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1、概率论与数理统计练习题及解答第一章思 考 题1 .事件的和或者差的运算的等式两端能“移项”吗？为什么？2 .医生在检查完病人的时候摇摇头“你的病很重，在十个得这种病的人中只有一个能救活.”当病人被这个消息吓得够呛时，医生继续说“但你是幸运的.因为你找到了我，我已经看过九个病人了，他们都死于此病，所以你不会死”，医生的说法对吗？为什么？3.圆周率%=3.1 4 1 5 9 2 6 是一个无限不循环小数，我国数学家祖冲之第一次把它计算到小数点后七位，这个记录保持了 1 0 0 0 多年！以后有人不断把它算得更精确.1 8 7 3 年，英国学者沈克士公布了一个万的数值，它的数目在小数点后一共有7 0
2、 7 位之多！但儿十年后，曼彻斯特的费林生对它产生了怀疑.他统计了万的6 0 8 位小数，得到了下表：数字0123456789出现次数6 0 6 2 6 7 6 8 6 4 5 6 6 2 4 4 5 8 6 7你能说出他产生怀疑的理由吗？答：因为乃是一个无限不循环小数，所以，理论上每个数字出现的次数应近似相等，或它们出现的频率应都接近于0，但 7出现的频率过小.这就是费林产生怀疑的理由.4 .你能用概率证明“三个臭皮匠胜过一个诸葛亮”吗？5 .两事件A、B相互独立与A、B互不相容这两个概念有何关系？对立事件与互不相容事件又有何区别和联系？6 .条件概率是否是概率？为什么？习 题一1.写 出
3、下 列 试 验 下 的 样 本 空 间：（1）将一枚硬币抛掷两次答：样 本 空 间 由 如 下 4个 样 本 点 组 成。=（正,正）,（正，反）,（反,正）,（反反）（2）将 两 枚 骰 子 抛 掷 次答：样 本 空 间 由 如 下 3 6 个 样 本 点 组 成 C=1,2,3,4,5,6（3）调 查 城 市 居 民（以 户 为 单 位）烟、酒的年支出答：结 果 可 以 用（x,y）表 示，x,y分 别 是 烟、酒年支出的元数.这时，样 本 空 间 由 坐 标 平 面 第 一 象 限 内 一 切 点 构 成,C=(x,y)|x Q,y 02.甲，乙，丙三人各射一次靶，记 A-“甲中靶”“乙
4、中靶”C-“丙中靶”则可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件：(1)“甲未中靶”：(2)“甲中靶而乙未中靶”：(3)“三人中只有丙未中靶”：(4)“三人中恰好有一人中靶”：(5)“三人中至少有一人中靶”：(6)“三人中至少有一人未中靶”:(7)“三人中恰有两人中靶”：(8)“三人中至少两人中靶”：(9)“三人均未中靶”：(10)“三人中至多一人中靶”：(11)”三人中至多两人中靶”：A;AB;ABC-,ABC U ABC U ABC;AU8UC;AUBUCJBKABC;ABC U/IBC U ABC;A W U 8 C;ABC;ABC U ABC UBCUBC;而 1；或彳U后U i；3.
5、设A,B是 两 随 机 事 件，化简事件（4 U 8）（A U B）（2）（彳U万）（AU万）解：(1)(彳U8)(AUB)=l8 U A 8 U 8 =B,(2)(彳U万)(AU万)=ABUAB UB=(AUAUQ)B=B.4.某城市的电话号码由5 个数字组成，每个数字可能是从0-9这十个数字中的任一个，求电话号码由五个不同数字组成的概率.5解：P=-=0.3024.1055.张奖券中含有,张有奖的，k 个 人 购 买，每 人 一 张，求其中至少 有 一 人 中 奖 的 概 率。解法一：试验可模拟为机个红球，”-加个白球，编上号，从中任取个构成一组，则总数为c,3 而全为白球的取法有C3,种
6、，故 所 求 概 率 为 鼻。解法二：令 4 第 2 人中奖，i =1,2,B无一人中奖，则 8=4 4 A*,注意到耳,醺，4 不独立也不互斥：由乘法公式P(3)=P(A )尸(%)P(/彳)-T)二子安.胃喑*2 a L号，故 所 求 概 率 却 令6 .从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双(事件A)的概率是多少？解：P(A)=C；C；J107 .在上任取 一 点X ,求 该 点 到 原 点 的 距 离 不 超 过1的概率.解：此为几何概率问题：C =所求，_ I ,1,1 I事 件 占 有 区 间 为，从而所求概率为-1 4 0 7 15 55 5P=2 58 .
