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1、第四篇第四篇振动与波动振动与波动课时进度安排预告：课时进度安排预告：15章章3次课（谐振；旋转矢量、能量；合成）次课（谐振；旋转矢量、能量；合成）17章章1次课（次课（LC电路；电磁波）电路；电磁波）16章章3次课（谐波；能量；干涉与驻波）次课（谐波；能量；干涉与驻波）什么是振动？什么是振动？广义地定义：广义地定义：广义地定义：广义地定义：任何物理量任何物理量随时间随时间随时间随时间的的周期性周期性周期性周期性变化变化称为称为振动振动振动振动 一般分为一般分为 两大类两大类机械振动：振动体以一定位置中心往复运动机械振动：振动体以一定位置中心往复运动电磁振荡：电场与磁场周期性变化电磁振荡：电场与
2、磁场周期性变化机械振动的传播机械振动的传播机械波机械波电磁振荡的传播电磁振荡的传播电磁波电磁波1第十五章第十五章 振动学基础振动学基础 (Vibration)本章主要介绍本章主要介绍机械振动机械振动 人类生活在振动的世界里。人类生活在振动的世界里。振动在力学、声学、电学、生物工程、自控等振动在力学、声学、电学、生物工程、自控等各领域都占有重要的地位。各领域都占有重要的地位。汶川汶川8.0级大地震级大地震BTC 14:28:00 UTC 06:28:00HUST2008/5/12汶川汶川8.0级大地震级大地震(LP)BTC 14:28:00 UTC 06:28:00 HUST2008/5/12固
3、体潮与地震观测固体潮与地震观测固体潮与地震观测固体潮与地震观测应变固体潮模拟记录图应变固体潮模拟记录图重力固体潮模拟记录图重力固体潮模拟记录图1010-7-71010-6-6m/sm/s2 2HUST台重力观测曲线台重力观测曲线定义：定义：定义：定义：物体在同一路径的一定位置附近作重复往物体在同一路径的一定位置附近作重复往 返运动称为机械振动。返运动称为机械振动。特点：特点：特点：特点：有平衡点，且具有重复性。有平衡点，且具有重复性。机械振动一般概念机械振动一般概念机械振动分类机械振动分类按按规律规律规律规律：简谐、非简谐、随机振动。：简谐、非简谐、随机振动。按按原因原因原因原因：自由、受迫、
4、自激、参变振动。：自由、受迫、自激、参变振动。按按位移位移位移位移：角振动、线振动。：角振动、线振动。按按参数特征参数特征参数特征参数特征：线性、非线性振动。：线性、非线性振动。简谐振动简谐振动振动可分为振动可分为简单简单简单简单与与复杂复杂复杂复杂2动画动画简谐振动是最简单、最基本的振动形式。简谐振动是最简单、最基本的振动形式。一切复杂的振动可认为是许多简谐运动的合成。一切复杂的振动可认为是许多简谐运动的合成。任何复杂的振动都可以分解为一些简谐振动的叠加。任何复杂的振动都可以分解为一些简谐振动的叠加。一、简谐振动一、简谐振动(Simple harmonic motion)物体相对于平衡位置的
5、位移按余弦（或正弦）物体相对于平衡位置的位移按余弦（或正弦）函数的规律随时间变化。函数的规律随时间变化。1.简谐振动的定义及规律简谐振动的定义及规律3独立性和可叠加性独立性和可叠加性独立性和可叠加性独立性和可叠加性o4理想模型理想模型弹簧振子弹簧振子1）简谐振动的动力学规律）简谐振动的动力学规律 质点在某位置受力为零质点在某位置受力为零 平衡位置平衡位置平衡位置平衡位置取为坐标原点取为坐标原点 离开平衡位置，质点受的力总是与质点相对离开平衡位置，质点受的力总是与质点相对平衡位置的位移成正比，并指向平衡点。平衡位置的位移成正比，并指向平衡点。根据牛顿定律：根据牛顿定律：则则：即即：令：令：得：得
