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1、教学课件第6章图像复原（第6-1讲）（研究生学位课）数字图像处理学数字图像处理学第第6章章 图像复原图像复原（第一讲）（第一讲）阮秋琦教授阮秋琦教授 图像复原是图像处理的另一重要课题。它的图像复原是图像处理的另一重要课题。它的主要目的是改善给定的图像质量。当给定了一幅主要目的是改善给定的图像质量。当给定了一幅退化了的或者受到噪声污染了的图像后，退化了的或者受到噪声污染了的图像后，利用退利用退化现象的某种先验知识来重建或恢复原有图像化现象的某种先验知识来重建或恢复原有图像是是图像复原处理的基本过程。图像复原处理的基本过程。可能的退化有：可能的退化有：光学系统中的衍射；光学系统中的衍射；传感器非线
2、性畸变，传感器非线性畸变，光学系统的像差，光学系统的像差，摄影胶片的非线性，摄影胶片的非线性，大气湍流的扰动效应，大气湍流的扰动效应，图像运动造成的模糊图像运动造成的模糊 几何畸变等等。几何畸变等等。大气湍流造成的图像退化大气湍流造成的图像退化运动模糊的图像运动模糊的图像几何失真图像及其恢复图像几何失真图像及其恢复图像散焦造成的图像退化散焦造成的图像退化枕形及桶形失真枕形及桶形失真 噪声干扰可以由电子成像系统传感器、信号传输过噪声干扰可以由电子成像系统传感器、信号传输过程或者胶片颗粒性造成的。各种退化图像的复原都程或者胶片颗粒性造成的。各种退化图像的复原都可归结为一种过程，具体的说就是把退化模
3、型化，可归结为一种过程，具体的说就是把退化模型化，并且采用相反的过程进行处理，以便恢复出原图像。并且采用相反的过程进行处理，以便恢复出原图像。本章将主要讨论代数复原技术。本章将主要讨论代数复原技术。6.1 6.1 退化模型退化模型 图像恢复处理的关键问题在于建立退化模型。图像恢复处理的关键问题在于建立退化模型。用数学方法描述图像时，它的最普遍的数学表达式用数学方法描述图像时，它的最普遍的数学表达式为为 I=f(x,y,z,t)图像。当研究的是静止的、单图像。当研究的是静止的、单色的、平面的图像时，则其数学表达式就简化为色的、平面的图像时，则其数学表达式就简化为 I=f(x,y)。Hf(x,y)
4、g(x,y)n(x,y)图图61 61 图像退化模型图像退化模型输入图像输入图像系统系统加性噪声加性噪声退化图像退化图像 基于这样的数学表达式，可建立退化模型如图基于这样的数学表达式，可建立退化模型如图661 1所示的形式。由图所示的形式。由图6161的模型可见，一幅纯净的的模型可见，一幅纯净的图像图像 f(x,y)是由于通过了一个系统是由于通过了一个系统及加入外来及加入外来加性噪声加性噪声 n(x,y)而使其退化为一幅图像而使其退化为一幅图像 g(x,y)的。的。图像复原可以看成是一个估计过程。如图像复原可以看成是一个估计过程。如果已经给出了退化图像果已经给出了退化图像 g(x,y)并估计出
5、系并估计出系统参数统参数 H ，从而可近似地恢复，从而可近似地恢复 f(x,y)。这里，这里，n(x,y)是一种统计性质的信息。当是一种统计性质的信息。当然，为了对处理结果作出某种最佳的估计，然，为了对处理结果作出某种最佳的估计，一般应首先明确一个质量标准。一般应首先明确一个质量标准。6.1.1 6.1.1 系统系统 的基本定义的基本定义 6.1.2 6.1.2 连续函数退化模型连续函数退化模型 6.1.3 6.1.3 离散的退化模型离散的退化模型 根据图像的退化模型及复原的基本过程可根据图像的退化模型及复原的基本过程可见，复原处理的关键在于对系统见，复原处理的关键在于对系统 H 的基本了的基
