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1、- 1 -20192019 届高三年级第二次月考届高三年级第二次月考数学试卷（理科）数学试卷（理科）第第卷（共卷（共 6060 分）分）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 个小题个小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. .1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：由题意，所以故选 B考点：集合的运算对数函数与指数函数的性质2. “若，则，都有成立”的逆否命题是（ ）A. ，有成立，则 B. ，有成立，则 C. ，有
2、成立，则 D. ，有成立，则【答案】D【解析】由原命题与逆否命题的关系可得：“若，则，都有成立”的逆否命题是 “有成立，则”.本题选择 D 选项.3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：由题意，得，解得，故选 A考点：函数的定义域4. 设函数，则（ ）A. 3 B. 6 C. 9 D. 12- 2 -【答案】C【解析】试题分析：由题意得,因为根据对数函数的单调性知:, ,故选 C.考点：1、分段函数的解析式；2、对数与指数的性质.5. 已知 ：幂函数在上单调递增；则 是 的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条
3、件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题意，命题幂函数 在上单调递增，则，又，故 是 的充分不必要条件，选 A.6. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D.- 3 -7. 某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入.若该公司 2015 年全年投入研发资金 130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是（参考数据：） （ ）A. 2021 年 B. 2020 年 C. 2019 年 D. 2019 年【答案】C【解析】设第 年开始超过万元，则，化为，取，因此开始超过万元的年份是年，故选 C
4、.8. 已知函数若方程有三个不同的实数根，则实数 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】画出函数的图象，如图：由关于 的方程有三个不同的实数解，可知函数与函数有三个不同的交点，由图象易知，实数 的取值范围是，故选 D.9. 已知，现有下列命题：；若，且，则有，其中的所有正确命题的序号是（ ）- 4 -A. B. C. D. 【答案】D【解析】,即正确； ，故正确；又因为在上递增，所以总有成立，故正确，故选 D.10. 已知函数满足，若函数与图像的交点为，则（ ）A. 0 B. 6 C. 12 D. 24【答案】B【解析】函数满足，即为，可得关于点对称，函数，即的图象关于点
5、对称，即有为交点，即有也为交点，为交点，即有也为交点， 为交点，即有也为交点， 则有 ，故选 B.11. 若直角坐标平面内两点满足条件：都在函数的图象上；关于原点对称，则称是函数的一个“伙伴点组” （点组与看做同一个“伙伴点组” ）.已知函数，有两个“伙伴点组” ，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 - 5 -根据题意可知， “伙伴点组”满足两点：都在函数图象上，且关于坐标原点对称，可作出函数，关于原点对称的函数的图象，使它与函数交点个数为 即可，设切点为的导函数为，可得，解得，可得函数，过点的切线斜率为 ，结合图象可知时有两个交点，故选 D.【方法点睛】本题
6、考查导数的几何意义、函数的图象与性质、新定义问题及数形结合思想，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求， “照章办事” ，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题定义“伙伴点组”达到考查导数的几何意义、函数的图象与性质的目的.12. 已知函数，若成立，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】- 6 -不妨设，故，令，易知在上
7、是增函数，且，当时，当时，即当时，取得极小值同时也是最小值，此时，即的最小值为，故选 D.【方法点睛】本题主要考查对数、指数的运算，利用导数研究函数的单调性进而求最值，属于难题.求最值问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图像法、函数单调性法求解，利用函数的单调性求最值，首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间 ，最后再根据其单调性求凼数的最值即可. 第第卷（共卷（共 9090 分）分）二、填空题（每题二、填空题（每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上）13. 计算：_【答案】26【解析】因为
8、，故答案为.14. 已知函数在单调递减，则 的取值范围是_【答案】【解析】根据题意,若 f(x)在区间2,+)上为增函数，则在2,+)上是减函数，u=x2ax+3a 在2,+)上为增函数,且在2,+)上恒大于 0.得到：.解得：4a4，则实数 a 的取值范围为(4,4故答案为：(4,4.- 7 -15. 若函数（且）的值域是，则实数 的取值范围是_【答案】【解析】试题分析：由于函数的值域是，故当时，满足，当时，由，所以，所以，所以实数 的取值范围.考点：对数函数的性质及函数的值域.【方法点晴】本题以分段为背景主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题，解答时要牢记对数函数的单调性及对数函数的特
