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1、试卷第 1 页，共 6 页 广东省广州市越秀区 2021-2022 学年八年级下学期期末数学试题 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 一、单选题 1若代数式1x在实数范围内有意义，则x的取值范围是()Ax1 Dx1 2在下列各式中，最简二次根式是（）A4 B5 C0.8 D14 3点（a，1）在一次函数 y2x+1 的图象上，则 a的值为（）Aa3 Ba1 Ca1 Da2 4如图，菱形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、AC 的中点，若 EF3，则菱形 ABCD 的周长为（）A24 B18 C12 D9 5下列计算正确的是（）A2 36 B332 3 C232 3 D332 3 62022 年
2、 2 月，第 24 届冬季奥林匹克运动会在北京举行某校八年级（1）班在班会课开展了冬奥会知识小竞赛，10 位同学在这个知识竞赛中的成绩统计结果如表所示，则这 10 位同学的平均成绩是（）成绩 7 8 9 10 人数 1 4 3 2 A8 B8.5 C8.6 D9 7若函数yax和函数ybxc的图象如图所示，则关于 x的不等式axbxc的解集试卷第 2 页，共 6 页 是（）A2x B1x C2x D1x 8 如图，在平行四边形 ABCD 中，CEAB于点 E，CFAD于点 F，若53ECF，则B（）A53 B45 C37 D70 9若点1(1,)My，2(2,)Ny都在直线yxb 上，则下列大
3、小关系成立的是（）A12yyb B21yyb C21yby D12yby 10在平面直角坐标系 xOy 中，直线34(0)ykxkk过定点 P，过点 A（6，m）作直线ABy轴交直线34ykxk于点 B，连接 OB，若 BP 平分OBA，则 k的值是（）A45 B54 C43 D34 二、填空题 1123=_ 12将函数 y2x+1 的图象向上平移 2 个单位，所得的函数图象的解析式为_ 13甲、乙两人进行射击测试，每个人 10 次射击成绩的平均值都是 8.5 环，方差分别是21.2S甲，21.7S乙，则两人中成绩比较稳定的是_（填“甲”或“乙”）14已知51a，则代数式的值229aa是_ 1
4、5如图，在直线 l上摆放着三个正方形，其中正放的两个正方形的顶点 M，N 分别是斜放正方形相邻两边的中点，三个正方形的面积依次为1S，2S，3S 已知11S，33S，试卷第 3 页，共 6 页 则2S=_ 16 如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 为对角线 BD上任意一点（不与 B，D重合），连接 AE，过点 E 作EFAE，交线段 BC于点 F，以 AE，EF为邻边作矩形 AEFG，连接 BG给出下列四个结论：AEEF；22CDBFBE；设四边形 AGBE 的周长为 m，则8 284 2m；当1BF 时，AGB的面积为 3 其中正确的结论有_（填写所有正确结论的序号）三、解答题 1
5、7计算：3(34 2)24 18已知：如图，在ABCD 中，点 E、F 分别在 AD、BC 上，且ABECDF 求证：四边形 BFDE 是平行四边形 19如图，已知ACBC，2CABDCB，2 3AD 试卷第 4 页，共 6 页 (1)求 AB的长；(2)求ABD的面积 20 新冠肺炎疫情防控时刻不能放松 某校倡议学生积极参加体育锻炼，提高免疫力 为了解八年级学生周末体育锻炼的情况，在该校八年级学生中随机抽取了 16 名女生和 16名男生，调查了他们周末的锻炼时间，收集到如下数据（单位：分钟）女生 49 56 67 68 72 76 78 79 80 80 90 95 99 103 108 1
6、15 男生 58 65 66 72 75 79 79 82 83 88 94 98 102 108 113 124 (1)女生锻炼时间的众数为 ，男生锻炼时间的中位数为 ；(2)如果该校八年级的女生有 128 人，男生有 144 人，请估计该校八年级学生周末锻炼时间在 100 分钟以上（不包含 100 分钟）的人数 21在Rt ABC中，90ACB点 D 是边 AB 上的一点，连接 CD作AEDC，CEAB，连接 ED (1)如图 1，当CDAB时，求证：ACED；(2)如图 2，当 D是边 AB的中点时，若10AB，8ED，求四边形 ADCE 的面积 22A，B 两地距离 24km，甲、乙两
