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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第一章 概率论的基本概念 1.2 概率的定义一、概率的性质P AB . . 特 别 地 , 如BBA,（1）0PA 1. （2）P0,PS1. （3）P ABP A P B（4）PA1P A. A PAB（ 5 ）PAB PABPPAB PA PB,P BPA . _.例 设A B 为随机大事 , P A 0.4,P BA0.3, 就P A名师归纳总结 解：PBAPBPAB03.,P ABP AP BP AB0.7第 1 页,共 35 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1.4 条件概率一、 条件概率定
2、义设A,B是两个大事,且P A 0,称PB|A=PAB为在事PA 件 A发生的条件下大事 二、全概率公式B 发生的 条件概率；全概率公式 ：A A 2 , L , A 为样本空间 S的一个大事组, 且满意：（1）A A 2 , L , A 互不相容,且 P A i 0 i ,1 2 , , n ; 2 A 1 A 2 L A n S. 就对 S中的任意一个大事 B都有P B P A 1 P B A 1 P A 2 P B A 2 P A n P B A n A 2A 1BA n名师归纳总结 第 2 页,共 35 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例
3、设有一仓库有一批产品,已知其中 50%、30%、20%依次是甲、乙、丙厂生产的, 且甲、乙、丙厂生产的次品率分别为1,1,1,101520现从这批产品中任取一件,求取得正品的概率？解 以A 、A 、A 表示诸大事“ 取得的这箱产品分别是甲、乙、A 319;丙厂生产” ；以 B 表示大事“ 取得的产品为正品”,于是：PA 15,PA 23,PA 320,PB|A 19,PB|A 214,PB|101010101520按全概率公式,有：P B P B A P A 1P B|A P A 2P B|A P A 3951431920 .92101015102010三、 贝叶斯公式设 B 是样本空间 S的
4、一个大事,A A 2,L,A 为 S的一个大事组,且满意：（1）A A 2,L,A 互不相容,且PA i0i,1,2,n ; 2 A 1A 2LA nS. 就PA k|BPA kBPA 1PBPA kPBA kPBA nPBA 1PA n这个公式称为 贝叶斯公式；例：有甲乙两个袋子,甲袋中有4 个白球, 5 个红球,乙袋中有4 个白球, 4 个红球今从甲袋中任取一球放入乙袋,搅匀后再 从乙袋中任取一球,1 问此球是红球的概率？名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 35 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2 如已知取得的是红球,就从甲袋放入乙袋的是红球的概率是
5、多少？解：设 A1 表示从甲袋放入乙袋的一球是红球,就 A1表示从甲袋放入乙袋的一球是白球,设 球,就A2：表示从乙袋取的一球是红（1）PA 2A 2P A 2|A 1PA 1PA 2|A 1PA 15544419999812 P A 1|P A P A 2|A 155.9 941P A 281 1.5 大事的独立性一、 大事的独立性名师归纳总结 定义 . 如两大事A,B 满意PABPAPB, 就称 A ,B 相互独立；第 4 页,共 35 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 其次章 随机变量及其分布 2.1 一维随机变量一、 随机变量与分布函数定义设
6、 E 为一随机试验 , S为 E 的样本空间 , 如XX,S为SR单值实函数,就称X 为随机变量；FxexXXXPX定义 设 X 为一个随机变量,为 X 的分布函数；x 为任意实数,称函数oxx分布函数的性质名师归纳总结 （1）F0 ,F1 . 时,必有Fx 1FFx 2.第 5 页,共 35 页Fx（2）是自变量 x 的非降函数, 即当x 1x2由于当x 1x 2时有Fx 2Fx 1P x 1Xx20x 1x 2. ,从而F（3）Fx对自变量 x 右连续,即对任意实数x ,Fx0Fx- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2.2 一维离散型随机变量一、离散
7、型随机变量定义 离散型随机变量 X 只可能取有限个或可列个值,设 X 可能取的值为 x 1 , x 2 ,., nx ,. . 定义 设离散型随机变量 X 可能取的值为 x 1 , x 2 ,., nx ,.,且 X 取这些值的概率为：PXxkpk k,12,.,n ,.性就称上述一系列等式为随机变量X 的分布律 ；由概率的定义知, 离散型随机变量X 的概率分布具有以下两个质：（1）p kp0,k,12 ,.（非负性）（2）kk1（归一性）二、 几种常用的离散型分布1. 01 分布X 只可能取0 和 1 两个值,且它的分布列为假如随机变量P X1 p ,PX0 1p,0p1 ,就称 X 听从