7、在 长 度 为。的 线 段 内 任 取 两 点，将 其 分 成 三 段，求它们可以构成一 个 三 角 形 的 概 率。解：设一段长为xQ.0 x a,O y a,0 x+y a f0 x -2所求事件满足：0y(a-x-y)q i从而所求概率=2=.S O A B 4另 一 段长为y样 本 空 间9.从 区 间(0,1)内 任 取 两 个 数，求这两个数的 乘 积 小 于1的概 率。4解：设 所 取 两 数 为x,y,样 本 空 间 占 有 区 域 c,两 数 之 积 小 于 故 所 求 概 率4 4 S(Q)-S(O)1-5(D)P=s g)=1 而 5(D)=(1)d x =l-(l +l
8、 n 4),故 所 求 概 率 为-(l+1 n 4)。力 4 x 4 41 0.设 4、8为 两 个 事 件，P(A)=0.9,P(AB)=0.36,求 P(A 万)。解：P(A 万)=P(A)-P(A 8)=0.9 0.3 6 =0.5 4;1 1 .设 A、8 为两个事 件，P(B)=0.7,P(AB)=0.3,求尸(T U 万).解：P(AL)B)=P(AB)=l-P(AB)=l-P(B)-P(AB)=l-0.7-0.3 =0.6.12.假设 P(A)=0.4,P(A U 8)=0.7,若 A、B 互 不 相 容，求 P(B)；若 A、8相 互 独 立，求 P(B)。解：若 4、2 互
9、 不 相 容，P(B)=P(A U B)-P(A )=0.7-0.4 =0.3；若 A、3 相 互 独 立，则由尸(A +8)=P(A)+P(B)P(A)P(8)可得 P(B)=0.5.13.飞机投弹炸敌方三个弹药仓库，已知投弹命中1,2,3 号仓库的概率分别为0.01,0.0 2,0.03,求飞机投一弹没有命中仓库的概率.解：设 4=命中仓库,则 不=没有命中仓库,又 设 A,=命 中 第 i仓库 (i =1,2,3)则 P(A)=0.01,P(A2)=0.02,P(A3)=0.0 3,根据题意4 =4 1114 2 114 3(其中442 4 3两两互不相容)P(A)=P(Al)+P(A2
10、)+f(A3)=0.01+0.02+0.03=0.06所以P(才)=1 一 P(A)=1 0.06 =0.9 4即飞机投一弹没有命中仓库的概率为0.9 414 .某 市 有 5 0%住 户 订 日 报，有 6 5%的 住 户 订 晚 报，有 8 5%的住户至少订 这 两 种 报 纸 中 的 一 种，求 同 时 订 这 两 种 报 纸 的 住 户 的 百分比解：设4=用户订有日报,B=用户订有晚报,则AU8=用户至少订有 日 报 和 晚 报 一 种,A6=用 户 既 订 日 报 又 订 晚 报,已 知P(A)=0.5,P(B)=0.65,P(A U 6)=0.85,所以P(AB)=P(A)+P(
11、B)-P(A U 8)=0.5+0.65-0.85=0.3即同时订这两种报纸的住户的百分比为30%15.一批零件共100个，次品率为10%,接连两次从这批零件中任取一个零件,第一次取出的零件不再放回，求第二次才取得正品的概率。解：设 4=第一次取得次品,8=第二次取得正品,则A8=第二次才取得正品,又 因 为P(A)=3,P(6|A)=%,则100 1 99尸(AB)=P(A)P(%)=益器=0.090916.设 随 机 变 量 A、B、C 两 两 独 立，A 与 8 互 不 相 容.已 知P(8)=2P(C)0且尸(BUC)=*,求尸(AU8).8解：依 题 意 P(4B)=0且尸(AB)=
12、P(4)P(8),因 此 有 P(4)=0.又因P(B+C)=P(B)+P(C)-P(B)P(C)=3P(C)-2P(C)2=-,解方程852P(C)2-3P(C)+-=08P(C)=L，P(C)=舍 去 =P(B)=(4 4 2P(A UB)=P(A)+P(B)-P(4B)=P(8)=0 517.设 A 是 小 概 率 事 件，即 P(4)=是给定的无论怎么小的正数.试证 明：当 试 验 不 断 地 独 立 重 复 进 行 下 去，事 件 A 迟 早 总 会 发 生(以 概 率 1发 生).解：设 事 件 A,.一 第，次 试 验 中 4出 现(i=1,2,，)，P(A,)=,P(A,)=l