7、人同时从 A 地出发前往 B地甲先匀速慢走 2h，而后匀速慢跑；乙始终保持匀速快走，设运动时间为 x（单位：h）甲、乙距离 A 地的路程分别为1y，2y（单位：km），1y，2y分别与 x的函数关系如图所示 试卷第 5 页，共 6 页 (1)求1y关于 x的函数解析式；(2)相遇前，是否存在甲、乙两人相距 1km 的时刻？若存在，求运动时间；若不存在，请说明理由 23如图，已知ABC (1)尺规作图：作平行四边形 ABCD；（保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）所作的平行四边形 ABCD中，连接 BD，交 AC于点 O 若90BAC，8AB，12AC，求 BD的长；过点 O作直线 EF与边
8、AD，BC 分别交于点 E，F，设四边形 EDCF的面积为1S，平行四边形 ABCD的面积为2S，求12:SS的值 24如图，点 A（0，2），B（3，3），(7,1)C，四边形 OBCD是矩形，BD 与 x轴交于点 E (1)求直线 AB的解析式；(2)求线段 OE的长；(3)若点 P为直线 AB上一动点，设POB的面积为1S，OBE的面积为2S，且122SS，试卷第 6 页，共 6 页 求点 P的坐标 25已知AEBF，6AB，点 C 为射线 BF 上一动点（不与点 B 重合），BAC关于AC 的轴对称图形为DAC (1)如图 1，当点 D在射线 AE 上时，求证；四边形 ABCD是菱形；
9、(2)如图 2，当点 D在射线 AE，BF之间时，若点 G为射线 BF上一点，点 C为 BG的中点，且10BG，5AC，求 DG的长；(3)如图 3，在（1）的条件下，若60ABF，连接 BD，点 P，Q分别是线段 BC，BD上的动点，且BPDQ，求APAQ的最小值 答案第 1 页，共 19 页 参考答案：1D【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于 x 的不等式，求出 x 的取值范围即可【详解】解：由题意得，x10，解得 x1 故选：D【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握要使二次根式有意义，其被开方数应为非负数 2B【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母
10、；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可【详解】解：A.原式2，故该选项不符合题意；B.5是最简二次根式，故该选项符合题意；C.原式42 555，故该选项不符合题意；D.原式12，故该选项不符合题意；故选：B【点睛】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键 3C【分析】把点 A（a，1）代入 y2x+1，解关于 a的方程即可【详解】解：点 A（a，1）在一次函数 y2x+1 的图象上，12a+1，解得 a1，故选 C【点睛】此题考查一次函数图象上点的坐标特征；用到的知识点为：点在函数解析式上，点的
11、横坐标就适合这个函数解析式 4A【分析】由三角形的中位线定理可得 BC2EF6，再根据菱形的性质即可求解【详解】解：E、F 分别是 AB、AC 的中点，答案第 2 页，共 19 页 BC2EF6，四边形 ABCD是菱形，ABBCCDAD6，菱形 ABCD 的周长4624，故选：A【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，是基础题 5D【分析】直接利用二次根式的乘法、加法法则分别计算得出答案进行判断即可【详解】解：A2 36，故选项错误，不符合题意；B233(3)3,故选项错误，不符合题意；C232 3，故选项错误，不符合题意；D332 3，故选项正确，符合题意 故选：D【点睛】此题主要考
