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1、概率论与数理统计知识点及练习题最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除第一章第一章概率论的基本概念概率论的基本概念1.21.2概率的定义概率的定义一、一、概率的性质概率的性质（1）0 P(A)1.（2）P()0，P(S)1.（3）P(A B)P(A)P(B)P(AB).（4）P(A)1 P(A).（5）P(A B)P(AB)P(A)P(AB).特别地，若B A，P(A B)P(A)P(B)，P(B)P(A).例 设A,B为随机事件,P(A)0.4,P(B A)0.3，则P(AB)_.解：P(B A)P(B)P(AB)0.3,P(A B)P(A)P(B)P(AB)0.7精品好资料-如有侵权请联系网
2、站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除1.41.4条件概率条件概率一、一、条件概率条件概率定义定义设A,B是两个事件，且P(A)0，称P(B|A)=件A发生的条件下事件B发生的条件概率。条件概率。二、全概率公式二、全概率公式全概率公式全概率公式：A1,A2,An为样本空间S的一个事件组，且满足：（1）A1,A2,An互不相容，且P(Ai)0(i 1,2,n);(2)A1 A2 An S.则对S中的任意一个事件B都有P(B)P(A1)P(B A1)P(A2)P(B A2)P(An)P(B An)P(AB)为在事P(A)A2BA1An精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权
3、请联系网站删除例例 设有一仓库有一批产品，已知其中 50%、30%、20%依次是甲、乙、丙厂生产的，且甲、乙、丙厂生产的次品率分别为111,，现从这批产品中任取一件，求取得正品的概率？10 15 20解解 以A1、A2、A3表示诸事件“取得的这箱产品分别是甲、乙、丙厂生产”；以B表示事件“取得的产品为正品”，于是：P(A1)53291419,P(A2),P(A3)0,P(B|A1),P(B|A2),P(B|A3);101010101520按全概率公式，有：P(B)P(B|A1)P(A1)P(B|A2)P(A2)P(B|A3)P(A3)95143192 0.9210 1015 1020 10三、
4、三、贝叶斯公式贝叶斯公式设B是样本空间S的一个事件，A1,A2,An为S的一个事件组，且满足：（1）A1,A2,An互不相容，且P(Ai)0(i 1,2,n);(2)A1 A2 An S.则P(Ak|B)P(Ak)P(B Ak)P(AkB)P(B)P(A1)P(B A1)P(An)P(B An)这个公式称为贝叶斯公式。贝叶斯公式。精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除例：有甲乙两个袋子，甲袋中有 4 个白球，5 个红球，乙袋中有 4 个白球，4 个红球今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，(1)问此球是红球的概率？(2)若已知取得的是红球，则从
5、甲袋放入乙袋的是红球的概率是多少？解：设 A1表示从甲袋放入乙袋的一球是红球，则A1表示从甲袋放入乙袋的一球是白球，设 A2：表示从乙袋取的一球是红球，则（1）P(A)P(A2554441|A)P(A)P(A|A)P(A)21121199998155P(A1)P(A2|A1)99.(2)P(A1|A2)41P(A2)811.51.5事件的独立性事件的独立性一、一、事件的独立性事件的独立性定义定义.若两事件A，B满足P(AB)P(A)P(B),则称A，B相互独相互独立。立。精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除第二章第二章随机变量及其分布随机变量及其分布2.12
6、.1一维随机变量一维随机变量一、一、随机变量与分布函数随机变量与分布函数定义定义设E为一随机试验,S为E的样本空间,若X单值实函数，则称X为随机变量。随机变量。X(),S为e eX XS SX XX XR R定义定义 设X为一个随机变量，x为任意实数，称函数F(x)P(X x)为X的分布函数。分布函数。分布函数的性质分布函数的性质（1）F()0,F()1.o ox xx x精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除（2）F(x)是自变量x的非降函数，即当x1 x2时，必有F(x1)F(x2).因为当x1 x2时有F(x2)F(x1)P(x1 X x2)0，从而F(
