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1、第十章第十章 振动与波动振动与波动物理学物理学文理学院物理系文理学院物理系 李耀维李耀维第十章第十章 振动与波动振动与波动振动振动 描述物质运动的物理量，在某一数值附近作周期性变描述物质运动的物理量，在某一数值附近作周期性变 化。机械振动化。机械振动 电磁振动电磁振动波动波动 振动在空间的传播。振动在空间的传播。机械波机械波 电磁波电磁波机械振动机械振动 物体在一定位置附近作周期性往复运动。物体在一定位置附近作周期性往复运动。谐振动谐振动 最简单、最基本的振动是谐振动，任何复杂的振动最简单、最基本的振动是谐振动，任何复杂的振动 都可以看成是许多不同频率、不同振幅的谐振动的都可以看成是许多不同频
2、率、不同振幅的谐振动的 叠加叠加两种常见的谐振动两种常见的谐振动弹簧振子的振动弹簧振子的振动10-1 10-1 谐振动谐振动10-1 10-1 谐振动谐振动单摆的振动单摆的振动谐振动的谐振动的微分方程微分方程10-1 10-1 谐振动谐振动一、谐振动的基本特征一、谐振动的基本特征1、谐振动的动力学特征、谐振动的动力学特征（1）谐振动的受力特点）谐振动的受力特点弹簧振子：倔强系数弹簧振子：倔强系数K，小球质量小球质量m，（2）谐振动的微分方程）谐振动的微分方程 谐振动运动方程谐振动运动方程2、谐振动的运动学特征、谐振动的运动学特征（1）运动方程（振动位移）运动方程（振动位移）（求解微分方程）（求
3、解微分方程）振幅，振幅，圆频率，圆频率，相位，相位，初相位。初相位。推论推论 位移是时间的余弦函数的运动是谐振动。位移是时间的余弦函数的运动是谐振动。(2)(2)振动振动速度速度加速度加速度可以看出可以看出谐振动的加速度和位移谐振动的加速度和位移成正比，且方向相反。成正比，且方向相反。10-1 10-1 谐振动谐振动Ox v atx va3、谐振动的、谐振动的振动位移、振动位移、速度、加速度图像速度、加速度图像 振动速振动速度度加速度加速度振动位移振动位移10-1 10-1 谐振动谐振动（1）初始条件法）初始条件法 t t=0 =0 时，初位移时，初位移初速度初速度3、积分常数、积分常数 的确
4、定的确定（2）旋转矢量法）旋转矢量法10-1 10-1 谐振动谐振动二、谐振动的旋转矢量表示二、谐振动的旋转矢量表示1、旋转矢量、旋转矢量矢量矢量A以角速度以角速度 绕原点逆时针旋转绕原点逆时针旋转10-1 10-1 谐振动谐振动OxAw w j j经过经过t t 时间后时间后(w wt+j j)旋转矢量旋转矢量A在在 x 轴上的投影轴上的投影的运动规律与谐振动相同的运动规律与谐振动相同2、用旋转矢量表示谐振动、用旋转矢量表示谐振动长度长度角速度角速度振幅振幅振动相位振动相位圆频率圆频率谐振动谐振动旋转矢量旋转矢量初始角位移初始角位移初相位初相位角位移角位移P点在点在 x 轴上投影轴上投影 振
5、动位移振动位移10-1 10-1 谐振动谐振动1、旋转矢量、旋转矢量3、用旋转矢量法确定谐振动的初相位、用旋转矢量法确定谐振动的初相位（2）求旋转矢量与）求旋转矢量与x轴夹角轴夹角 即为谐振动的初位相即为谐振动的初位相（1）确定旋转矢量的初始）确定旋转矢量的初始 位置（位置（x0,v0)三、写出谐振动方程的方法三、写出谐振动方程的方法1、确定谐振动方程为、确定谐振动方程为2、由题意求出、由题意求出3、用旋转矢量法求、用旋转矢量法求10-1 10-1 谐振动谐振动EOx系统的势能为系统的势能为系统的总能量为系统的总能量为EpEkA-A 在振动过程中，动能在振动过程中，动能和势能互相转换，总能量和
6、势能互相转换，总能量保持不变保持不变。四、谐振动的能量四、谐振动的能量（以弹簧振子为例）（以弹簧振子为例）某一时刻某一时刻 m 的位移为的位移为x，振动速度为振动速度为 v，则则系统的动能为系统的动能为10-1 10-1 谐振动谐振动x(m)AOw解解例例10-1 物体作谐振动，振幅为物体作谐振动，振幅为0.24m，周期为，周期为4s，开始时，开始时x0=0.12m，且向负方向运动，写出物体的振动方程。，且向负方向运动，写出物体的振动方程。（1）设谐振动方程为）设谐振动方程为（2）由题）由题（3）求初位相）求初位相初始条件法初始条件法 10-1 10-1 谐振动谐振动旋转矢量法旋转矢量法a 确