12、查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键 6C【分析】平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数 根据平均数的定义列式计算即可【详解】解：这 10 位同学的平均成绩是1 78 49 3 10 210 8.6，故选：C【点睛】本题主要考查平均数，解题的关键是掌握平均数的定义 7D【分析】根据两直线交点坐标，利用图象法求不等式的解集即可【详解】解：由图象可得函数yax和函数ybxc的图象的交点坐标为(1,2)，当 x1 时，函数yax的图象在函数ybxc图象上方，不等式 axbx+c的解集为 x1，即axbxc的解集为 x1，故选：D【点睛】本题考查根据两函数图象交点坐标
13、求不等式解集，熟练掌握函数与不等式的关系，利用图象法求不等式解集是解题的关键 答案第 3 页，共 19 页 8A【分析】由平行四边形的性质得 ADBC，再证 CFBC，求出BCE=37，即可解决问题 【详解】解：四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，CFAD，CFBC，BCF=90，ECF=53，BCE=90-53=37，CEAB，BEC=90，B=90-BCE=90-37=53，故选：A【点睛】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键 9D【分析】由 k10，利用一次函数的性质可得出 y 随 x 的增大而减小，结合102，即可得出 y1by
14、2【详解】解：k10，y 随 x 的增大而减小，又点 M（1，y1），N（2，y2）都在直线 yx+b上，且102，y1by2 故选：D【点睛】本题考查了一次函数的性质，牢记“k0，y 随 x的增大而增大；k0，y 随 x 的增大而减小”是解题的关键 10D【分析】根据题意证明OBH=OHB，则 OB=OH，即可根据勾股定理得到关于 k 的方程，解方程即可【详解】解：过点 A（6，m）作直线 ABy 轴交直线 y=kx-3k+4 于点 B，点 B（6，3k+4），答案第 4 页，共 19 页 设直线 y=kx-3k+4 与 y轴交于点 H，令 x=0，则 y=-3k+4，即点 H（0，-3k+
15、4），如图，BP平分OBA，ABH=OBH，ABy，ABH=OHB，OBH=OHB，则 OB=OH，即 36+（3k+4）2=（4-3k）2，解得：34k 故选：D【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理的应用等，表示出 B、H 的坐标是解题的关键 113【分析】根据二次根式的性质即可求解【详解】解：23|3|3 故答案为：3【点睛】本题考查了利用二次根式的性质化简，理解二次根式的性质2aa是解题的关键 12y2x+3【分析】根据一次函数图象平移时“上加、下减”的原则进行解答即可【详解】由“上加下减”的原则可知，将函数 y2x+1 的图象向上平移
16、 2 个单位所得函数的解析式为 y2x+3 故答案为 y2x+3【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键 13甲 答案第 5 页，共 19 页【分析】根据方差的性质即可求解【详解】解：22SS甲乙，成绩较稳定的是甲 故答案为：甲【点睛】此题主要考查利用方差判断稳定性，解题的关键是熟知方差的性质：方差越小，越稳定 1413【分析】由51a，可得（a-1）2=（5）2，有 a2-2a=4，即可得 a2-2a+9=13【详解】解：51a，（a-1）2=（5）2，a2-2a=4，a2-2a+9=13，故答案为：13【点睛】本题考查代数式求值，解题的关键是根据
17、已知变形，求出 a2-2a=4，再整体代入 1516【分析】利用 AAS 证明AMBCBN，得 BC=AM，再利用勾股定理求出 BM 的长，从而解决问题【详解】解：如图，正放的两个正方形的顶点 M，N分别是斜放正方形相邻两边的中点，BM=BN，MBN=90，MAB=NCB=90，MBA+CBN=90，MBA+AMB=90，答案第 6 页，共 19 页 AMB=CBN，AMBCBN（AAS），BC=AM，11S，33S，AM=1，3CN，由勾股定理得：BM=2，22(2)16SBM 故答案为：16【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明AMBCBN是解题的