7、x1)F(x2).（3）F(x)对自变量x右连续，即对任意实数x，F(x 0)F(x)2.22.2一维离散型随机变量一维离散型随机变量一、离散型随机变量一、离散型随机变量定义定义离散型随机变量X只可能取有限个或可列个值，设X可能取的值为x1,x2,.,xn,.定义定义设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.,xn,.，且X取这些值的概率为：P(X xk)pk (k 1,2,.,n,.)则称上述一系列等式为随机变量X的分布律分布律。由概率的定义知，离散型随机变量X的概率分布具有以下两个性质性质：（1）pk 0,(k 1,2,.)（非负性）（2）pk1（归一性）k二、二、几种常用的离散型分布几
8、种常用的离散型分布1.0 01 1 分布分布精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除如果随机变量X只可能取 0 和 1 两个值，且它的分布列为P(X 1)p,P(X 0)1 p,(0 p 1)，则称X服从 0 01 1 分布分布。其分布律为：X1 0p 1-pP2.2.二项分布二项分布如果随机变量X只可能取的值为 0,1,2,n，它的分布律为P(X k)Cnkpkqnk,(k 0,1,2,.n)其中0 p 1,q 1 p，则称X服从参数为n,p的二项分布二项分布，记为X b(n,p)3.3.泊松分布泊松分布如果随机变量X所有可能取的值为 0,1,2,它取各个值的
9、概率为P(X k)kk!e,(k 0,1,2,.)，其中 0是常数，则称X服从参数为的泊松分布泊松分布，记为X().例例：设X()，PX 1 PX 2,则P(X 1)_.例例：设随机变量X1 b(2,)，则PX 1 .2精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除2.3 连续型随机变量的概率密度2.3 连续型随机变量的概率密度一、一、概率密度的概念概率密度的概念定义定义设随机变量X的的分布函数为F(x)，如果存在一个非负可积函数f(x)，使得对于任意实数x，有：F(x)f(t)dtx则称X为连续型随机变量，而f(x)称为X的概率密度概率密度。由概率密度的定义及概率的
10、性质可知概率密度概率密度f(x)必须满足必须满足：（1）f(x)0；（2）f(x)dx 1；（3）对于任意实数a,b，且a b有Pa X b F(b)F(a)f(x)dx；ab（4）若f(x)在点x处连续，则有F(x)f(x).例例 设随机变量 X 具有概率密度精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除Ke3x,x 0f(x)x 00,（1）试确定常数K；（2）求P(X 0.1)；（3）求F(x).解解（1）由f(x)dx 1，即f(x)dx=0Ke3x1K3x3xdx Ked(3x)e3030K13得K 3.于是X的概率密度3e3x,x 0；f(x)x 00,（
11、2）P(X 0.1)0.1f(x)dx=0.13e3xdx 0.7408;（3）由定义F(x)=f(t)dt。当x 0时，F(x)=0；当x 0时，F(x)=xxf(t)dt=3e3xdx 1e3x0 x所以1e3x,x 0.F(x)x 00,二、几个常用的连续型随机变量的分布二、几个常用的连续型随机变量的分布1.均匀分布如果随机变量X的概率密度为 1,f(x)ba0,a x b其他则称X服从a,b上的均匀分布，记为均匀分布，记为X U(a,b)。2.指数分布精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除如果随机变量X的概率密度为x1ef(x;)0 x0其他则称X服从
12、参数为的指数分布指数分布。3.正态分布如果随机变量X的概率密度为f(x)12e122(x)2,(x )；其中 0,为常数，则称X服从参数为,的正态分布正态分布，记为X N(,2).特别的，当 0,21时，称X服从标准正态分标准正态分,(x )xt22布布，即X N(0,1)，概率密度为(x)x12ex22标准正态分布的分布函数为(x)(x)dx 1edt2对于标准正态分布的分布函数，有下列等式(x)1(x)(0)定理定理 如果如果X N(,2)则则X N(0,1)12推论推论如X N(,2)，则Pa X b F(b)F(a)(b)(a)例例设X解P(X N(1.5,4)，求P(X 3.5)；3
