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1、三重积分及其计算第1页，本讲稿共41页1.非均匀分布立体的质量设有空间立体,当的质量是均匀分布时,则的质量M=的体密度 的体积.若的质量不是均匀分布的,则不能上述方式算质量M.设空间立体.其质量非均匀分布,体密度 (x,y,z)连续,求的质量 M.一、三重积分的概念及性质第2页，本讲稿共41页(i)将分成 n 个小立体 1,2,n,记 Vi 表示的i 的体积,i=1,2,n.由于(x,y,z)连续,从而当i很小时,在 i 上 (x,y,z)的变化不大.可近似看作不变.第3页，本讲稿共41页(ii)取(i,i,i)Di,以(i,i,i)作为 i 的体密度.从而,i的质量mi (i,i,i)V i
2、(iii)因此,的质量(iv)第4页，本讲稿共41页2.2.三重积分的定义三重积分的定义第5页，本讲稿共41页第6页，本讲稿共41页三三重重积积分分定定义义的的几几点点说说明明第7页，本讲稿共41页第8页，本讲稿共41页第9页，本讲稿共41页3.3.三重积分的性质三重积分的性质性质 1性质 2第10页，本讲稿共41页性质 3性质 4性质 5第11页，本讲稿共41页性质 6性质 5第12页，本讲稿共41页解例第13页，本讲稿共41页二.直角坐标系下三重积分的计算第14页，本讲稿共41页第15页，本讲稿共41页或其它坐标面上第16页，本讲稿共41页第17页，本讲稿共41页解解例第18页，本讲稿共4
3、1页例解解第19页，本讲稿共41页例解解第20页，本讲稿共41页三重积分也可化为一个二重积分和一个定积分三重积分也可化为一个二重积分和一个定积分:(x,y)D(z),z1zz20 xzyz2zz2D(z)第21页，本讲稿共41页计算其中 是由 z=x2+y2 和 z=1所围成的闭区域.xyz01D(z)1解解：D(z):x2+y2zz0,1例第22页，本讲稿共41页计算zxy0111其中 是由平面 x+y+z=1与三个坐标面所围闭区域.例D(x):0 y 1x,解解：x:0 x 1，0 z 1xy.第23页，本讲稿共41页三.三重积分的换元法 雅可比行列式的绝对值第24页，本讲稿共41页!?第
4、25页，本讲稿共41页第26页，本讲稿共41页第27页，本讲稿共41页例解解第28页，本讲稿共41页例解解第29页，本讲稿共41页第30页，本讲稿共41页例解解第31页，本讲稿共41页第32页，本讲稿共41页第33页，本讲稿共41页第34页，本讲稿共41页用球面坐标计算其中画画 图图。确定确定 r，的上下限。的上下限。(1)(1)将将 向向 xoy 面投影，得面投影，得(2)任取一过 z 轴作半平面，得(3)在半平面上，任取一过原点作射线，得射线，得例解解第35页，本讲稿共41页(3)在半平面上，任取一过原点作射线，得即即第36页，本讲稿共41页第37页，本讲稿共41页计算其中 由曲面和围成。将将 向向 xoy 面投影，得面投影，得 任取一过 z在半平面上，任取一过原点作射线，得过原点作射线，得轴作半平面，得轴作半平面，得解解例第38页，本讲稿共41页即即在半平面上，任取一过原点作射线，得第39页，本讲稿共41页例解解第40页，本讲稿共41页例解解第41页，本讲稿共41页