8、01 分布 ；其分布律为：名师归纳总结 X1 0 p第 6 页,共 35 页Pp 1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2. 二项分布假如随机变量X 只可能取的值为,0,1,2, ,n ,它的分布律为PXkCkpkqnk ,k0 ,1,2 ,.n其中0p,1q1p,就称 X 服n从参数为n, 的二项分布 ,记为Xbnp3. 泊松分布假如随机变量X 全部可能取的值为0,1,2, , 它取各个值的概率为PXkke,k0,1,2 ,.,其中0是常数,就称X 听从k.参数为的泊松分布 ,记为X . 1_.例：设X ,P X1P X2,就P X名师归纳总结 例：
9、设随机变量Xb 2,1,就P X1 . 第 7 页,共 35 页2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2.3 连续型随机变量的概率密度一、 概率密度的概念定义 设随机变量 X 的的分布函数为 F x ,假如存在一个非负可积函数 f x ,使得对于任意实数 x ,有：xFxftdt；就称 X 为连续型随机变量,而fx称为 X 的概率密度 ；由概率密度的定义及概率的性质可知概率密度fx必需满意 ：（1）fx0 ；（2）fxdx1；（3） 对于任意实数a, ,且ab有P aXb F b Fabfx dxa（4）如fx 在点x 处连续,就有Fxfx. 例 设随机
10、变量 X 具有概率密度名师归纳总结 fx 1Ke3x,3x0xKe3x0K1第 8 页,共 35 页,0x0（1）试确定常数K ；0Kexd3（2）求P X0.1；（3）求F x . 解（1）由fx dx1,即fx dx=0Ke3xdx333得K3. 于是 X 的概率密度- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - fx 3 e3x,x0；0 ,x0（2）P X0.10 .1fx dx=.013 e3xdx0 . 7408 ; x0时,（3）由定义F x = xf t dt；当x0时,F x =0；当F x = xf tdt=x3 e3xdx1e3x0所以Fx 1
11、e3x,x0. 0 ,x0二、几个常用的连续型随机变量的分布 1. 匀称分布假如随机变量,X 的概率密度为axba,b；f x b1a,就称 X 听从a0,其他Ub上的 匀称分布,记为X2. 指数分布假如随机变量X 的概率密度为x 0其他f x ; 1ex0就称 X 听从参数为的指数分布 ；3. 正态分布名师归纳总结 假如随机变量X 的概率密度为x,；第 9 页,共 35 页fx1e212x2,2其中0,为常数,就称X 听从参数为的正态分布 ,记为- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - XN,2. 特殊的,当0,21时,称 X 听从 标准正态分布 ,即X N
12、01, ,概率密度为xx 1ex2,dxx1t2dt22标准正态分布的分布函数为xxxe22对于标准正态分布的分布函数,有以下等式定理 假如XN,22x1x0 1a ba2就X N 0 1, 推论如XN,就PaXb F bF名师归纳总结 例设X N 15.,4,求P X35.； 1 0.8413. 第 10 页,共 35 页解PX3 .5 =F3.5 3.521.5例 设随机变量XN1,4,就P X1 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2. 4 随机变量函数的分布一、 离散型随机变量的函数的分布例设 X 的分布律为,30.4 X 1012pk0.1
13、 0.2 0.3 0.4 求 解Y2 X 1 的分布律；由于 Y 的可能取值为3, 1,1,3,而且P Y3P X10.1,P Y1P X00.2P Y 1 P X 1 0.3因而 , Y 的分布律为,P Y3P X20.4Y 311pk0.1 0.2 0.3 二、 连续型随机变量的函数的分布名师归纳总结 设 X 是连续型随机变量, 已知f Xx为其概率密度, 那么应当如何第 11 页,共 35 页确定随机变量Yg X的概率密度f Y x 呢？例设连续型随机变量X 具有概率密度f Xx,求随机变量YkXb（其中k b为常数且k0）的概率密度f Yx .解设 Y 的分布函数为FY y ,当k0,
14、就F Y F Y P YyP kXby P Xykb FXykb上式两边对y 求导数得fYy1fXykbk当k0,就F Y P Yy P kXby P Xykb 1F Yykb- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 上式两边对求导数得fY 1fXykbk于是名师归纳总结 fYy|1|fXykb第 12 页,共 35 页k- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 第三章 二维随机变量及其分布 3.1 二维随机变量及分布函数定义 设 S为随机试验变量,就称有序数组 E 的样本空间,X , Y 是定义在 S上的随机X Y 为二维随
