的功为零保守力所作的功为零.保守力作功的数学表达式保守力作功的数学表达式.非保守力作功则一定有非保守力作功则一定有下页上页结束返回第17页，本讲稿共27页三三.势能势能由保守力作功由保守力作功重力作功重力作功万有引力作功万有引力作功弹力作功弹力作功可写为统一的一般形式可写为统一的一般形式EP为物体的势能为物体的势能.此
16、时有三种势能此时有三种势能重力势能重力势能引力势能引力势能弹性势能弹性势能 保守力作对物体作的功等于物体势能增量的负值保守力作对物体作的功等于物体势能增量的负值.一维情况下有一维情况下有:对小对小 x来说来说作用于作用于x轴上的保守力等于物体势能对轴上的保守力等于物体势能对x的导数的负值的导数的负值.下页上页结束返回第18页，本讲稿共27页2.4.4 质点系的动能定理与质点系的动能定理与 功能原理功能原理 一一.质点系的动能定理质点系的动能定理对单一质点有对单一质点有A=Ek-Ek0对质点系对质点系(多个质点多个质点)则有则有系统内各质点初动能和系统内各质点初动能和是这些质点末动能和是这些质点
17、末动能和是作用在各质点上的力所作功之和是作用在各质点上的力所作功之和.即作用于质点系的力所作的功即作用于质点系的力所作的功.等于该质点系的动能增量等于该质点系的动能增量若作用于质点的力可分为系统外的力与系统内的力，则若作用于质点的力可分为系统外的力与系统内的力，则内内=A外外+A内内则则质点系的动能的增量等于作用于质点系的一切外力作的功与一质点系的动能的增量等于作用于质点系的一切外力作的功与一切内力所作的功之和。切内力所作的功之和。下页上页结束返回A外外+A内内第19页，本讲稿共27页二、质点系的功能原理二、质点系的功能原理A内内又可分为保守内力和非保守内力又可分为保守内力和非保守内力A内内=
18、A内保内保+A内非内非而而即系统内保守力作功等于势能增量的负值。即系统内保守力作功等于势能增量的负值。则质点系动能定理为则质点系动能定理为A外外+A内保内保+A内非内非则进一步变为则进一步变为A外外+A内非内非令令叫系统的机械能叫系统的机械能.则则:A外外+A内非内非=E-E0机械能的增量机械能的增量,等于外力与非保守内力对质点系作功之和等于外力与非保守内力对质点系作功之和.质点系的功能原理质点系的功能原理注意：注意：A外外是质点系的外力作功之和是质点系的外力作功之和,不是合外力的功。不是合外力的功。下页上页结束返回A内保内保第20页，本讲稿共27页m原点原点O处势能为零处势能为零例例3 一轻
19、弹簧一端系于固定斜面的上端，另一端连着质量一轻弹簧一端系于固定斜面的上端，另一端连着质量为为m 的物块，物块与斜面的摩擦系数为的物块，物块与斜面的摩擦系数为，弹簧的劲度系，弹簧的劲度系数为数为k,斜面倾角为斜面倾角为，今将物块由弹簧的自然长度拉伸，今将物块由弹簧的自然长度拉伸 l 后由后由静止释放，物块第一次静止在什么位置？静止释放，物块第一次静止在什么位置？xoy解：取弹簧自然伸长为原点解：取弹簧自然伸长为原点在物块向上滑至在物块向上滑至 x 处时处时由功能原理由功能原理物块静止时物块静止时 v=0可解得可解得第21页，本讲稿共27页2.4.5 机械能守恒定律机械能守恒定律当当 A外外=0,
20、A内非内非=0 时，时，有有 E=E0即：即：或或即即 Ek=-EP当作用于质点系的外力和非保守内力不作功时，质点系当作用于质点系的外力和非保守内力不作功时，质点系的机械能守恒。或说在满足机械能守恒条件下，动能的的机械能守恒。或说在满足机械能守恒条件下，动能的增量必等于势能的减少。增量必等于势能的减少。在封闭系统内，不论发生何种变化过程，各种形式的能在封闭系统内，不论发生何种变化过程，各种形式的能量可以互相转化，但能量的总和是恒量。量可以互相转化，但能量的总和是恒量。能量守恒定律能量守恒定律从功能关系可见：功是能量变换或变化的一种量度。从功能关系可见：功是能量变换或变化的一种量度。下页上页结束
21、返回第22页，本讲稿共27页例例1如图如图,一雪橇从高度为一雪橇从高度为50m的山顶上点的山顶上点A沿冰道由静止下滑沿冰道由静止下滑.坡道坡道AB长长500m.雪橇在水平冰道继续滑行若干米后停止在雪橇在水平冰道继续滑行若干米后停止在C.若摩擦系若摩擦系数为数为0.050.求此雪橇沿水平冰道滑行的路程求此雪橇沿水平冰道滑行的路程.ABC解解:坡道上受力分析如图坡道上受力分析如图PFNFf以雪橇、冰道、地球为系统以雪橇、冰道、地球为系统,只有非保守只有非保守摩擦力作功摩擦力作功h由功能原理由功能原理A=A1+A2=(EP2+Ek2)(EP1+Ek1)已知已知 EP1=mgh,Ek1=0,在在C点点
22、 EP2=0,Ek2=0在坡道上在坡道上=-s mgcos -mgs 平道上平道上 A2=-mgs所以所以-mgh=-mg(s+s)=500m下页上页结束返回第23页，本讲稿共27页例、宇宙速度例、宇宙速度1.人造卫星人造卫星 第一宇宙第一宇宙速度速度卫星绕地球运转时的发射速度卫星绕地球运转时的发射速度v设卫星以设卫星以v1竖直向上竖直向上,在高度在高度h处以处以v作作匀速圆周运动匀速圆周运动以地球以地球,卫星为系统卫星为系统机械能守恒机械能守恒:整理整理:由牛顿定律和万有引力定律由牛顿定律和万有引力定律得得令令因为因为 hRE此时此时下页上页结束返回第24页，本讲稿共27页2 人造行星人造行
23、星 第二宇宙速度第二宇宙速度卫星脱离地球卫星脱离地球,成为太阳系的行星成为太阳系的行星.此时卫星离地球无限远此时卫星离地球无限远.EP=0若此时动能也为零若此时动能也为零,Ek=0则总机械能则总机械能 E=EP+Ek=0设物体发射最小速度为设物体发射最小速度为v2由机械能守恒由机械能守恒:解得解得v2为第二宇宙速度为第二宇宙速度.若发射速度大于若发射速度大于v2则则 E 0此时卫星绕太阳作椭圆运此时卫星绕太阳作椭圆运动动,成为人造行星成为人造行星能量与以地球为参考系能量与以地球为参考系的关系如下的关系如下:E 0双曲线下页上页结束返回第25页，本讲稿共27页3.飞出太阳系飞出太阳系 第三宇宙速度第三宇宙速度物体先脱离地球物体先脱离地球,并且具有一定的动能以脱离太阳系并且具有一定的动能以脱离太阳系.v3为发射速度为发射速度,脱离地球后有速度脱离地球后有速度v 以地球为参考系以地球为参考系,由机械能守恒由机械能守恒以太阳为参考系.物对太阳速度为地球对太阳的速度为地球对太阳的速度为vE取三者在同一方向取三者在同一方向对物体、太阳系对物体、太阳系又地球绕太阳运动又地球绕太阳运动得得故故MS=1.99 103kg,RS=1.5 1011m=16.4 103 m/s下页上页结束返回第26页，本讲稿共27页谢谢！第27页，本讲稿共27页