13、-,(i=1,2,，枕)，二”次 试 验 中，至 少 出 现 A一次的概率为P U/h U UA“)=I-尸(A|U A?U U4“)=1-P(A 1A 2 A”)=1-P().P(A)P(4)(独立性)=1-(!-)A l i m P(A,U A2U-UAn)=l,证毕.n oo18.三 个 人 独 立 地 破 译 一 密 码，他 们 能 单 独 译 出 的 概 率 分 别 是 2，5 3求 此 密 码 被 译 出 的 概 率。4解:设A,B,C 分别表示 第一、二、三人译出密码,D 表示 密码被译出,则P(。)=P(A U 8 U C)=1 -P(A U B U C)-4 2 3 3=1-
14、P(A BC)=1-P(A)P(B)P(C)=1-.5 3 4 519.求 下 列 系 统(如 图 所 示)的 可 靠 度，假 设 元 件 i 的 可 靠 度 为 化，各元件正常工 作 或 失 效 相 互 独 立解：(1)系 统 由 三 个 子 系 统 并 联 而 成，每 个 子 系 统 可 靠 度 为 B P 2P 3,从 而 所 求 概 率 为l-(l-P lP2P3)3；(2)同理得 p f l-(l-p2)3.20.三 台 机 器 相 互 独 立 运 转，设 第 一，第 二，第 三 台 机 器不发生故障的概率 依 次 为 0.9,0,8,0.7,则 这 三 台 机 器 中 至 少 有
15、一 台发生故障的概率.解：设4 一第 一 第 三 台 机 器 发 生 故 障，A 2 一第 一 第 三 台 机 器 发 生 故 障，心 一第一第三台机器 发 生 故 障，。一 三 台 机 器 中 至 少 有 一 台 发 生 故 障，则P(AI)=0.1,P(/12)=0.2,P(A3)=0.3,故P(O)=尸(A U B U C)=1 -P(A U B U C)=1-P(JBC)=1-P(T)P(B)P(C)=1-0.9X0,8X0.7=0.49621.设 A、8为 两 事 件，P(A)=0.7,P(B)=0.6,P(%)=0.4 ,求 P(A L)B).解：由尸(%)=0.4 得P(AB)尸
16、(彳)=0.4,P(A 8 )=0.12,.P(4 8)=尸 一P(A 8)=0.4 8 ,P(A U B)=P(A)+P(B)-P(A 8)=0.8 2.22.设某种动物由出生算起活到2 0 年以上的概率为0.8,活 到 2 5 年以上的概率为 0.4.问现年20岁的这种动物，它能活到25 岁以上的概率是多少？解：设 A某种动物由出生算起活到2 0 年以上，PU)=0.8,B 某种动物由出生算起活到25 年以上，P (8 )=0.4,则所求的概率为2 3.某 地 区 历 史 上 从 某 年 后 3 0 年 内 发 生 特 大 洪 水 的 概 率 为 8 0%,40年 内 发 生 特 大 洪
17、水 的 概 率 为 8 5%,求已过去了 3 0 年 的 地 区 在 未 来 10年 内 发 生 特 大 洪 水 的 概 率。解：设 A某 地 区 后 3 0 年 内 发 生 特 大 洪 灾，P(A)=0.8,B-某地区后4 0 年 内 发 生 特 大 洪 灾，P(B)=0.8 5,则所求的概率为I-吧=1-也=。.25.P(A)0.22 4.设甲、乙两袋，甲袋中有2 只白球，4 只红球；乙袋中有3 只白球，2 只红球.今从甲袋中任意取一球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一球。1)问取到白球的概率是多少？2)假设取到白球，问该球来自甲袋的概率是多少？解：设 A：取到白球，B：从甲球袋取白球_ _7
18、4 4 31)P(A)=P A/B)P(B)+P(A/B)P(B)+=5/96 6 6 62)P(B/A)=P(AB)/P(A)=P(A/B)P(B)P(A)2/9=2/55/925、一 批 产 品 共 有 1 0 个 正 品 和 2 个 次 品，任 取 两 次，每 次 取 一 个，抽 出 后 不 再 放 回，求第二次抽出的是次品的概率.解：设乌表示第，次抽出次品,(i =1,2),由全概率公式P )=P(M%)+P 尸()=?替 W26.一批晶体管元件，其中一等品占9 5%,二等品占4%,三等品占设，它们能工作5 0 0/?的概率分别为9 0%,8 0%,7 0%,求任取一个元件能工作5 0
19、 0/?以上的概率.解：设g=取到元件为i 等品 (i=l,2,3),A =取到元件能工作5 0 0 小时以上则 尸(男)=9 5%,P(B2)=4%,P(B3)=1%P(%)=9 0%,P(%)=8 0%,P(髭)=7 0%所以 P(A)=P(B J P(%I)+P(B 2)P(/,)+P(B 3)P(%)=9 5%-9 0%+4%-8 0%+1%7 0%=0.8 9 427 .某药厂用从甲、乙、丙三地收购而来的药材加工生产出一种中成药，三地的供货量分别占40%,3 5%和2 5%,且用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为0.65,0.7 0和0.8 5,求从该厂产品中任意取出一件成品是优
