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1、1专题专题 0202 集合间的基本关系集合间的基本关系考点 4集合的包含关系考点 5空集的定义、性质考点 4 集合的包含关系一、子集一、子集1定义：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集2记法与读法：A是B的子集，记作AB（或BA） ，读作“A含于B” （或“B包含A” ） 3性质：（1）自反性：任何一个集合是它本身的子集，记作AA（2）传递性：若AB，BC，则AC二、集合相等二、集合相等1定义：如果集合A是集合B的子集（AB） ，且集合B是集合A的子集（BA） ，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，我们就
2、说集合A与集合B相等2记法与读法：集合A与集合B相等可记作“A=B” ，读作“A等于B” 三、真子集三、真子集1定义：如果集合AB，但存在元素xB，且xA，我们称集合A是集合B的真子集2记法与读法：集合A是集合B的真子集，记作“AB” （或“BA” ） ，读作“A真包含于B” （或“B真包含A” ） 3性质：若AB，BC，则AC【例例】若21 ，5 , 4 , 3 , 2 , 1A，则满足这一关系的集合A的个数为A5B6C7D8 【答案】C典型例题要点阐述2【解题必备】（1）有限集子集的确定问题，求解关键有三点：确定所求集合；注意两个特殊的子集：和自身；依次按含有一个元素的子集，含有两个元素的
3、子集，含有三个元素的子集写出子集，避免重复和遗漏现象的发生（2）如果有限非空集合A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n；集合A的真子集个数为21n；集合A的非空子集个数为21n；集合A的非空真子集个数为22n1如果Ax|x1，那么A0AB0AC0AD0A【答案】D【解析】符号“”表示元素与集合之间的关系，符号“”表示集合与集合之间的关系故选 D2已知集合Mx|y22x，yR R和集合P（x，y）|y22x，yR R，则两个集合间的关系是AMPBPMCMPDM、P互不包含【答案】D【解析】由于两集合代表元素不同，因此M与P互不包含故选 D【易错易混】描述法要注意描述的基本元素是什么，M中元素是
4、数，P中元素是点，属性不同，所以交集为空集3满足条件aMa，b，c，d的所有不同集合M的个数为A6B7C8D9【答案】B【解析】满足条件的M有：a，b，a，c，a，d，a，b，c，a，b，d，a，c，d，a，b，c，d4下列集合中，表示同一集合的是AM=（3，2），N=（2，3）BM=3，2，N=2，3CM=（1，2），N=1，2DM=（x，y）|x+y=1，N=y|y+x=1【答案】B小试牛刀35若集合A1，3，x，Bx2，1且BA，则满足条件的实数x的个数是A1B2C3D4【答案】C【解析】BA，x2A，又x21，x23 或x2x，x3或x0故选 C【易错易混】集合中元素有字母，求出字母的
5、值还要验证一下是否满足元素的互异性6已知MyR R|y|x|，NxR R|xm2，则下列关系中正确的是AMNBMNCMNDNM【答案】B【解析】MyR R|y|x|yR R|y0，NxR R|xm2xR R|x0，MN【方法技巧】对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程（组）进行求解，要注意检验是否满足互异性7已知集合AxR R|x22x80，BxR R|x2axa2120，BA，求实数a的取值集合【解析】A2,4，因为BA，所以B，2，4，2,4若B，则a24（a212）16，解得a4 或a2；（2）1a2【解析】 （1）若AB，由图可知，a2（2）若B
6、A，由图可知，1a2【解题技巧】利用数轴分析法求解康托尔是 19 世纪末 20 世纪初德国伟大的数学家，集合论的创立者。19 世纪末他所创立的集合论被誉为 20 世纪最伟大的数学创造，集合概念大大扩充了数学的研究领域，给数学结构提供了一个基础，集合论不仅影响了现代数学，而且也深深影响了现代哲学和逻辑。集合论是现代数学中重要的基础理论，它的概念和方法已经渗透到代数、拓扑和分析等许多数学分支以及物理学和质点力学等一些自然科学部门，为这些学科提供了奠基的方法，改变了这些学科的面貌。几乎可以说，如果没有集合论的观点，很难对现代数学获得一个深刻的理解。数学文化56考点 5 空集的定义、性质空集空集1定义
7、：不含任何元素的集合叫做空集；2记法：空集用符号“”表示；3规定：空集是任何集合的子集；4由空集是任何集合的子集，可知空集也是它本身的子集，即，但空集并不是任何集合的真子集，因为它不是其本身的真子集，所以应说“空集是任何非空集合的真子集” 【例例】给出下列四个判断：0；空集没有子集；任何一个集合必有两个或两个以上的子集；空集是任何一个集合的子集其中正确的有A0 个B1 个C2 个D3 个【答案】B【解析】由空集的性质可知，只有正确，均不正确【解题必备】1空集的概念：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作，并规定：空集是任何集合的子集2空集的性质：（1）空集只有一个子集，即它本身；（2）空集是任
8、何集合的子集，即A ；（3）空集是任何非空集合的真子集，即A注意：空集不含任何元素，在解题过程中容易被忽略，特别是在隐含有空集参与的集合问题中，往往容易因忽略空集的特殊性而导致漏解3与0的区别：（1）是不含任何元素的集合；（2）0是含有一个元素的集合，01如果Ax|x2，那么A0AB0ACAD0A小试牛刀典型例题要点阐述7【答案】D【解析】注意元素与集合以及集合与集合之间的关系2已知四个命题：0；空集没有子集；任何一个集合都有两个或两个以上的子集；空集是任何集合的子集其中正确的命题个数为A0B1C2D3【答案】B【易错易混】空集是不含任何元素的集合，并且是任何集合的子集所以考虑子集首先应考虑空
9、集3下列关系正确的是A 不属于0B00C0D0 属于空集【答案】B【解析】不含任何元素的集合称为空集，故A，C，D 错；集合 0中含有元素 0，故有 00，故B正确故选 B4设集合A=x|0x0x1故选 C3下列说法正确的是A0B=0C中元素的个数为 0D没有子集【答案】C【解析】空集是不含任何元素的集合，故中元素的个数为 0考题速递94已知集合A=x|ax23x+1=0，aR R（1）若A是空集，求a的取值范围；（2）若A中至多只有一个元素，求a的取值范围【答案】 （1）9 4a ；（2）a|a=0 或9 4a 2016 年 3 月 9 日至 15 日，谷歌人工智能系统“阿尔法”迎战围棋冠军李世石，最终结果“阿尔法”以总 比分 4 比 1 战胜李世石。许多人认为这场比赛是人类的胜利，也有许多人持反对意见，有网友为此进行了 调查，在参加调查的 2548 名男性中有 1560 名持反对意见，2452 名女性中有 1200 名持反对意见。数学文化