6、本了解。就一般而言，解。就一般而言，系统系统是某些元件或部件以某是某些元件或部件以某种方式构造而成的整体。系统本身所具有的某种方式构造而成的整体。系统本身所具有的某些特性就构成了通过系统的输入信号与输出信些特性就构成了通过系统的输入信号与输出信号的某种联系。号的某种联系。系统的分类方法很多。例如，系统可分为系统的分类方法很多。例如，系统可分为 线性系统和非线性系统；线性系统和非线性系统；时变系统和非时变系统；时变系统和非时变系统；集中参数系统和分布参数系统；集中参数系统和分布参数系统；连续系统和离散系统等等。连续系统和离散系统等等。Hf(x,y)g(x,y)n(x,y)图图61 61 图像退化
7、模型图像退化模型 线性系统就是具有均匀性和相加性的系统。线性系统就是具有均匀性和相加性的系统。对于图对于图6161所示的系统来说，可表示成下式所示的系统来说，可表示成下式(61)(61)(62)(62)如果暂不考虑加性噪声如果暂不考虑加性噪声 n(x,y)的影响，而的影响，而令令 n(x,y)=0)=0 时，则时，则 如果输入信号为如果输入信号为 f1(x,y)，f2(x,y)，对应，对应的输出信号为的输出信号为 g1(x,y)，g2(x,y)，通过系统后有，通过系统后有下式成立下式成立(63)(63)(64)(64)那么，系统那么，系统 H 是一个线性系统。是一个线性系统。其中其中 k1,k
8、2 为一常数。如果为一常数。如果 k1=k2 =1=1 ，则，则式式(63)(63)及式及式(64)(64)说明，如果说明，如果 H 为线性为线性系统，那么，两个输入之和的响应等于两个系统，那么，两个输入之和的响应等于两个响应之和。显然，线性系统的特性为求解多响应之和。显然，线性系统的特性为求解多个激励情况下的输出响应带来很大方便。个激励情况下的输出响应带来很大方便。如果一个系统的参数不随时间变化，即称为时如果一个系统的参数不随时间变化，即称为时不变系统或不变系统或非时变系统非时变系统。否则，就称该系统为时。否则，就称该系统为时变系统。与此概念相对应，对于二维函数来说，变系统。与此概念相对应，
9、对于二维函数来说，如果如果(65)(65)H 是空间不变系统（或称为位置不变系统），式是空间不变系统（或称为位置不变系统），式中的中的 和和 分别是空间位置的位移量。这说明了分别是空间位置的位移量。这说明了图像中任一点通过该系统的响应只取决于在该点的图像中任一点通过该系统的响应只取决于在该点的输入值，而与该点的位置无关。输入值，而与该点的位置无关。由上述基本定义可见，如果系统由上述基本定义可见，如果系统 H 有式有式(63)(63)和式和式(65)(65)的关系，那么，系统就是的关系，那么，系统就是线性线性的和空间位置不变的系统的和空间位置不变的系统。在图像复原处理中，在图像复原处理中，尽管非
10、线性和空间变化的系统模型更具普遍性和尽管非线性和空间变化的系统模型更具普遍性和准确性，但是，它却给处理工作带来巨大的困难，准确性，但是，它却给处理工作带来巨大的困难，它常常没有解或者很难用计算机来处理。它常常没有解或者很难用计算机来处理。因此，在图像复原处理中，往往用因此，在图像复原处理中，往往用线性和空间不线性和空间不变性的系统模型加以近似变性的系统模型加以近似。这种近似的优点是使。这种近似的优点是使线性系统理论中的许多理论可直接用来解决图像线性系统理论中的许多理论可直接用来解决图像复原问题，所以图像复原处理特别是数字图像复复原问题，所以图像复原处理特别是数字图像复原处理主要采用线性的，空间