20、等品的概率.如果一件产品是优质品，求它的材料来自甲地的概率解：以 耳分别表示抽到的产品的原材来自甲、乙、丙三地，A=抽到优等品,则 有：P (B,)=0.4,P(B2)=0.3 5,P(B3)=0.25,P(%)=0.65,P(%)=0.7,P(%3)=0.8 5所求概率为P(A).由全概率公式得：=0.65 x 0.4+0.7 x 0.3 5 +0.8 5 x 0.25 =0.7 1 7 5._ P(B,)P(A I f i,)_ 0.26P(A)P(A)-0.7 1 7 5=0.3 62428 .用某种检验方法检查癌症，根据临床纪录，患者施行此项检查，结果是阳性的概率为0.9 5；无癌症者
21、施行此项检查，结果是阴性的概率为0.9 0.如果根据以往的统计，某地区癌症的发病率为0.0 0 0 5.试求用此法检查结果为阳性者而实患癌症的概率.解：设A=检 查 结 果 为 阳 性,B=癌 症 患 者 .据 题 意 有P (%)=0.9 5,P(%)=0.9 0,P(B)=0.0 0 0 5,所求概率为 P (%).P (绻)=0.1 0,P (万)=0.9 9 9 5.由 B a y e s 公式得P(B)P%)().0 0 0 5 x 0.9 50.0 0 0 5 x0.9 5 +0.9 9 9 5 x0.1 0=0.0 0 47=0.47%29 .3个射手向一敌机射击，射中的概率分别
22、是0.4,0.6和0.7.如果-人射中,敌机被击落的概率为0.2；二人射中，被击落的概率为0.6；三人射中则必被击落.(1)求敌机被击落的概率；(2)已知敌机被击落，求该机是三人击中的概率.解:设A=敌机被击落,B；=i个射手击中,i=l,2,3.则 B,B9,BQ互不相容.11 乙。由题意知:由于3个射手射击是互相独立的，所以P(5,)=0.4x0.4x0.3 +0.6x0.6x0.3 +0.6x0.4x0.7=0.3 24P(B J=0.4 x 0.6 x 0.3 +0.4 x 0.7 x 0.4+0.6 x 0.7 x 0.6=0.43 6P(B3)=0.4 x 0.6 x 0.7 =0
23、.1 68因为事件A能且只能与互不相容事件BpL B乙9,BQ。之一同时发生.于是(1)由全概率公式得P(A)=Z P(B JP(A 出)=0.3 24 x 0.2+0.43 6 x 0.6+0.1 68 x 1 =0.49 44(2)由B a y e s公式得3 0.某厂产品有7 0%不需要调试即可出厂，另 3 0%需经过调试，调试后有8 0%能出厂，求(1)该厂产品能出厂的概率；(2)任取一出厂产品未经调试的概率.解：4 需经调试 A不需调试 B出厂则 P(A)=30%,尸由)=7 0%,PB I A)=8 0%,P(B l Z)=l(1)由全概率公式：P(8)=尸(A)-P(%)+P(1
24、P(胃)3 0%x 8 0%+7 0%x l =9 4%.(2)由贝叶斯公式：尸(%)P(I f i)_ P(A P(%)_ 7 0P(B)3 1 .进 行 一 系 列 独 立 试 验，假 设 每 次 试 验 的 成 功 率 都 是 0，求在试验 成 功 2次之前已经失败了 3次的概率.解：所求的概率为4 P 2(1-p)3.32.10个 球 中 有 一 个 红 球，有 放 回 地 抽 取，每 次 取 一 球，求 直到第次才取k次(k )红 球 的 概 率。解：所求的概率为A33.灯 泡 使 用 寿 命 在 l O O O h 以 上 的 概 率 为 0.2,求 3 个灯泡在使用1000h后，
25、最 多 只 有 一 个 坏 了 的 概 率。解：由二项概率公式所求概率为6(0)+6(1)=0.23+C；(0.2)2 .0 8=0 1 0 434.(B a n a c h 问 题)某 人 有 两 盒 火 柴，每 盒 各 有 根，吸烟时任取一 盒，并 从 中 任 取 一 根，当 他 发 现 有 一 盒 已 经 用 完 时，试 求：另一盒 还 有，根的概率。解：设 试 验 E 一 从 二 盒 火 柴 中 任 取 一 盒，A一取 到 先 用 完 的 哪 盒，P(A)=!，2则 所 求 概 率 为 将 E 重 复 独 立 作 2-r 次 A发 生 次 的 概 率，故所求的概率为第二章思 考 题1