9、殊点的应用是解答的关键，属于基础题，着重考查了分类讨论的思想方法的应用，本题的解答中，当时，由，得，即，即可求解实数 的取值范围.16. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，则函数的零点个数为_【答案】10【解析】由，得，要判断函数的零点个数，则根据是定义在上的偶函数，只需判断当时，的个数即可，当时，当时，时，；当时，时，；当时，时，- 8 -，作出函数在上的图象，由图象可知有个根，则根据偶函数的对称性可知在定义域上共有个根，即函数的零点个数为个，故答案为.【方法点睛】判断方程 零点个数 的常用方法： 直接法：可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数；转化法：函数 零点个数就是方程 根的个
10、数，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；数形结合法： 一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .本题的解答就利用了方法.三、解答题三、解答题 （本大题共（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .） 17. 已知命题；命题 ：函数有两个零点，且一个零点比大，一个零点比小，若为真命题，为假命题，求实数的取值范围.【答案】【解析】试题分析：由为真命题，为假命题，可得一
11、真一假，分两种情况讨论，对于 真 假以及 假 真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数的取值范围.试题解析：令，则在上是增函数故当时，最小值为，故若 为真，则.若 为真命题，则，解得.若为真命题，为假命题，则 ， 一真一假，（1）若 真 假，则实数满足即；（2）若 假 真，则实数满足即.综上所述，实数的取值范围为.18. 已知函数的定义域为 ，且对任意实数 恒有（且）成立.- 9 -（1）求函数的解析式；（2）讨论在 上的单调性，并用定义加以证明.【答案】 （1）（2）当时，在 上为单调减函数；当时，在 上为单调增函数.解：（1）对任意实数 恒有：，用替换式中的 有：，得：，当
12、时，函数为单调减函数，函数也为单调减函数，在 上为单调减函数.当时，函数为单调增函数，函数也为单调增函数，在 上为单调增函数.证明：设任意且，则，（1）当时，则，在 上是减函数.（2）当时，则，在 上是增函数.综上：当时，在 上为单调减函数；当时，在 上为单调增函数.【解析】试题分析：（1） ，用替换式中的 有：，由消去即可得结果；（2）讨论两种情况，分别利用复合函数的单调性判断其单调性，再利用定义意且，判定的符- 10 -合，即可证明结论.试题解析：（1）对任意实数 恒有：，用替换式中的 有：，得：，（2）当时，函数为单调减函数，函数也为单调减函数，在 上为单调减函数.当时，函数为单调增函数
13、，函数也为单调增函数，在 上为单调增函数.证明：设任意且，则，当时，则，在 上是减函数.当时，则，在 上是增函数.综上：当时，在 上为单调减函数；当时，在 上为单调增函数.19. 已知，函数.（1）当时，解不等式；（2）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求 的取值范围.【答案】 （1）（2）【解析】试题分析：（1）由，得，解得；（2）由在上单调递减.可得函数在区间上的最大值与最小值分别为- 11 -，等价于，对任意成立，只需令函数在区间的最小值不小于零，解不等式即可.试题解析：（1）由，得，解得.（2）当时，所以在上单调递减.函数在区间上的最大值与最小值分别为.即，对任意
14、成立.因为，所以函数在区间上单调递增，时， 有最小值，由，得，故 的取值范围为.【方法点晴】本题主要考查函数的单调性、简单的指数方程以及不等式恒成立问题，属于难题不等式恒成立问题常见方法： 分离参数恒成立(可)或恒成立（即可） ； 数形结合( 图象在 上方即可)； 讨论最值或恒成立； 讨论参数.本题（2）是利用方法 求得 的取值范围的.20. 设函数.（1）解方程：；（2）令，求的值.（3）若是实数集 上的奇函数，且对任意 实数恒成立，求实数 的取值范围.【答案】 （1）2（2）1008（3）- 12 -试题解析：（1）.（2）.因为所以（3）因为是实数集上的奇函数，所以.，在实数集上单调递增
15、.由得，又因为是实数集上的奇函数，所以，,又因为在实数集上单调递增，所以,即对任意的都成立，即对任意的都成立，.21. 已知函数是偶函数.（1）求 的值；（2）若函数的图像与直线没有交点，求 的取值范围；（3）若函数，是否存在实数使得最小值为 0，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】 （1）（2）（3）存在得最小值为 0.解：（1），即对于任意恒成立.- 13 -（2）由题意知方程即方程无解.令，则函数的图象与直线无交点.任取，且，则，在上是单调减函数.， 的取值范围是（3）由题意，令，开口向上，对称轴，当，即，当，即，（舍去）当，即，（舍去）存在得最小值为 0.【解析】试题分析：
16、（1）若函数是偶函数，则恒成立，化简可得 ，从而可求得 的值；（2）若函数的图象与直线没有交点，方程无解，则函数的图象与直线无交点，则 不属于函数值域，从而可得结果；（3）函数，令，则，结合二次函数的图象和性质，分类讨论，可得的值.试题解析：（1），即对于任意恒- 14 -成立.（2）由题意知方程即方程无解.令，则函数的图象与直线无交点.任取，且，则，在上是单调减函数.， 的取值范围是（3）由题意，令，开口向上，对称轴，当，即，当，即，（舍去）当，即，（舍去）存在得最小值为 0.22. 已知函数在区间上有最大值 4 和最小值 1.设.（1）求的值；（2）若不等式在上有解，求实数 的取值范围；（
17、3）若有三个不同的实数解，求实数 的取值范围.- 15 -【答案】 （1）（2）（3）解：（1），因为，所以在区间上是增函数，故，解得，（2）由已知可得，所以可化为，化为，令，则，因，故，记，因为，故，所以 得取值范围是.（3）原方程可化为令，则，有两个不同的实数解，其中，或.记，则 或解不等组，得，而不等式组无实数解，所以实数 的取值范围是.【解析】试题分析：（1）由函数，在区间上是增函数，故，由此解得的值；（2）不等式化为，故有，求出的最小值，从而求得 的取值范围；（3）方程，令，原方程等价于，构造函数，通过数形结合与等价转化的思想可求得 的范围.试题解析：（1），因为，所以在区间上是增函数，故，解得，（2）由已知可得，所以可化为，化为，令，则，因，故，- 16 -记，因为，故，所以 得取值范围是.（3）原方程可化为令，则，有两个不同的实数解，其中，或.记，则 或解不等组，得，而不等式组无实数解，所以实数 的取值范围是.