11、不变的复原技术原处理主要采用线性的，空间不变的复原技术。6.1.1 6.1.1 系统系统 的基本定义的基本定义 6.1.2 6.1.2 连续函数退化模型连续函数退化模型 6.1.3 6.1.3 离散的退化模型离散的退化模型 在线性系统理论中，曾定义了单位冲激信号在线性系统理论中，曾定义了单位冲激信号 (t)。它是一个振幅在原点之外所有时刻为零，。它是一个振幅在原点之外所有时刻为零，在原点处振幅为无限大、宽度无限小，面积为在原点处振幅为无限大、宽度无限小，面积为的窄脉冲。其时域表达式为的窄脉冲。其时域表达式为(66)(66)如果冲激信号如果冲激信号 (t)有一个时刻有一个时刻 t0 的延迟，的延
12、迟，那么那么(67)(67)(68)(68)冲激信号冲激信号 (t)的一个重要特性是的一个重要特性是取样特性取样特性。由于。由于除了除了 t=0 外，其它值均为零，所以有外，其它值均为零，所以有 同理，当同理，当 t 有有 t0 延时的时候有延时的时候有 (69)(69)冲激函数的另外一个取样公式就是卷积取样，即冲激函数的另外一个取样公式就是卷积取样，即(610)(610)上述的一维时域冲激函数上述的一维时域冲激函数 (t)不难推广到二不难推广到二维空间域中。如果推广至二维空间，那么可定义维空间域中。如果推广至二维空间，那么可定义 (x,y)为冲激函数。为冲激函数。(x-,y-)就是有延迟的冲
13、就是有延迟的冲激函数。显然，可以把激函数。显然，可以把 f(x,y)写成下式形式写成下式形式(611)(611)根据根据 g(x,y)=Hf(x,y)+n(x,y)的关系的关系,如果令如果令 n(x,y)=0 ,则有下式成立则有下式成立:由于由于 H 是线性算子，所以是线性算子，所以 (6(612)12)令令 则则(613)(613)其中其中 h(x,y,)就是系统就是系统 H 的冲激响的冲激响应。也就是说应。也就是说 h(x,y,)是系统是系统 H 对坐标为对坐标为 (,)处的冲激函数处的冲激函数 (x-,y-)的响应。在的响应。在光学中，冲激为一光点，所以光学中，冲激为一光点，所以 h(x
14、,y,)又称为点扩散函数（又称为点扩散函数（PSFPSF）。）。式式(613)(613)就是线性系统理论中非常重要的费就是线性系统理论中非常重要的费雷德霍姆雷德霍姆(fredholm)积分。式积分。式(613)(613)指出，如果指出，如果系统系统 H 对冲激函数的响应为已知，则对任意输入对冲激函数的响应为已知，则对任意输入 f(,)的响应可用式的响应可用式(613)(613)求得。换句话说，求得。换句话说，线性系统线性系统 H 完全可由其冲激响应来表征。完全可由其冲激响应来表征。6.1.1 6.1.1 系统系统 的基本定义的基本定义 6.1.2 6.1.2 连续函数退化模型连续函数退化模型
15、6.1.3 6.1.3 离散的退化模型离散的退化模型 连续函数的退化模型是由输入函数连续函数的退化模型是由输入函数 f(,)和点扩散函数相乘后再积分来表示的。如果把和点扩散函数相乘后再积分来表示的。如果把 f(,)和和 h(x-,y-)进行均匀取样后就可进行均匀取样后就可引伸出离散的退化模型。为了研究离散的退化引伸出离散的退化模型。为了研究离散的退化模型，不妨用一维函数来说明基本概念，然后模型，不妨用一维函数来说明基本概念，然后再推广至二维情况再推广至二维情况。假设有两个函数假设有两个函数 f(x)和和 h(x)，它们被均匀取它们被均匀取样后分别形成样后分别形成 A 维和维和 B 维的阵列。在