13、.5)=F(3.5)(3.51.5)(1)0.8413.2例例 设随机变量X N(1,4)，则PX 1 .精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除2.2.4 4随机变量函数的分布随机变量函数的分布一、一、离散型随机变量的函数的分布离散型随机变量的函数的分布例例设X的分布律为X1012pk0.10.2 0.3 0.4求Y 2X 1的分布律。解解因为Y的可能取值为3,1,1,3，而且PY 3 PX 1 0.1，PY 1 PX 0 0.2，PY 1 PX 1 0.3，PY 3 PX 2 0.4因而,Y的分布律为Ypk二、二、连续型随机变量的函数的分布连续型随机变量的函
14、数的分布设X是连续型随机变量，已知fX(x)为其概率密度，那么应当如何确定随机变量Y g(X)的概率密度fY(x)呢？31130.10.20.30.4精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除例例设连续型随机变量X具有概率密度fX(x)，求随机变量Y kX b（其中k,b为常数且k 0）的概率密度fY(x).解解设Y的分布函数为FY(y)，当k 0，则FY(y)FY(y)PY y PkX b y PX y by b FX()kk上式两边对y求导数得fY(y)1y bfX()kk当k 0，则FY(y)PY y PkX b y PX y by b1 FY()kk上式两
15、边对求导数得fY(y)1y bfX()kk于是fY(y)1y bfX()|k|k精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除第三章第三章二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布3.13.1 二维随机变量及分布函数二维随机变量及分布函数定义定义设S为随机试验E的样本空间，X,Y是定义在S上的随机变量，则称有序数组(X,Y)为二维随机变量二维随机变量或称为二维随机向二维随机向量量。定义定义 设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数x,y，称二元函数F(x,y)P(X x,Y y)为二维随机变量(X,Y)的分布函数分布函数，或称为(X,Y)的联合分布函数。联合分布函数。二
16、维随机变量的分布函数的性质二维随机变量的分布函数的性质（1）0 F(x,y)1；（2）F(x,y)是变量x,y的不减函数，即：对于任意固定的y，当x1 x2时有F(x1,y)F(x2,y)；对于任意固定的x，当y1 y2时有F(x,y1)F(x,y2).精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除F(x,y)0；对于任意固（3）对于任意固定的y，F(,y)xlimF(x,y)0,并且F(,)lim F(x,y)0，定的x，F(x,)ylimxyF(,)lim F(x,y)1.xy二维离散型随机变量二维离散型随机变量定义定义如果二维随机变量(X,Y)可能取的值只有有限
17、个或可列个，则称(X,Y)为二维离散型随机变量二维离散型随机变量。定义定义设二维随机变量(X,Y)所有可能取的值为(xi,yj),(i 1,2,.;j 1,2,.)，则称P(X xi,Y yj)pij,(i,j 1,2,.)为(X,Y)的联合分布律联合分布律。二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布有时也用如下的概率分布表来表示：Yy1y2yj .Xx1p11p12 .p1j .x2p21p22 .p2 j.xipi1pi2 .pij .精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除显然，pij具有以下性质性质：（1）pij0,(i,j 1,2,）;（2）pij1;ij
18、二维连续型随机变量二维连续型随机变量定义定义设(X,Y)是二维随机变量，如果存在一个非负函数f(x,y)，使得对于任意实数x,y，都有xyF(x,y)P(X x,Y y)f(u,v)dudv则称(X,Y)是二维连续型随机变量二维连续型随机变量，函数f(x,y)称为二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度概率密度。二维分布密度具有以下性二维分布密度具有以下性质质：（1）f(x,y)0；（2）f(x,y)dxdy 1；（3）P(X,Y)Df(x,y)dxdy，其中 D 为 XOY 平面上的任意D一个区域；（4）如果二维连续型随机变量(X,Y)的密度f(x,y)连续，(X,Y)的分布函数为F(x,y)