15、机变量 或称为 二维随机向量 ；定义 设 X , Y 是二维随机变量,对于任意实数 x, ,称二元函数F x , y P X x , Y y 为二维随机变量 X , Y 的分布函数 ,或称为 X , Y 的联合分布函数；二维随机变量的分布函数的性质（1）0 F x , y 1；（2）F x , y 是变量 x, 的不减函数,即：对于任意固定的 y ,当x 1 x 2 时有 F x 1 , y F x 2 , y ；对于任意固定的 x ,当 y 1 y 2 时有F x , y 1 F x , y 2 . （3） 对于任意固定的 y ,F , y x lim F x , y 0；对于任意固定的 x
16、 ,F x , y lim F x , y 0 , 并 且 F , x lim F x , y 0,yF,x limFx,y 1.y二维离散型随机变量定义X假如二维随机变量X,Y可能取的值只有有限个或可列个,就称,Y为二维离散型随机变量；定 义设 二 维 随 机 变 量X,Y所 有 可 能 取 的 值 为xi,yj,i,12 ,.;j1 2,.,就称PXx i,Yyjp ij,i,j,12 ,.为X,Y的联合分布律 ；名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 35 页精选学习资料 - - - - - - - - - 二维离散型随机变量X,Y的联合分布有时也用如下的概率分布表来表
17、示：Y X1xx 2. y 1y2y . p 11p . p1 . p21p . p 2 . . . . . . ixip1ip . p . . . . . . . 明显,ijp具有以下 性质 ：（1）ijp0 ,i,j1,2, ） ; fx,y ,（2）ijp ij1 ; 二维连续型随机变量定义 设 X , Y 是二维随机变量, 假如存在一个非负函数使得对于任意实数 x, ,都有名师归纳总结 就称XF x y , P Xx Yxyf u v dudv第 14 页,共 35 页y,Y是二维连续型随机变量,函数fx,y称为二维连续型随机变量X,Y的概率密度 ；- - - - - - -精选学习资
18、料 - - - - - - - - - 二维分布密度具有以下性 质：（1）fx ,y0；f；dxdy,其中 D为 XOY平面上的任意一（2）fx ,ydxdy1（3）P X,YDx ,yD个区域；（4） 假如二维连续型随机变量yX,Y的密度fx ,y连续,X,Y的分布函数为F x y ,就fx,y2Fx ,xy用性质的题在后面名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 35 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3.2 边缘分布与随机变量的独立性一、 边缘分布称重量 X 的概率分布为 X , Y 关于 X 的边缘分布 ；重量 Y 的概率分布为 X , Y 关于 Y
19、的边缘分布 ；它们的分布函数与密度函数分别记作 F x x , F y y 与 f x x , f y y ；先看离散情形：如已知 P X x i , Y y j p ij , i , j ,1 2 ,.,就随机变量 X 的分布律为：P X x i P X x Y P X x Y y j p ij i , j ,1 2 ,.j 1 j 1同样得到 X , Y 关于 Y 的分布律：P Y y j p ij, i , j 1 , 2 ,. . i 1记 p i；p ij , p；j p ij , 所以关于 X 的边缘分布律为：j 1 i 1X 1x x . ix . ip；p ；p . ip.关于
20、 Y 的边缘分布列为：Yjy 1y . jy . p；p；p . p；j.下面看连续型的情形：名师归纳总结 定理 设fx ,y是X,Y的联合概率密度,就f x y dx第 16 页,共 35 页X,YfX f x y dy ,fY 分别是关于X , 的边缘概率密度函数；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 离散型随机变量的边缘分布律列表xy X Y1y2yjjipp 12p 1p 11p 11xp 22p 21p 22p 2jxip i 1p i2p ijippjp 1p 2jp1名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 35 页精选学习资
21、料 - - - - - - - - - 3.4 随机变量的独立性定 义 设 X , Y 是 二 维 随 机 变 量 , 如 果 对 于 任 意 x, y 有P X x , Y y P X x P Y y ,就称随机变量 X 与 Y 是相互独立 的；即用 F x , y F X x F Y y 该式可用来判定 X , Y 的相互独立性；定理 设 X , Y 是二维离散型随机变量,p ij , ip ,p； 依次是 X , Y ,X , 的概率分布,就 X , Y 相互独立的充要条件是：对全部的 i, j,都有 ijp ip；p； .定理 设 X , Y 是二维连续型随机变量,联合密度函数与边缘密