16、这种维的阵列。在这种情况下，情况下，f(x)变成在变成在 x=0,1,2,=0,1,2,A-1-1 范围内的离散范围内的离散变量，变量，h(x)变成在变成在 x=0,1,2,=0,1,2,B-1 -1 范围内的离散变量。由此，连续函数退化模型中的范围内的离散变量。由此，连续函数退化模型中的连续卷积关系就演变为离散卷积关系。连续卷积关系就演变为离散卷积关系。如果如果 f(x)，h(x)都是具有周期为都是具有周期为 N 的序列，的序列，那么，它们的时域离散卷积可定义为下式之形式。那么，它们的时域离散卷积可定义为下式之形式。(617)(617)显然，显然，g(x)也是具有周期也是具有周期 N 的序列
17、。周的序列。周期卷积可用常规卷积法计算也可用卷积定理进行期卷积可用常规卷积法计算也可用卷积定理进行快速卷积计算。快速卷积计算。(621)(621)(622)(622)H 是是 M M 阶矩阵阶矩阵 (623)(623)(626)(626)这样延拓后这样延拓后 fe e(x,y)和和 he e(x,y)分别成为二维分别成为二维周期函数。它们在周期函数。它们在x和和y方向上的周期分别为方向上的周期分别为M和和N。由此得到二维退化模型为一个二维卷积形式。由此得到二维退化模型为一个二维卷积形式 (627)(627)(630)(630)(6-31)(6-32)上述离散退化模型都是在线性的空间不变的前提下
18、推出的。目的是在给定了 g(x,y)并且知道 h(x,y)和 n(x,y)的情况下，估 计 出理想的原始图像 f(x,y)。但是，要想从式(633)得到 f(x,y)，对于实用大小的图像来说，处理工作是十分艰巨的。例如，对于一般精度的图像来说 M=N=512，此时 H的大小为 MNMN=512 512=262144262144。因此，要直接得到 f 则需要求解 262144个联立方程组。其计算量之浩大是不难想象的。为了解决这样的问题，必须研究一些简化算法，由于 H 的循环性质，使得简化运算得以实现。622 约约束复原法束复原法在最小二乘方复原处理中，为了在数学上更容易处理，常常附加某种约束条件
19、。这种带有约束条件的复原方法叫做约束复原法，而这种有附加条件的求极值问题可用拉格朗日乘数法来处理。其处理方法如下：(6-44)6.3 6.3 逆滤波逆滤波 6.3.1 6.3.1 逆滤波的基本原理逆滤波的基本原理 逆滤波复原法也叫做反向滤波法。逆滤波复原法也叫做反向滤波法。(6-45)由傅里叶变换的卷积定理可知有下式成立(6-46)这意味着，如果已知退化图像的傅立叶变换和“滤波”传递函数，则可以求得原始图像的傅立叶变换，经反傅立叶变换就可求得原始图像 f(x,y)。这里 G(u,v)除以 H(u,v)起到了反向滤波的作用。这就是逆滤波法复原的基本原理。利用式(647)和式(650)进行复原处理
20、时可能会发生下列情况，即在 u,v 平面上有些点或区域会产生 H(u,v)=0 或 H(u,v)非常小的情况，在这种情况下，即使没有噪声，也无法精确恢复 f(x,y)。另外，在 有 噪 声 存 在 时，在 H(u,v)的领域内，H(u,v)的值可能比 N(u,v)的值小的多，因此由式（650）得到的噪声项可能会非常大，这样也会使 f(x,y)不能正确恢复。图图 62 62 实际的逆滤波处理框图实际的逆滤波处理框图 (6-51)H(u,v)叫做输入传递函数，M(u,v)叫做处理传递函数，H(u,v)M(u,v)叫做输出传递函数。一般情况下，H(u,v)的幅度随着离 u,v 平面原点的距离的增加而迅速下降，而噪声项 N(u,v)的幅度变化是比较平缓的。在远离 u,v 平面的原点时 N(u,v)/H(u,v)的值就会变得很大，而对于大多数图像来说 H(u,v)却变小，在这种情况下，噪声反而占优势，自然无法满意地恢复出原始图像。这一规律说明，应用逆滤波时仅在原点邻域内采用 1/H(u,v)方能奏效。(6-52)