19、，则2F(x,y)f(x,y)xy用性质的题在后面精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除3.23.2边缘分布与随机变量的独立性边缘分布与随机变量的独立性一、一、边缘分布边缘分布称分量X的概率分布为(X,Y)关于关于X的边缘分布的边缘分布；分量Y的概率分布为(X,Y)关于关于Y的边缘分布的边缘分布。它们的分布函数与密度函数分别记作Fx(x),Fy(y)与fx(x),fy(y)。先看离散情况：若已知P(X xi,Y yj)pij,(i,j 1,2,.)，则随机变量X的分布律为：PX xi PX xi,Y PX xi,Y yjpij(i,j 1,2,.)j1j1同样
20、得到(X,Y)关于Y的分布律：PY yjpij，(i,j 1,2,.).i1记pi。pij,p。jpij,所以关于X的边缘分布律为：j1i1Xx1x2.xi.精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除pi。p。p。.pi。.关于Y的边缘分布列为：p。jYy1y2.yj.p。2.p。j.1p。下面看连续型的情形：定理定理 设f(x,y)是(X,Y)的联合概率密度，则fX(x)f(x,y)dy,fY(y)f(x,y)dx分别是(X,Y)关于X,Y的边缘概率密度函数。离散型随机变量的边缘分布律列表XYy y1 1y y2 2y yj jpip p1 1 p p2 2 p
21、 pi i x x1 1p11p12 p1jx x2 2p21p22 p2jx xi ip jpi1pi2 pijp p 1 1p p 2 2 p p j j1精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除3.43.4 随机变量的独立性随机变量的独立性定义定义 设(X,Y)是二维随机变量，如果对于任意x,y有PX x,Y y PX xP(Y y，则称随机变量X与Y是相互独立相互独立的。即用F(x,y)FX(x)FY(y)该式可用来判断X,Y的相互独立性。定理定理设(X,Y)是二维离散型随机变量，pij,pi。，p。j依次是(X,Y)，X,Y的概率分布，则X,Y相互独立
22、的充要条件是：对所有的i,j，都有pijpi。p。j.定理定理设(X,Y)是二维连续型随机变量，f(x,y),fX(x),fY(y)分别是联合密度函数与边缘密度函数，则X,Y相互独立的充要条件是：对任意的实数x,y，都有f(x,y)fX(x)fY(y)。Y 0 1 2 3X精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除例例设(X,Y)的联合分布律为012311127991219991199127 0 0 0127 0 0 0试求(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布，并判断X,Y是否相互独立？解解由表中可按行加得pi。，按列加得p。j得关于 X 的边缘分布X8027pi。
23、1492293127及关于 Y 的边缘分布38421p。j992727188641由于p11 PX 0,Y 0，而p。p。，所以X,Y127272772927Y012互不独立。例例设二维随机变量具有密度函数Ce2(xy),0 x ,0 y f(x,y)其他0,试求:精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除（1）常数C；（2）(X,Y)落在如图 24 所示的三角区域D内的概率；（3）关于X和关于Y的边缘分布,并判断X,Y是否相互独立。图 2-4解（1）1f(x,y)dxdy 00Ce2(xy)dxdy=C0e2xdxe2ydy 0C4所以C 4;（2）P(X,Y)
24、Df(x,y)dxdy 0dx04e2(xy)dy 13e2;D11x（3）关于X的边缘概率密度函数为fX(x)f(x,y)dy当x 0时，fX(x)=0.当x 0时，fX(x)故有f(x,y)dy 04e2(xy)dy 2e2x2e2x,x 0fX(x)=；0,x 0同理可求得关于Y的边缘概率密度函数为2e2y,fY(x)=0,y 0.y 0因为对任意的实数x,y，都有f(x,y)fX(x)fY(y)，所以X,Y相互独立。精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征4.14.1数学期望数学期望一、一、离散型随机变量