18、关键 16【分析】连接 EC，证明AEBCEB（SAS），进而证明EFC=BCE 根据等角对等边即可判断；连接 CE，过点 E 作 EHBC于点 H，利用正方形的性质及线段的和差关系可得CF=2FH，若 CD-BF=22BE，则 BH=CF=2FH，可得 BF=FH=CH，即 F、H是 BC的三等分点，当点 E 在 BD 上运动时由此可判断；由正方形的判定与性质可得DAE=BAG，再由全等三角形的判定与性质及最值问题即可判断；连接 AF，过点 A作 ATBD 于点 T，根据正方形的性质及勾股定理可得 AT、ET的长，再利用三角形的面积公式答案【详解】如图，连接 EC，四边形 ABCD是正方形，
19、ABC=90 AEEF AEF=90 四边形 ABFE中，BAE+BFE=360ABCAEF=180 答案第 7 页，共 19 页 又EFC=180BFE，BAE=EFC 在AEB与CEB中 ABCBABECBEBEBE AEBCEB（SAS）BAE=BCE，EC=EA EFC=BCE EF=EC，EF=EA，故正确；如图，连接 CE，过点 E作 EHBC于点 H，四边形 ABCD是正方形，点 E在 BD上，AE=CE，CD=BC，CBD=45，EHBC，BH=EH=22BE，CD-BF=BC-BF=CF，AE=EF，CE=EF，EHBC，CF=2FH，若 CD-BF=22BE，则 BH=CF
20、=2FH，BF=FH=CH，即 F、H是 BC的三等分点，而当点 E 在 BD 上运动时，点 F会在线段 BC 上运动，答案第 8 页，共 19 页 不正确；由得，AE=EF，四边形 AEFG是矩形，四边形 AEFG是正方形，AG=AE，GAE=90，四边形 ABCD是正方形，AB=AD，BAD=GAE=90，BD=2AD=24=42，BAD-BAE=GAE-BAE，DAE=BAG，在DAE 和BAG中，=AD ABDAEBAGAE AG，DE=BG，m=AG+AE+BG+BE=AE+AE+DE+BE=2AE+BD=2AE+42，m随 AE的增大而增大，当 AEBD时，AE 最小，m的值最小，
21、此时 AE=22AD=22422，m的最小值为 2AE+42=222+42=82，当点 E与点 B或点 D重合时，AE最大，m的值最大，此时 AE=4，m 的最大值为 2AE+42=24+42=8+42，点 E 不与 B、D 重合，82m8+42，正确；如图，连接 AF，过点 A作 ATBD于点 T，答案第 9 页，共 19 页 BF=1，AB=4，AF=2217ABBF，由知四边形 AEFG是正方形，AE=22AF=2217342，四边形 ABCD是正方形，AT=DT=22AD=22422，ET=2222AEAT，DE=DT-ET=22-22=3 22，SADE12DEAT123 2222=
22、3，SAGB=SADE=3 故正确，综上所述，正确的有，故答案为：【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，正确的添加辅助线是解题的关键 1732 6【分析】先根据乘法分配律去括号，再合并同类二次根式即可【详解】解：原式34 62 6 32 6.【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键 18见解析【分析】先根据平行四边形的性质，得出 EDBF，再结合已知条件ABECDF 推断出答案第 10 页，共 19 页 EBDF，即可证明【详解】证明：四边形 ABCD 为平行四边形，ADBC，ABCADC，ADFDFC，EDBF，ABEC
23、DF，ABCABEADCCDF，即EBCADF，EBCDFC，EBDF，四边形 BFDE 是平行四边形【点睛】本题考查了平行四边形的性质和平行四边形的判定定理，掌握相关知识点是解题关键 19(1)2 2(2)2 2 【分析】（1）根据垂直定义可得C90，然后在 RtABC 中，利用勾股定理进行计算即可解答；（2）根据勾股定理的逆定理先证明ABD是直角三角形，从而可得ABD90，然后利用三角形的面积公式进行计算即可解答（1）解：ACBC，C90，ACBC2，AB2222222 2ACBC，AB的长为2 2；（2）解：AB2+BD2222 2212，AD222 312，AB2+BD2AD2，ABD
