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1、- 1 -20192019 届高三年级第二次月考届高三年级第二次月考数学试卷（文科）数学试卷（文科）第第卷（共卷（共 6060 分）分）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 个小题个小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. .1. 复数的共轭复数是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】,复数的共轭复数是故选：C点睛：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式2. 若，且，则角 的终边位于（ ）A. 第一象限 B.
2、 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】B【解析】sin0，则角 的终边位于一二象限或 y 轴的非负半轴，由 tan0，角 的终边位于二四象限，角 的终边位于第二象限故选择 B3. 已知函数，其中 为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是（ ）A. 向左平移个长度单位 B. 向右平移个长度单位C. 向左平移个长度单位 D. 向右平移个长度单位【答案】A【解析】若对恒成立，则为函数的函数的最值，- 2 -即 2 +=k+ ，kZ，则 =k+ ，kZ，又 f（ ）f（） ，sin（+）=sinsin（2+）=sin，sin0令 k=1，此时 =，满足条件 sin0，令 2x2k ，2k
3、+ ，kZ，解得：xk+ ，k+（kZ） 则 f（x）的单调递增区间是k+ ，k+（kZ） 故选 C4. A. B. -1 C. D. 1【答案】D【解析】，故选：D.5. 在中，角所对边长分别为，若，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C考点：余弦定理。6. 已知，则A. 9 B. 3 C. 1 D. 2【答案】C【解析】试题分析：,可得，即，又解得，.故选 B.考点：1、向量的模，2、向量的数量积的运算.- 3 -7. 已知函数，其中，若的值域是，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】的值域是，由函数的图象和性质可知 ，可解得 a故选：D8. 若
4、，且，则的值是（ ）A. B. C. 或 D. 或【答案】A【解析】，又 0，2（，） ，即 （， ） ，（ ，） ，cos2=；又，（ ，） ，cos（）=，cos（+）=cos2+（）=cos2cos（）sin2sin（）=（）=又 （， ） ，（+）（，2） ，+=，故选：A点睛：求角问题一般包含三步：第一步明确此角的某个三角函数值，第二步根据条件限制角的范围；第三步求出此角.9. 某班设计了一个八边形的班徽（如图） ，它由腰长为 1，顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（ ）- 4 -A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：利用余弦定理求出正
5、方形面积；利用三角形知识得出四个等腰三角形面积；故八边形面积.故本题正确答案为 A.考点：余弦定理和三角形面积的求解.【方法点晴】本题是一道关于三角函数在几何中的应用的题目，掌握正余弦定理是解题的关键；首先根据三角形面积公式求出个三角形的面积；接下来利用余弦定理可求出正方形的边长的平方，进而得到正方形的面积，最后得到答案.10. 已知函数，其中 为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】若对恒成立，- 5 -则为函数的函数的最值，即 2 +=k+ ，kZ，则 =k+ ，kZ，又 f（ ）f（） ，sin（+）=sinsin（2+）=sin，sin
6、0令 k=1，此时 =，满足条件 sin0，令 2x2k ，2k+ ，kZ，解得：xk+ ，k+（kZ） 则 f（x）的单调递增区间是k+ ，k+（kZ） 故选 C11. 在矩形中， 为矩形内一点，且，若，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】如图，设PAE=，则：；又；的最大值为故选 B- 6 -12. 若 ， 实数满足方程组则（ ）A. 0 B. C. D. 1【答案】D【解析】，由化简得：8y3（1+cos2y）+2y+3=0，整理得：8y3+cos2y2y2=0，即（2y）3+cos（2y）+（2y）2=0，设 t=2y，则有 t3+cost+t2=0，与方程对比
7、得：t=x，即 x=2y，x+2y=0，则 cos（x+2y）=1故选 D点睛：解题关键根据两个方程的结构特点，构造新函数借助新函数的性质明确 x 与 y 的关系,从而得到的值.第第卷（共卷（共 9090 分）分）二、填空题（每题二、填空题（每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上）13. 在中，且的面积为，则_【答案】【解析】根据题意，的面积为：，则，在中，由余弦定理有：.14. 2002 年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）.如果小正方形
8、的面积为 1，大正方形的面积为 25，直角三角形中较小的锐角为 ，那么的值等于_- 7 -【答案】【解析】试题分析：由题意得，大正方形的边长为 5，小正方形的边长为 1，1=5cos-5sin，cos-sin=由于 为锐角，cos2+sin2=1，cos=，sin=，考点：本题考查三角函数的应用点评：用三角函数来表示正方形的边长，列方程求解15. 如图，是边长为 4 的正方形，动点 在以为直径的圆弧上，则的取值范围是_【答案】【解析】以 AB 中点为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴建立如图坐标系则圆弧 APB 方程为 x2+y2=4， （y0） ，C（2，4） ，D（2，4）因此设 P（2c