25、的数学期望离散型随机变量的数学期望定义定义设离散型随机变量X的分布律为Xx1x2xn精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除Pp1p2pn则称xkpk其为随机变量X的数学期望，数学期望，记为E(X)xkpkk1k1二、二、连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望定义定义设连续型随机变量X的分布密度函数为f(x)，若积分xf(x)dx绝对收敛，则称其为X的数学期望数学期望或均值均值记为E(X)，E(X)xf(x)dx例例设随机变量X服从a,b上的均匀分布，求E(X)解解 由于均匀分布的密度函数为 1,f(x)ba0,a x b其他因而E(X)axf(x)d
26、x abbxb2a2a bdx ba2(ba)2记住：记住：0-10-1 分布，二项分布，泊松分布的数学期望分布，二项分布，泊松分布的数学期望均匀分布，指数分布，正态分布的数学期望。均匀分布，指数分布，正态分布的数学期望。三、三、随机变量的函数的数学期望随机变量的函数的数学期望定理定理设Y为随机变量X的函数：Y g(X)(g 是连续函数)，（1）X是离散型随机变量，分布律为pk P(X xk),k 1,2,；若级数g(xk)pk绝对收敛，则有E(Y)Eg(X)g(xk)pk（2）k1k1X是连续型随机变量，它的分布密度为f(x)，若积分g(x)f(x)dx绝对收敛，则有E(Y)Eg(X)g(x
27、)f(x)dx精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除定理定理设Z是随机变量(X,Y)的连续函数Z g(X,Y)，（1）(X,Y)是二维离散型随机变量，联合分布律为pij P(X xi,Y yj),i,j 1,2,；则有E(Z)Eg(X,Y)g(xi,yj)piji1 j1（2）(X,Y)是二维连续型随机变量，联合分布密度为f(x,y)，则有E(Z)Eg(X,Y)g(x,y)f(x,y)dxdy例例设(X,Y)的概率密度函数为(x y)3，0 x 2，0 y 1f(x,y)其他0，求E(X),E(Y),E(X Y),E(X2Y2)解解D:0 x 20 y 1，E
28、(X)xf(x,y)dxdy D20 x y1211xdxdy x(2x 1)dx 036091xy y2125E(Y)yf(x,y)dxdy dxdy(3x 2)dx 0031809D21E(X Y)(x y)f(x,y)dxdy xdx D0211516999E(XY)22202321xy yx y13x dxdy dxdy 00033621四、四、数学期望的性质数学期望的性质1 设c是常数，则有E(c)c2 设X是随机变量，设c是常数，则有E(cX)cE(X)3 设X，Y是随机变量，则有E(X Y)E(X)E(Y)精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除
29、4 设X，Y是相互独立的随机变量，则有E(XY)E(X)E(Y)4.24.2方方差差一、一、方差的概念方差的概念定义定义设X是随机变量，EX E(X)2存在，就称其为X的方方差差，记为D(X)即D(X)=EX E(X)2，称D(X)为标准差标准差二、二、方差的计算方差的计算精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除1D(X)=E(X2)E(X)2例例设随机变量X服从a,b上的均匀分布，求D(X)解解由于均匀分布的密度函数为E(X)2 1，a x bf(x)ba其他0，a b，22bx2b3a3b2aba2E(X)x f(x)dx dx aba3(ba)3b2 ab
30、 a2a b2(b a)2()故D(X)3212三、三、方差的性质方差的性质1、设c是常数，则有D(cX)c2D(X)；2、设X，Y是相互独立的随机变量，则有D(X Y)D(X)D(Y)；3、设X1,X2,Xn是相互独立的随机变量，则D(CiXi)Ci2D(Xi)i1i1nn4.34.3协方差及相关系数、矩协方差及相关系数、矩一、一、协方差及相关系数的定义协方差及相关系数的定义精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除定义定义设有二维随机变量(X,Y)，如果EX E(X)Y E(Y)存在，则称EX E(X)Y E(Y)为随机变量X与Y的协方差协方差记为Cov(X,