7、定旋转矢量的初始确定旋转矢量的初始 位置（位置（x0,v0)b 求旋转矢量与求旋转矢量与x轴夹角轴夹角 旋转矢量旋转矢量A的位置如图所示的位置如图所示（4）将计算结果代入谐振动方程得）将计算结果代入谐振动方程得10-1 10-1 谐振动谐振动xOww 两质点作同方向、同频率的谐振动，振幅相两质点作同方向、同频率的谐振动，振幅相等。当一质点在等。当一质点在 x=A/2 2 处向左运动时，另一质点在处向左运动时，另一质点在 x=-A/2 2 处向右运动。求两质点的相位差。处向右运动。求两质点的相位差。例例10-2解解-AAOxv1v2-A/2A/2AA10-1 10-1 谐振动谐振动10-2 谐振
8、动的合成谐振动的合成一、同方向同频率谐振动的合成一、同方向同频率谐振动的合成1、合振动的运动情况、合振动的运动情况 设同一质点同时参与两个谐振动。设同一质点同时参与两个谐振动。合振动合振动由旋转矢量图可知：合振动仍为同方向，同频率谐振动。由旋转矢量图可知：合振动仍为同方向，同频率谐振动。一、同方相同频率谐振动的合成一、同方相同频率谐振动的合成1、合振动的运动情况、合振动的运动情况一、同方相同频率谐振动的合成一、同方相同频率谐振动的合成xOAA1j j1 1j jx1x2A2cosj j2 2A1sinj j1 1A2sinj j1 1A1cosj j1 1xA2j j2 2x2 合振动的振幅与
9、分振动的振幅合振动的振幅与分振动的振幅及他们的相位差及他们的相位差D Dj j=(=(j j2 2-j j1 1)有关。有关。根据平行四边形法则求得根据平行四边形法则求得合振动的振幅与初相位合振动的振幅与初相位其中：其中：D Dj j=(=(j j2 2-j j1 1)为为分两个分两个 分振动的初相差分振动的初相差1、合振动的运动情况、合振动的运动情况Oxx1x2A2cosj j2 2A1sinj j1 1A2sinj j1 1A1cosj j1 1xA2j j2 2x2Aj jA1j j1 1 合振动的振幅与分振动的振幅合振动的振幅与分振动的振幅及他们的相位差及他们的相位差D Dj j=(=
10、(j j2 2-j j1 1)有关。有关。根据平行四边形法则求得根据平行四边形法则求得合振动的振幅与初相位合振动的振幅与初相位其中：其中：D Dj j=(=(j j2 2-j j1 1)为为分两个分两个 分振动的初相差分振动的初相差1、合振动的运动情况、合振动的运动情况（2）合振幅最小条件）合振幅最小条件2、合振动振幅最大、最小条件、合振动振幅最大、最小条件（1）合振幅最大条件）合振幅最大条件10-2 谐振动的合成谐振动的合成二、相互垂直的同频率谐振动的合成二、相互垂直的同频率谐振动的合成设两个谐振动的运动方程分别为设两个谐振动的运动方程分别为 此方程组为以此方程组为以T为参量的参数方程，消去
11、为参量的参数方程，消去T得到合振动得到合振动的规迹方程，的规迹方程，方程中无时间变量方程中无时间变量T，说明合振动有一稳定的规迹，具体形状，说明合振动有一稳定的规迹，具体形状与相位差与相位差 有关。有关。10-2 谐振动的合成谐振动的合成几种特殊情况：几种特殊情况：QP .相互垂直的简谐振动的合成相互垂直的简谐振动的合成相互垂直的简谐振动的合成相互垂直的简谐振动的合成相互垂直同频率谐振动的合成相互垂直同频率谐振动的合成1相互垂直同频率谐振动的合成相互垂直同频率谐振动的合成210-2 谐振动的合成谐振动的合成相互垂直同频率谐振动的合成相互垂直同频率谐振动的合成3 当两个谐振动的频率有简单整数比，合振动的轨迹也是当两个谐振动的频率有简单整数比，合振动的轨迹也是稳定的闭合曲线，称为李萨如图形对应于不同的频率比和位稳定的闭合曲线，称为李萨如图形对应于不同的频率比和位相差，图形也不同。相差，图形也不同。三、相互垂直的不同频率谐振动的合成三、相互垂直的不同频率谐振动的合成1:21:32:3几幅典型的利萨如图形几幅典型的利萨如图形10-2 谐振动的合成谐振动的合成