9、os，2sin） ，0，=（22cos，42sin） ，=（22cos，42sin） ，由此可得=（22cos） （22cos）+（42sin） （42sin）=4cos24+1616sin+4sin2=1616sin化简得=1616sin0，sin0，1当 =0 或 时，取最大值为 16；当 = 时，取最小值为 0- 8 -由此可得的取值范围是0，16故答案为：0，16点睛：向量有三种表达形式，几何形式，代数形式，符号形式，三种形式对应着处理平面向量问题的三种策略.16. 如图，在平面斜坐标系中，斜坐标定义：如果（其中，分别是 轴， 轴的单位向量） ，则叫做 的斜坐标.（1）已知 得斜坐标为
10、，则_（2）在此坐标系内，已知，动点 满足，则 的轨迹方程是_【答案】 (1). 1 (2). 【解析】 （1），1.故答案为：1；y=x三、解答题三、解答题 （本大题共（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .） - 9 -17. 设的内角所对边的长分别为，且有.（1）求角 的大小；（2）若， 为的中点，求的长.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（）根据 2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC，可得2sinBcosA=sin（A+C） ，从而可得 2sinBcosA=si
11、nB，由此可求求角 A 的大小；（）利用 b=2，c=1，A= ，可求 a 的值，进而可求 B= ，利用 D 为 BC 的中点，可求 AD 的长试题解析：（1），；（2）， 为的中点，.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.- 10 -第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.18. 在中，.（1）求的值；（2）若，求在方向上的投影.【答案】(1) (2) 【解析】试
12、题分析：（1）根据降幂公式 ，代入化简得到，再根据两角和的余弦公式化简为 ， （2）根据投影公式在方向上的投影为，所以根据正弦定理求，再求 ,根据余弦定理求 ，代入即可.试题解析：(1)由，可得，即， （2）由正弦定理得，由题意知，由余弦定理得，解得（舍）在方向上的投影：.19. 已知函数的图象关于直线对称，且图象上相邻两个最高点的距离为 .（1）求 和 的值.（2）若，求的值.【答案】(1) , (2) 【解析】试题分析：（1）由两个相邻的最高点的距离可求得周期，则，函数为，由函数关于直线对称，可知，结合- 11 -可求得的值；（2）对进行三角恒等变换，可求得的值，又为锐角，可求得，再利用三
13、角恒等变换求得值.试题解析：（1）由题意可得函数的最小正周期为 ，再根据图象关于直线对称，可得结合，可得（2）再根据考点：三角函数的周期与初相，三角恒等变换.20. 已知函数.若的最小正周期为.（1）求的单调递增区间；（2）在中，角的对边分别是满足，求函数的取值范围.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）利用正弦、余弦的二倍角公式以及两角和公式把化简成，通过已知的最小正周期求出 ，得到的解析式，再通过正弦函数的单调性求出答案；（2）根据正弦定理及，求出，进而求出 ，得到 的范围，把 代入根据正弦函数的单调性，求出函数的取值范围.试题解析：(1)f(x)sin xcos xcos2 -
14、 12 -xsin，T4，f(x)sin，f(x)的单调递增区间为 (kZ Z)(2)(2ac)cos Bbcos C，2sin Acos Bsin Ccos Bsin Bcos C，2sin Acos Bsin(BC)sin A，cos B，B .f(A)sin，0A，f(A).21. 如图，在直角坐标系中，点 是单位圆上的动点，过点 作 轴的垂线与射线交于点 ，与 轴交于点，记，且.（1）若，求.（2）求面积的最大值.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：1同角三角的基本关系求得的值,再利用两角差的余弦公式求得的值.(2)利用用割补法求的面积,再利用正弦函数的值域,求得它的最值.试题解
15、析：（1）依题意得，所以,因为，且，所以,所以.（2）由三角函数定义，得，从而.,- 13 -.因为，所以当时， “=”成立，所以面积的最大值为.22. 已知函数.（1）若函数的最大值为 6，求常数的值；（2）若函数有两个零点和，求的取值范围，并求和的值；（3）在（1）的条件下，若，讨论函数的零点个数.【答案】(1) (2) , (3) 没有零点【解析】试题分析：（1）利用二倍角的正弦公式，两角和的正弦公式化简解析式，由 x 的范围求出的范围，由正弦函数的最大值和条件列出方程，求出 m 的值；（2）由 x 的范围求出 z=的范围，函数在上有两个零点方程在上有两解，再转化为两个函数图象有两个交点，由正弦函数的图象列出不等式，求出 m 的范围，由正弦函数的图象和对称性求出 x1与 x2的和；（3）由（1）求出 f（x）的最小值，求出当 t2 时（t1）f（x）的范围，利用商的关系、两角差的正切公式化简，由 x 的范围、正切函数的性质求出范围，即可判断出函数 g（x）的零点个数试题解析：（1）由题意得，则，时，解得；（2）令，函数在上有两个零点方程在上有两解，- 14 -即函数与 在上有两个交点由图象可知，解得由图象可知，解得；（3）在（1）的条件下，且，则，当时，（当且时取等号） ，（当时取等号） ，所以当时，函数有一个零点，当时，恒成立，函数没有零点