31、Y)，即Cov(X,Y)EX E(X)Y E(Y)称Cov(X,Y)XYD(X)D(Y)为随机变量X与Y的相关系数相关系数若Cov(X,Y)0，称X与Y不相关不相关二、二、协方差与相关系数的性质协方差与相关系数的性质 1 协方差的性质性质(1)Cov(X,Y)Cov(Y,X)；(2)Cov(X,Y)E(XY)E(X)E(Y)-计算公式(3)D(X Y)D(X)D(Y)2Cov(X,Y)；(4)Cov(aX,bY)abCov(X,Y)；(5)Cov(X1 X2,Y)Cov(X1,Y)Cov(X2,Y)；(6)若X与Y相互独立，则Cov(X,Y)0，即X与Y不相关反之，若X与Y不相关，X与Y不一定
32、相互独立2 相关系数的性质性质(1)XY1；(2)若X与Y相互独立，则XY 0；(3)当X与Y有线性关系时，即当Y aX b（a,b为常数，a 0）时，XY1，且 1，a 0XY1，a 0；精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除(4)XY1的充要条件是，存在常数a,b使PY aX b 1数理统计的基本概念数理统计的基本概念精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除66.1.1 样本和总体样本和总体一、一、样本样本X1,X2,Xn设X1,X2,Xn为总体X的样本，则下列各量均是统计量，它们今后要经常被用到。1n（）X Xini12,
33、X称为样本均值样本均值。,S2称为样本方差样本方差。1n（ii）S(Xi X)2ni1（iii）S S2,S称为样本标准差样本标准差。1nk（iv）AkXi,Ak称为样本样本k阶原点矩阶原点矩。ni1为了研究统计量的分布，我们先研究三种重要概率分布。二、二、2分布分布定义定义设X1,X2,Xn为相互独立的随机变量，它们都服从标准正态N(0,1)分布，则称随机变量Y Xi2i1n服从自由度为n的2分布分布，记作Y2(n)2分布有下列基本性质。定理定理设X 2(n),则E(X)n，D(X)2n。三、三、t分布和分布和F分布分布定义定义设X N(0,1)，Y 2(n)，X与Y独立，则称随机变量精品好
34、资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除T XY n服从自由度为n的t分布分布,记成T t(n)定义定义设X 2(n1)，Y 2(n2)，X与Y独立，则称随机变量F X n1Y n2服从自由度为（n1,n2）的F分布分布，记成F F(n1,n2)五、五、正态总体的抽样分布正态总体的抽样分布TheoremTheorem设总体X N(,2)，X1,X2,Xn为总体的样本，则(i)样本均值X N(,2n)，(ii)nS222(n 1),其中S2为样本方差(iii)X与S2相互独立。第七章第七章参数估计参数估计精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网
35、站删除7.17.1点估计点估计二、二、极大似然估计极大似然估计第一步，写出似然函数a）对于离散型总体X，设它的分布律为p(x;),未知，其中X1 x1,X2 x2,Xn xn为样本值，称L()PX1 x1,X2 x2,Xn xnp(xi;)i1n为似然函数似然函数。b）当总体X是连续型随机变量时，若X的概率密度为f(x,)，未知，则似然函数为L()f(xi;)i1n第二步 求(是参空间）,使得L()达到最大，此即为所求的参数的极大似然估计。为了计算方便，我们常对似然函数L()取对数，并称ln L()为对数似然函数对数似然函数。易知，L()与ln L()在同一处达到极大，因此，这样做不会改变极大
36、点。c）对对数似然函数ln L()关于求导，再令之为 0，即得的最大似然估计值。例：例：已知总体X服从指数分布，概率密度为x1ef(x;)0 x0其他 (0)精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除X1,X2,Xn是来自总体X的一个样本，x1,x2,xn为相应的样本观察值，求参数的极大似然估量.解 似然函数为：L()i1n1f(xi;)ei1nxi1i1ne,(xi 0)xinxlnL()nlni1nid1n令ln L()0，得的极大似然估计值为 xi x,dni11X X极大似然估计量为ini1n7.37.3区间估计区间估计精品好资料-如有侵权请联系网站删除最