26、.随机变量的引入的意义是什么？答：随机变量的引入，使得随机试验中的各种事件可通过随机变量的关系式表达出来，其目的是将事件数量化，从而随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个更广的概念内.引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究,就由对事件及事件概率的研究转化为随机变量及其取值规律的研究,使人们可利用数学分析的方法对随机试验的结果进行广泛而深入的研究.随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件，随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量的引入则变为可以用动态的观点来研究.2 .随机变量与分布函数的区别是什么？为什么要引入分布函数？答：随机变量与分布函数取值都是实数，但随机变量的自变量是
27、样本点，不是普通实数，故随机变量不是普通函数，不能用高等数学的方法进行研究，而分布函数一方面是高等数学中的普通函数，另一方面它决定概率分布，故它是沟通概率论和高等数学的桥梁，利用它可以将高度数学的方法得以引入.3.除离散型随机变量和连续型随机变量，还有第三种随机变量吗？答：有，称为混合型.例：设随机变量X U 0,2,令x,0 x 1;g（x）=6 1,1 X 2.则随机变量y=g（x）既非离散型又非连续型.事实上，由 y=g（x）的定义可知y 只 在 o,i 上取值，于 是 当），o 时，4（y）=0；时，4（y）=l；当0 4 y l时，4（y）=P（g（X）Wy）=P（X Wy）=g于是
28、Q y 0;耳（y）=g o y 0 上的函数，即 x =x（r）=r 是随机变量.2 .一报童卖报，每份0.1 5 元，其成本为0.1 0 元.报馆每天给报童1 0 0 0 份报，并规定他不得把卖不出的报纸退回.设X为报童每天卖出的报纸份数，试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示.解：报童赔钱。卖出的报纸钱不够成本,而当O.1 5 X I O O O X 0.1 时，报童赔钱，故 报童赔钱 =X 6 6 6 3 .若 P X xt =1-a,其中玉 ，求 P X|W X X 2 .解：P x,X x2 =P X x2-P X x,=PX x =-a-p.0,x 04 .设随机变量X 的分
29、布函数为尸(x)=x 2,ox 1试 求(1)PX4；(2)p|-l X|(3)p xg 解：（i）p xg =F（g）=；(2)p|-l X ：=l _ p x =1 /（：）=1.5.5个 乒 乓 球 中 有 2个 新 的，3个 旧 的，如 果 从 中 任 取 3个，其中新的乒乓球的个数是一 个 随 机 变 量，求 这 个 随 机 变 量 的 概 率 分 布 律 和 分 布 函 数，并画出分布函数的图形.解：设 X表 示 任 取 的 3个 乒 乓 球 中 新 的 乒 乓 球 的 个 数，由题目条件可知，X的所有可能取值为 0,1,2,P X =（）=,P X =1 =色，PX=2=-=Cl
30、 10 Cl 1 0 C；1 0.随机变量X的概率分布律如下表所示:由F(x)=Z A可 求 得F(x)如下：0m、P X=O F(x)=P X =0 +P X =1 P X=O +P X =1 +P X =21 ,x20,x00.1,0 x0.7,1 x X012P0.10.60.3,0 x l Z,1 x 2o1X7，F(x)可r i 2的图形如图所示.6 .某 射 手 有5发 子 弹，射 击 一 次 命 中 率 为0.9,如果他命中目标就停止 射 击，命不中就一 直 射 击 到 用 完5发 子 弹，求 所 用 子 弹 数X的概率分布解：X12345p0.90.0 90.0 0 90.0
31、0 0 90.0 0 0 17.一 批 零 件 中 有9个 合 格 品 与3个 废 品，安 装 机 器 时，从这批零件中任 取 一 个，如 果 每 次 取 出 的 废 品 不 再 放 回，求在取出合格品之前已取出的废品数的分布律.解：设4=第i次取得废品,A,=第，次取得合格品,由 题 意 知，废品数X的可能值为0,1,2,3,事件 X=0即为第一次取得合格品，事件 X=l 即为第一次取出的零件为废品，而第二次取出的零件为合格品，于是有9P X=0)=P(At)=0.7 5 ,P XPX=1)=2 =P(A,A2A3)=P(AP(AtA2)=P(A,)X 0.2 0 4 5 ,)=A,A12