22、度函数,就 X , Y对任意的实数 x, ,都有 f x , y f X x f Y例 设X,Y 的联合分布律为f x , y , f X x , f Y y 分别是相互独立的充要条件是： y ；Y 0 1 2 3 X 试求X,Y0 12719X ,191271 192919 0 2 1919 0 0 3 127 0 0 0 关于 X 和关于 Y 的边缘分布,并判定Y是否相互独立？名师归纳总结 解由表中可按行加得ip ,按列加得p； 得关于 X 的边缘分布第 18 页,共 35 页X0123ip；8274929127- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 及
23、关于 Y 的边缘分布由于p 11P X0 ,Y0 Yj10；11823X ,Y互827127p；4929,而p ；p8641 27,所以272727729不独立；例设二维随机变量具有密度函数x,0yf x y , Ce2xy,00,其他试求 : （1）常数 C ；（2） X , Y 落在如图 24 所示的三角区域 D 内的概率；（3）关于 X 和关于 Y 的边缘分布 , 并判定 X , Y 是否相互独立；图 2-4 解（1）1fx ,y dxdyy 00Ce2xydxdy=C0e2xdx0e2ydyC4所以C4; D fx ,dxdy1 0dx1x4 e2xydy13 e2; （2）P X,
24、Y0D（3）关于 X 的边缘概率密度函数为名师归纳总结 f Xx0fx,ydy=0. 第 19 页,共 35 页当x时,f Xx - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当x0时,Xf f x y dy04 e2xydy2 e2x故有f Xx =2 e2x,x0；x fYy ,所以X Y 相互独0 ,x0同理可求得关于Y 的边缘概率密度函数为fYx =2 e2y,y0 . ,0y0由于对任意的实数x, ,都有fx ,yfX立；名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页,共 35 页精选学习资料 - - - - - - - - - 第四章 随机变量的
25、数字特点 4.1 数学期望一、离散型随机变量的数学期望定义k1设离散型随机变量X 的分布律为EXk1x kpk就称Xx1x 2xnp 1p2pnPxkpk其为随机变量X 的数学期望, 记为二、 连续型随机变量的数学期望定义设连续型随机变量X 的分布密度函数为fx,如积分,xfx dx肯定收敛,就称其为X 的数学期望 或均值 记为EXE Xxfx dx例设随机变量X 听从a,b上的匀称分布 ,求EX解 由于匀称分布的密度函数为f x b1a,axb0,其他因而EXbxfx dxbbxadxb2a2a2baa2ba记住： 0-1 分布,二项分布,泊松分布的数学期望匀称分布,指数分布,正态分布的数学
26、期望；名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页,共 35 页精选学习资料 - - - - - - - - - 三、 随机变量的函数的数学期望定理 设 Y 为随机变量 X 的函数：Y g X g 是连续函数 ,（1）X 是离散型随机变量,分布律为 p k P X x k , k ,1 2 ,；如级数g x kp k 肯定收敛,就有 E Y E g X g x kp k（2） X 是连k 1 k 1续型随机变量,它的分布密度为 f x ,如积分 g x f x dx 肯定收敛,就有 E Y E g X g x f x dx定理 设 Z 是随机变量 X , Y 的连续函数 Z g X ,
27、 Y ,（1） X , Y 是名师归纳总结 二维离散型随机变量, 联合分布律为pijPXx i,Yyj,i,j,12,；第 22 页,共 35 页就有EZEgX,Yi1j1gxi,yjp ij（2）X,Y是二维连续型随机变量, 联合分布密度为fx,y ,就有EZE gX,Ygx ,y fx ,y dxdy例设X,Y的概率密度函数为f x y , xy 3,0x2,0y10,其他求EX,E Y,EXY,EX2Y2解D:0x20y1,EXDxfx,ydxdy2xdx1x3ydy12x2x1 dx1100609E YDyfx ,y dxdy2dx1xy3y2dy12 3x2 dx5001809EXYDxyfx ,ydxdy2xdx115160999- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - EX2Y22x2dx1x3ydy2dx1xy23y3dy1300006四、 数学期望的性质名师归纳总结 1 设 c 是常数,就有EcccXcEXEY第 23 页,共 35 页2 设 X 是随机变量,设c 是常数,就有E3 设 X , Y 是随机变量,就有EXYEXEY 4 设 X ,Y 是相互独立的随机变量, 就有