24、是直角三角形，ABD90，ABD的面积12ABBD12 2222 2，ABD的面积为2 2【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键 20(1)80；82.5；(2)60 【分析】（1）根据众数和中位数的定义求解即可；答案第 11 页，共 19 页（2）根据样本中锻炼时间在 100 分钟以上（不包含 100 分钟）的人数所占百分比即可估算出总人数中锻炼时间在 100 分钟以上（不包含 100 分钟）的人数(1)解：由图可得：女生锻炼时间的众数为：80；男生锻炼时间的中位数为：8283=82.52；故答案为：80；82.5(2)解：由图可知：
25、样本中女生中锻炼时间在 100 分钟以上（不包含 100 分钟）的人数所占比为：316；样本中男生中锻炼时间在 100 分钟以上（不包含 100 分钟）的人数所占比为：41=164；八年级的女生有 128 人，男生有 144 人，全校八年级锻炼时间在 100 分钟以上（不包含 100 分钟）的人数为：31128+144=2436=60164（人）【点睛】本题考查众数，中位数定义，由样本所占百分比估计总体数量，解题的关键是理解题意，掌握众数，中位数定义 21(1)证明见解析(2)24 【分析】（1）根据 AEDC，CEAB，可以得到四边形 AECD 是平行四边形，再根据 CDAB，即可得到结论成
26、立；（2）根据题意，先判断四边形 AECD是菱形，然后求出 AC 的长，再计算四边形 ADCE的面积即可（1）证明：AEDC，CEAB，四边形 AECD是平行四边形，CDAB，CDA90，答案第 12 页，共 19 页 四边形 AECD是矩形，ACED；（2）解：D是边 AB 的中点，ACB90，AB10，CDAD5，AEDC，CEAB，四边形 AECD是平行四边形，四边形 AECD是菱形，12DE4，12AC22543，AC6，四边形 ADCE的面积是12ACDE126824，即四边形 ADCE的面积是 24【点睛】本题考查勾股定理、矩形的判定与性质、菱形的判定与性质，解答本题的关键是明确题
27、意，利用数形结合的思想解答 22(1)1402882xxyxx(2)相遇前，存在甲、乙两人相距 1km 的时刻，运动时间为34小时或218小时 【分析】（1）根据函数图像待定系数法求解析式即可求解；（2）结合函数图形分情况讨论，分别列出方程即可求解（1）当 0 x2 时，设 y1=kx，把（2，8）代入得：2k=8，解得 k=4，y1=4x，当 x2 时，设 y1=kx+b，把（2，8）（3，16）代入得：答案第 13 页，共 19 页 28316kbkb 解得88kb y1=8x-8，y1关于 x 的函数解析式为1402882xxyxx（2）乙 3 小时运动 16 千米，乙的速度是163千米
28、/小时，2163yx 当16413xx时，解得34x 3，当16(88)13xx时，解得218x 3；答：相遇前，存在甲、乙两人相距 1km 的时刻，运动时间为34小时或218小时【点睛】本题考查了一次函数的应用，求得函数解析式是解题的关键 23(1)见解析；(2)20BD；121:2SS 【分析】（1）根据平行四边形的判定定理和平行线的画法作图即可；（2）根据平行四边形的性质可知=6AOCO，再根据勾股定理可求出2210OBAOAB，进一步求出220BDOB；由平行四边形的性质可得：EDOFBO ASA，AOECOF ASA，ABOCDO SSS，表示出四边形 EDCF 的面积为1=EODC
29、ODCOFSSSS，平行四边形 ABCD的面积为21=22EODCODCOFSSSSS，即可求出121:2SS(1)解：根据平行线的画法，过点 A作 BC的平行线，再过点 C 作 AB 的平行线交于点 D，则边形 ABCD为所求，如图：答案第 14 页，共 19 页 (2)解：如图：ABCD 是平行四边形，12AC，=6AOCO，90BAC，8AB，2210OBAOAB，220BDOB；如图：由平行线四边形性质可知：OBOD，EDOFBO，在EDO和FBO中，EDOFBODOBOEODFOB EDOFBO ASA，同理：AOECOF ASA，ABOCDO SSS，答案第 15 页，共 19 页
30、 四边形 EDCF 的面积为1=EODCODCOFSSSS，平行四边形 ABCD的面积为:21=22AOBCODAOECOFEODFOBEODCODCOFSSSSSSSSSSS，121:2SS【点睛】本题考查平行四边形的判定及性质，平行线的画法，三角形全等的判定及性质，勾股定理，解题关键是掌握理解平行四边形的判定及性质，三角形全等的判定及性质，勾股定理，表示出1S和2S 24(1)123yx(2)247(3)513,77或93 45,77 【分析】（1）通过待定系数法求解（2）连接 OC交 BD于点 F，由四边形 OBCD是矩形可得点 F 坐标，从而可得直线 BF 解析式，进而求解（3）由 S