32、1 I9 _ 97 0 -2 2 00.0 4 0 93 2TT r r1099220X 0.0045所以X的分布律见下表X0123P0.7 50.2 0 4 50.0 4 0 90.0 0 4 58.从1-1 0 中 任 取 一 个 数 字，若 取 到 数 字 m=1 1 0)的 概 率 与，成正比,即尸(X=i)=上，(，=1,2,1 0),求攵.10解：由 条 件 P(X =i)=k i ,(i =l,2,1 0),由 分 布 律 的 性 质=1，应有f=l101=1,*=_/=|9 .已知随机变量X服从参数2 =1 的泊松分布，试满足条件尸 X 7 V =0.0 1 的自然数N.解：因
33、为X 尸(1),尸 x y =0.0 1 所以p x W N =1-尸 x N =0.9 9 从而N.，p x=0.9 9*=o k!查附表得N=41 0.某 公 路 一 天 内 发 生 交 通 事 故 的 次 数 X 服 从 泊 松 分 布，且 一 天内发生 一 次 交 通 事 故 的 概 率 与 发 生 两 次 交 通 事 故 的 概 率 相 等，求一周内没有交通事故发生的概率.e e ，解:设 X 由题意：P(X=1)=P(X=2),飞 一几=3-/1 2,解得几=2,所求的概率即为-2P(X=0)=2 =e-20!1 1 .一台仪器在1 0 0 0 0 个工作时内平均发生1 0 次故障
34、，试求在1 0 0 个工作时内故障不多于两次的概率.解：设X表示该仪器在1 0 0 个工作时内故障发生的次数，x B(1 0 0,高)，所求的概率即为P(X=0),P(X=1),P(X=2)三者之和.而1 0 0 个工作时内故障平均次数为=1 0 0 x!=0.1,根据P o i s s o n 分布的概率分布近似计算如下：1 0 0 0012P (X 3),贝 l j p =p(4)=2,令 丫 表示三次重0，其余 3复独立观察中4出现次数，则故所求概率为目如明 吟1 3 .设某种传染病进入一羊群，已知此种传染病的发病率为2/3,求 在 5 0 头已感染的羊群中发病头数的概率分布律.解：把观
35、察一头羊是否发病作为一次试验，发病率p =2/3 ,不发病率q =1/3 ,山于对5 0 头感染羊来说是否发病，可以近似看作相互独立，所以将它作为5 0 次重复独立试验，设 5 0 头羊群中发病的头数为X ,则 X X 8(5 0,2/3),X 的分布律为、50-0,1,2,5 0)2 r 0 r 11 4.设随机 变 量 x 的 密 度 函 数 为 p(x)=4 u,，用 丫表示对o,其它X 的 3次 独 立 重 复 观 察 中 事 件 X W；出 现 的 次 数，求 P y =2 .1 2 1解：Y B(3,p),p=P X 01 5 .已知X 的 概 率 密 度 为/*)=,试 求：0,
36、x 0 时，F(x)=ax2e Axd x=1 (22x2+2Ax+2),1 (万厂+2 A x+2),x 0A F(x)=20,x 0(3)P(O X 2,故 所 求 的 概 率 为4PX 2 =-.1 7 .知 随 机 变 量 X 服 从 正 态 分 布N(a,a2),且 丫 =aX+6 服从标准正态分布TV (0,1),求 a,b.解：由题意a2+b=0z 小22 0)/.“2=i解 得：a=,b =11 8.已 知 随 机 变 量 X 服 从 参 数 为 2的 指 数 分 布，且 X 落 入 区 间(1,2)内的 概 率 达 到 最 大，求，令解：尸(1 *1)-2(乂 2)=-6&=
37、8(；1),令 8，(；1)=0,即e -2 e 山=0,即 l-2 e-“=0 ,2 =I n 2.1 9.设随机变量 X N(1,4),求 P(0 4 X 1.6),P(X 1).0-1 1 6-1解：P(0 X 1.6)=P(X -)2 21 6-1 0-1=D()-0(-)=0.3 0 9 42 21-1P(X 1)=()=(0)=0.5.2 0.设电源电压 X -(2 2 0,2 52),在*4 2 0 0,2 0 0 X 2 4 0 电压三种情形下，电子元件损坏的概率分别为0.1,0.0 0 1,0.2,求：(1)该电子元件损坏的概率a；(2)该电子元件损坏时，电压在2 0 0 2