37、新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除区间估计粗略地说是用两个统计量1，2（12）所决定的区间1，2作为参数取值范围的估计。定义定义对于参数，如果有两个统计量(X,X,X),(X,X,X)，满足对给定的(0,1)，1112n2212n有1P12则称区间1，2是的一个区间估计区间估计或置信区间置信区间，1，2分别称作置信下限置信下限,置信上限置信上限，1称为置信水平置信水平。二、二、单个正态总体参数的区间估计单个正态总体参数的区间估计设X1,X2,Xn为N(,2)的样本，对给定的置信水平1，0 1，我们来分别研究参数与 2的区间估计。例例在上述前提下，求的置信水平为1的区间估计。解解 下面分两种情
38、况）2已知，选取的统计量为X N(0,1)，由/nX P z/2 z/21有PX z/2 X z/21/nnn所求的区间是X u12n,X u12n）2未知，选取的统计量为X t(n1)，由S/nX Pt/2(n1)t/2(n1)1有S/nSSPX t(n1)X t(n1)1/2/2nn精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除所求区间为X t2(n1)Sn,X t(n1)S2n例例在上述前提下求2的置信水平为 1-的区间估计。(n1)S22 (n1)，由选用统计量22(n1)S22P1 2(n1)(n1)1有 222(n1)S2(n1)S2P2 21(n1)(n
39、1)1 2 2得到方差2的一个置信度为1的置信区2(n1)S2(n1)S,2间:22(n1)1 2(n1)精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除第八章第八章假设检验假设检验7.17.1假设检验思想概述假设检验思想概述例例一台包装机装洗衣粉，额定标准重量为 500，根据以往经验，包装机的实际装袋重量服从正态N(,02)，其中0=15，为检验包装机工作是否正常，随机抽取 9 袋，称得洗衣粉净重数据如下（单位：）497 506 518 524 488 517 510 515 516若取显著性水平=0.05，问这包装机工作是否正常？首先，我们根据以往的经验认为，在没有
40、特殊情况下，包装机工作应该是正常的，由此提出原假设和备选假设：H0：=500；H1：500然后对给定的显著性水平=0.05，构造统计量，来进行检验。一般地，可表述如下：设X的一子样，求对问题H0：22已知，X1,X2,N(,0)，0,Xn为X=0；H1：0的显著水平为(0 1)的检验。这个问题就归结为，总体服从N(,02)，02已知，需检验，由前所述，用 z 检验法。用如下步骤来解这个问题。解解 1提出假设H0：=0，H1：02构造统计量。用统计量z 00X 00/n N(0,1)精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除3 拒绝域(,z 2z 2,)称具有这种形
41、式的否定域的检验为双边假设检验双边假设检验。4 给定显著性水平，在例中 0,05，z/2 z0.0251.96，5 从 z 的值判断小概率事件是否发生，并由此得出接受或拒绝H0的结论。因为在0002 中算出的 z 值，其绝对值小于 1.96，样本0点在否定域之外，即小概率事件未发生，故接受H0，亦即认为包装机工作正常。二、二、t检验检验t检验用于当方差未知时对期望的检验例例某部门对当前市场的价格情况进行调查。以鸡蛋为例，所抽查的全省 20 个集市上，售价分别为（单位：元/500 克）3.05 3.31 3.34 3.82 3.30 3.16 3.84 3.10 3.903.18 3.88 3.
42、22 3.28 3.34 3.62 3.28 3.30 3.223.54 3.30已知往年的平均售价一直稳定在 3.25 元/500 克左右，能否认为全省当前的鸡蛋售价明显高于往年？对于这样的实际问题，通常可以补充下列条件，首先，一般可认为全省鸡蛋价格服从正态分布N(,2)，其次,我们定出一个显著水平如=0.05.针对这一问题,提出一个合理的假设是H0：3.25；H1：3.25将这一问题一般化就是：设X1,X2,Xn为出自N(,2)的样本，2未知，求对问题精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除H0：3.25；H1：0的显著水平为的检验。这属于情形 C1 2未知的情况,可用t检验。即取检验统计量为t X 0S/n拒绝域为V t t(n1)最后根据计算出来的t值，看样本是否落在V内，若落在V内，则拒绝H0，否则,接受H0.具体到例 7.5,可算出n=20,X=3.399,S=0.2622，由此计算出t=2.477.另外查表可得t1(n1)t0.975(19)=2.0932.477,故拒绝H0，即鸡蛋的价格较往年明显上涨。精品好资料-如有侵权请联系网站删除