31、12S2可得POB的面积，分类讨论点 P 在 y轴左右两侧两种情况，结合图像求解（1）解：设直线 AB解析式为 ykx+b，将 A（0，2），B（3，3）代入 ykx+b得233bkb，解得132kb，123yx；（2）解：连接 OC交 BD于点 F，四边形 OBCD是矩形，点 C 坐标为（7，1），点 O坐标为（0，0），点 F为 OC中点，点 F 坐标为71,22，答案第 16 页，共 19 页 设直线BD解析式为ykx+b，将（3，3），71,22代入ykx+b得337122kbkb ，解得724kb，y7x+24，将 y0 代入 y7x+24 得 07x+24，解得 x247，点 E坐
32、标为24,07，即 OE247 （3）解：OBE的面积为 S212OEyB124363277，S12S2727，作 BMy 轴于点 M，当点 P 在 y 轴左侧时，连接 OP，作 PNy 轴于点 N，SPOBSPOA+SAOB，SPOASPOBSAOBS112OAxB721512 3727，12OA|xP|122（xP）517，解得 xP517，将 x517代入 y13x+2 得 y51173+237，点 P 坐标为513,77当点 P在 y轴右侧，连接 OP，作 PNy 轴于点 N，SPOBSPOASAOB727，SPOASPOB+SAOB721932 3727，12OAxP937，解得 x
33、P937，将 x937代入 y13x+2 得 y457，点 P坐标为93 45,77综上所述，点 P 坐标为513,77或93 45,77【点睛】本题考查一次函数的综合应用，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，通过分类讨论求解 25(1)证明见解析 答案第 17 页，共 19 页(2)145(3)6 2 【分析】（1）证明四边相等，可得结论；（2）如图 2 中，连接 BD交 AC于点 O设 OCy根据 BD 的两种求法，构建方程，求出y 即可；（3）如图 3 中，设 AC交 BD 于点 O，过点 A作 AHBC 于点 H，设 BPDQx由题意AP+AQ22223 3333 3xx推出欲求 A
34、P+AQ的最小值，相当于在 x轴上找一点 M（x，0），使得点 M到 N（3，3 3），J（3 3，3）的距离和最小，如下图，作点J 关于 x轴的对称点 K，连接 KN交 x轴于点 M，此时 MN+MJ 的值最小，最小值为线段 KN的长【详解】（1）证明：如图 1 中，ACD与ACB 关于 AC对称，ABAD，CBCD，CABCAD，AEAF，CADACB，ACBCAB，BABC，ABBCCDAD，四边形 ABCD是菱形；（2）解：如图 2 中，连接 BD交 AC 于点 O设 OCy 答案第 18 页，共 19 页 ACD与ACB 关于 AC对称，AC 垂直平分线段 BD，BOOD，BCCG，
35、OCDG，DG2OC2y，DGBD，BD2221004BGDGy，又BD2OB22222 365ABAOy，2210042 365yy，y75，DG2y145；（3）解：如图 3 中，设 AC交 BD于点 O，过点 A作 AHBC于点 H，设 BPDQx 四边形 ABCD是菱形，ABC60，ABBCCDAD，ABCADC60，ACBD，ABC，ADC都是等边三角形，OAOC3，OD3 3，AHCB，BHCH3，AH3 3，AP+AQ22223 3333 3xx，欲求 AP+AQ的最小值，相当于在 x轴上找一点 M（x，0），使得点 M到 N（3，3 3），J（3 3，3）的距离和最小，如下图，答案第 19 页，共 19 页 作点 J 关于 x轴的对称点 K，连接 KN交 x轴于点 M，此时 MN+MJ 的值最小，最小值为线段 KN的长，KN 223 333 336 2，AP+AQ的最小值为6 2【点睛】本题属于四边形综合题，考查了菱形的判定和性质，解直角三角形，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题