38、 4 0 伏的概率广.解：设 A 1=(X 4 2 0 0),4 =(2 0 0 2 4 0),D 电子元件损坏,则(1).4,4，4完备，由全概率公式。=尸(0=尸(4)尸(%卜 尸(右)尸(%卜 尸(4)尸(%)，今 P(A)=广 220)=(_0 8)=1 一(0.8)=0.2 12 ,同理 P（4）=（0.8）-（-0.8）=2 0（0.8）-1=0.576 ,P（&）=1-0.2 12-0.576 =0.2 12 ,从而a=P（O）=0.0 6 2 .(2)由贝叶斯公式气*。皿2 1.随机变量X的分布律为X-2-1013P_56_51113 0求y =x2的分布律X20149P573
39、 015113 0解：2 2.变量X服 从 参 数 为0.7的0 1分 布，求X z及X2-2X的概率分布.解.X的分布为X01P0.30.7易 见，X?的 可 能 值 为。和1 ；而X?_ 2X的 可 能 值 为 T 和0,由于PX2=PX=u(H=0,1),可 见X?的 概 率 分 布 为：X201P0.30.7由 于 PX2-2X=-l =P X =1 =0.7,P X 2-2 X =0 =P X =0 =0.3 ,可 得X2-2 X的 概X2-2X-10P0.70.3率分布为2 3 .X概率密度函数为/x（x）=一二求Y=2 X的 概 率 密 度 函 数万（1+X ）fy(y)-解：y
40、 =2x的反函数为x =上，代入公式得力（y）=fx（!）&）=.2 2 2 （4 +y-）2 4 .设随机变量X U 0,2 ,求随机变量y =x?在（0,4）内概率密度九（），）.解法一（分布函数法）当y 4 时4（y）=l,当O M y V4时,耳=P（X 4 6）=Fx（6）从而后（），）=卜卡=卡 0 ，其余解 法 二（公式法）y =V 在（0,2）单增，由于反函数x =3 在（，4）可导，x j =!方，从而由公式得2 万/，（）,）=卜（讨T木岭0 ，其余求 丁，的密度.解 法 一（分 布 函 数 法）因 为 X W 0 ,故 y l ,当 yl时，4(y)=P(X)=1fx(I
41、ny)=ey0,y解 法 二（公式法）y=，的值域（l,+8）,反函数x=ln y,故4（y）*0ny）M，1=+，y io,y 126.设 随 机 变 量X服 从（0,1）上 的 均 匀 分 布，分 别 求 随 机 变 量y=e、和2=回 乂|的 概 率 密 度 人（）和 九 口）.解：X的密度为/（x）=1,若0cx 10,其它，/、。)|。)|,y )=o,其它（1）函数y=e*有唯一反函数，x=ln y,且l y e,故%,y 0,从而/X（e-J）|（e-Jy|,z0 J,z 0*）1。，其它lo,其它.2 7.设（x）为X的密度函数，且为偶函数，求证-X与X有相同的分布.证：即证y
42、=-x与X的密度函数相同，即万（y）=/x G）证 法 一（分布函数法）耳（y）=P（-X -y）=l-P（X -y）=l-Fx ）,&(y)=-P x(-y)(T)=P x(y)，得证证法二(公式法)由于)，=-尤为单调函数，Py(y)=P x(-y)|(-)|=P x(-y)=Px(y)2 8.设随机变量X服从正态分布(,)，Y o 0 ,F(x)是X的分布函数，随机变量y =F(x).求证y服从区间 0,1上的均匀分布.证明：记X的概率密度为“X),则F(X)=1/流.由 于F(x)是x的严格单调增函数，其反函数F T(X)存在，又因因此V的取值范围是叫 .即当0“4 1时F,(y)=P
43、 r y =P F(X)y =p x 尸(，)=F F(y)J =y.于是丫的密度函数为 1,0 y 1打,其它即y服从区间D i 上的均匀分布.第三章思考题1(答:错)2 (答:错)3答:错)习题三1 解:尸 X =丫=尸 X =-1/=1 +尸 x =i,y =1(已知独立)=p x=-i P y =T +P x=i R y =i =；+；.；=；.由此可看出，即使两个离散随机变量x与y相互独立同分布，x与 丫 一般情况下也不会以概率1相等.2解：由Z E p/l可得：b =0.14,从而得：012PY=j00.0 6 0.150.0 9 0.310.140.350.210.7R X=i0
44、.20.50.31PX=i,Y=j=PX=iPY=j i=0,1,2;/=0,1.故 X,y 相互独立.px i,r I =F(I,I)=PX=o,r=O +FX=o,r=1+PX=l,y=0+PX=l,y =l=0.06+0.14+0.15+0.35=0.73 解:n =P(X =1,Y=1)=P(AB)1 0=P（A）P（B/A）=2，1%p 12=P(X =l,y =0)=P(AB)0%2-1 2 1=P(A)P(B A)=-=-4 3 6 2因为：P(B/A)+P(B/A)=,所 以：P(B/A)=1-P(B/A)=-,p 21=P(X=0,y=1)=P(AB)=P(B A)=P(B)