6、：动力学方程动力学方程动力学方程动力学方程mkkx.mxxF恒量恒量恒量恒量系统在系统在弹性力弹性力弹性力弹性力或回复力或回复力作用下运动作用下运动动画动画广义地广义地Q作简谐振动作简谐振动2）简谐振动的运动学规律简谐振动的运动学规律弹簧振子的位移弹簧振子的位移即求方程：即求方程：的解的解显然方程的解：显然方程的解：或：或：A、为积分常数（待定）为积分常数（待定）由初始条件来确定由初始条件来确定 简谐振动的运动学特征：简谐振动的运动学特征：x 随随 t 按余弦规律变化按余弦规律变化运动方程：运动方程：定义：定义：定义：定义：物体离开平衡位置的位移（或角位物体离开平衡位置的位移（或角位移）按正弦
7、或余弦函数的规律随时间变化移）按正弦或余弦函数的规律随时间变化的运动为简谐振动。的运动为简谐振动。简谐振动简谐振动方程方程5任意物理量任意物理量3）振子的振动速度及加速度）振子的振动速度及加速度速度：速度：加速度：加速度：振子的速度振子的速度v、加速度、加速度a 均随均随 t 按余弦函数规律变化按余弦函数规律变化v、a 作简谐振动作简谐振动作简谐振动作简谐振动1）振动周期振动周期T余弦函数的变化周期为余弦函数的变化周期为2 ：2.简谐振动的周期、频率或圆频率、位相的意义简谐振动的周期、频率或圆频率、位相的意义谐振的谐振的周期周期周期周期，每隔，每隔T 时间运动完全重复时间运动完全重复一次完整振
8、动所需的时间一次完整振动所需的时间62）频率、圆频率频率、圆频率由系统本身性质决定由系统本身性质决定决定于系统内在性质。决定于系统内在性质。称为称为振动频率振动频率振动频率振动频率(固有频率固有频率)，单位时间内振动的次数。单位时间内振动的次数。称为称为角频率角频率角频率角频率（或圆频率）（或圆频率）单位时间内位相的变化值单位时间内位相的变化值3.简谐振动的振幅、位相、初位相的意义简谐振动的振幅、位相、初位相的意义1）振幅振幅A振动中最大位移量振动中最大位移量7结论结论结论结论:2)位相位相位置状态位置状态任意任意 t 时刻，振子的运动状态时刻，振子的运动状态取决于取决于 (t)=0t+如：如
9、：如：如：0t+=0 x=Av=0 x=0a=0当当t=0 时：时：一般：一般：A、0(或或 T)、为系统的三个特征量，为系统的三个特征量，若已知若已知A、0(或或T)、就就唯一确定唯一确定唯一确定唯一确定了一个简谐振动。了一个简谐振动。振幅振幅 A 决定振动的范围；决定振动的范围；0、T 决定振动的快慢；决定振动的快慢；t=0时刻振子的运动状态。时刻振子的运动状态。位相位相 0t+=/2 (t)=初位相初位相 (t)=0t+初位相初位相Aa02-=Av0-=8描述简谐振动的物理量描述简谐振动的物理量 描述运动状态描述运动状态：位置、速度：位置、速度平衡位置平衡位置平衡位置平衡位置 o o：振
10、动物体所受合外力为零振动物体所受合外力为零 位移位移位移位移 x x：振动物体任一时刻离开平衡位置的距离：振动物体任一时刻离开平衡位置的距离振幅振幅振幅振幅 A A：振动物体离开平衡位置的最大距离振动物体离开平衡位置的最大距离周期周期周期周期 T T：物体完成一次全振动所需的时间：物体完成一次全振动所需的时间频率频率频率频率 ：物体在单位时间内完成全振动的次数：物体在单位时间内完成全振动的次数圆频率圆频率圆频率圆频率 0 0：描述简谐振动快慢的物理量：描述简谐振动快慢的物理量位相位相位相位相 (t t)=)=0 0t+t+：任一时刻：任一时刻 t 的运动状态的运动状态初位相初位相初位相初位相
11、：表征振子在：表征振子在t=0 时刻的运动状态时刻的运动状态93.特征量特征量 A、0、的求法的求法1）求求 0由受力分析，可写出振子所受的合外力由受力分析，可写出振子所受的合外力根据由牛顿定律（牛顿第二定律）列方程根据由牛顿定律（牛顿第二定律）列方程2）求求 A、以弹簧振子为例以弹簧振子为例与谐振的动力学与谐振的动力学 方程相比较方程相比较A、为积分常数（待定）为积分常数（待定）由初始条件来确定。由初始条件来确定。10振幅振幅振幅振幅初位相初位相初位相初位相由此可得出：由此可得出：t=0 时：时：x=x0 ,v=v0例：例：例：例：某物体沿某物体沿x轴作简谐振动，其振动周期轴作简谐振动，其振