45、-尸(AB)=-尸(AB)=1 1 1 Qp 2222=-=，结果如表所不.12 6 12 124解：X的边缘分布律为PX=1=%,PX =2=%丫的边缘分布律为尸 丫=i=%,p x =2=%Y=1的条件下X的条件分布为PX=/Y=1）=0p x=2/y =i=言产=1X=2的条件下Y的条件分布为py=1/X=2=PX=2,丫 =1/PX=2为5 解：（1）由乘法公式容易求得（x,y）分布律.易知，放回抽样时P x=o =%,px =i=%,p y =o =%,p y =i=%,且尸 X =i,y=j PY=j/X=iP X =ip x=iP y=/i=o,i；j=o,i.于是（x,y）的分
46、布律为2536536不放回抽样P X=O =%,P X=1 =%,在 第 一 次 抽 出-L J 6正品后，第二次抽取前的状态：正品9 个，次品2个.故PY=o x=O =%1，P Y =1/X=0 =%1，又在第一次抽出次品后，第二次抽取前状态：正 品 1 0 个，次 品 1 个.故P y=c/x=i=i%i，w=y x=i =%,且P X=i,Y =j=PY=j/X=iPX=i i,j=Q,l 1于是（x,y）的分布律为放回抽样时，两次抽样互不影响，故彼此相互独立；不放回抽样，第 次抽样对第二次抽样有影响，不相互独立.6 解 x,y）=I1测.,1,a x b2,-o o%0 0,-0 0
47、 y cofx M b-a0,x h1fY y =c-d,c y d0,y d随机变量x及y是独立的.67 解 f(x,y)=d2F(x,y)dxdy 乃2 (4+，)(9+y 2)(2)X的边缘分布函数心(x)=/0,+8)=二(g +arctg：)(g +g)=(g +arctg；).71 2 2 2 2 乃 2 2由此得随机变量X的边缘分布密度函数2fx(x)=Fx(x)=n (4+x2)同理可得随机变量y的边分布函数耳(y)=尸(+o o,y)=+arctg g)=-(g +arctg 当k 2 3 7r 2 3y的边缘分布密度函数4(y)=(y)3乃(9+)(3)由(2)知 力(幻6
48、 3)=237T(4+x2)乃(9+y2)=/(x,y)，所以x与丫独立.8解 因为X与y相互独立，所以X,Y的联合概率密度为1f(x,y)=/x(x)6(y)e2%/+)，2P Z =2=J fx2+y2l1e2万?2x+y2,2d0 e 2 rdr=-e 21|)=1-e 2P Z =1 l x+y，L242 2x +y2r22d xd y=(e 2 rd r-e 2oo-22=e所以为：尸 Z=0 =e ,尸 Z =l =eZ1-2 _的分布律1-2,p Z =2 =l e W9解：由fJ-即 nA=1 2+oo p+8f(x,y)d xd y=1,即=1 =A-ooJ-oo4-00J
49、e-（3 x+4），）d M，A1 2因此 f(x,y)=o,yo0,其它(2)X的边缘概率密度为当 X0,力(x)=J/(x,y)dy=J：1 2 e-(3 x+4 y)dy=3 e 0当 y 0r oo f a，/y(y)=L/(x，y)d x=1J u001 2 eT 3 x+4 y)dx=4 ef ,可知边缘分布密度为：/x（x）=3e x,x 0,0,其它，A(y)=00,其它，2(3)P 0 X 1,0 y 2 =1 2 j()j()e(3x+4y)d xd y=(l-e 3)(l-e s)1 0解因 为r+oo r+oo 八f f(X,y)d xd y=1 ,即J 00 J-Q0
50、2c.l.l =l,c=62 3对任意0 X 1,fx(x)=J：/(x,y)dy=6 ；孙),=2 x,所以/x(x)=2 x,0 x 1,0,其它，对任意0 y v 1,fY(y)=6 J；孙2 d1 =3 2,所 以 人3)=卜 ，。所以x与y相互独立.e 2 21 1 解 由 S。=J d x=nx|j =2当1 4 x 4 e?时，f x(x)=f(x,y)d y=；dy=5,其 它 九(x)=0.所以：/x =了1 2解(1)X,y的边缘密度为分布密度为：fx(x)=fA d y=2 x,0 x 1J -x力(y)=f|,|Id x=l-|y|,-l y)/*，)_ 7|y|x,其