12、动周期T=，t=0时，时，x0=4m，v0=6m/s，且向右运动。求物体的运动方程。，且向右运动。求物体的运动方程。解：解：解：解：rad/s=5 m=36.87o舍去舍去舍去舍去(m)为所求的运动方程为所求的运动方程 143.13o11(1)(2)动画动画3.简谐振动的例子简谐振动的例子例例例例1.1.求证一单摆的摆角求证一单摆的摆角 很小时，其运动为简谐振动，很小时，其运动为简谐振动，并求其周期并求其周期T。（忽略空气摩檫）。（忽略空气摩檫）mgFt单摆在运动方向受力：单摆在运动方向受力：Ft=mgsin 证明：证明：证明：证明：切向力切向力 为质点的角位移为质点的角位移可见：可见：Ft
13、起回复力的作用起回复力的作用准弹性力准弹性力又：又：特征：特征：特征：特征：摆动周期：摆动周期：令：令：即得：即得：简谐振动简谐振动简谐振动简谐振动注：注：注：注：较大时系统较大时系统 不是简谐振动不是简谐振动l12单摆的应用单摆的应用通过测通过测T，来测，来测g例：例：例：例：一位月球探险家，安装了一个长为一位月球探险家，安装了一个长为860mm的单摆，的单摆，并测出在微小位移时摆的周期并测出在微小位移时摆的周期 T=4.6s，g月月=？显然：显然：可得：可得：=1.6 m/s2物理的前沿问题物理的前沿问题在单摆的讨论中，隐含了一个前提条件：在单摆的讨论中，隐含了一个前提条件：mm惯惯惯惯=
14、mm引引引引mgF Ft tm惯惯=m引引等效原理等效原理等效原理等效原理？若：若：m惯惯=m引引则：则：13动画动画l2y例例例例2.2.将一倔强系数为将一倔强系数为k的轻质弹簧竖直悬吊。最初弹簧没的轻质弹簧竖直悬吊。最初弹簧没 有拉伸，然后把质量为有拉伸，然后把质量为m的物块加到另一端，达到平的物块加到另一端，达到平 衡时，弹簧伸长了衡时，弹簧伸长了l1，物块又被向下拉了，物块又被向下拉了l2 后，静止后，静止 释放。释放。(1)证明系统作简谐振动。证明系统作简谐振动。(2)求其振动方程求其振动方程.kmyl1m(1)证明：证明：证明：证明：取系统平衡点为坐标原点取系统平衡点为坐标原点o
15、o设时刻设时刻t，振子运动到，振子运动到 y处处其受力：其受力：mgF弹弹而振子在而振子在o点处：点处：F=0即：即：即：即：kl1=mg又：又：则：则：则：则：令：令：令：令：系统作简谐振动系统作简谐振动系统作简谐振动系统作简谐振动(2)v=0 sin =0 =0t=0y=l2Acos =l2 0A=l2 o o14简谐振动的描述方法简谐振动的描述方法1.解析法解析法由由 x=Acos(t+)已知表达式已知表达式 A、T、已知已知A、T、表达式表达式2.曲线法曲线法 已知曲线已知曲线 A、T、已知已知 A、T、曲线曲线oxmx0=0oA-Atx =/2T3.旋转矢量法旋转矢量法(rotati
16、onal vector)15动画动画 t+oxxt=tt=0 x=A cos(t+)v A是振幅矢量是振幅矢量旋转矢量法旋转矢量法非常形象而方便地描述简谐振动非常形象而方便地描述简谐振动二、简谐振动的矢量表示法二、简谐振动的矢量表示法 1.1.投影点的运投影点的运投影点的运投影点的运动就是一特定的动就是一特定的动就是一特定的动就是一特定的简谐振动。简谐振动。简谐振动。简谐振动。三个特征量的几何意义：三个特征量的几何意义：振幅振幅A 圆周半径圆周半径固有频率固有频率 0 0匀角速度匀角速度(t)与与 旋转矢量与旋转矢量与x轴的夹角轴的夹角参考圆参考圆(circle of reference)ci
17、rcle of reference)圆心圆心 o平衡点平衡点162.2.旋转矢量与速度旋转矢量与速度旋转矢量与速度旋转矢量与速度 v v、加速度、加速度、加速度、加速度a a.x在在x轴上的投影：轴上的投影：匀速圆周运动的速度：匀速圆周运动的速度：即简谐振动的速度：即简谐振动的速度：)sin(+-=tAv00an在在x轴上的投影：轴上的投影：)cos(2 +-=tAa00旋转矢量端点的加速度：旋转矢量端点的加速度：即简谐振动的加速度：即简谐振动的加速度：.x +t0 旋转矢量作匀速转动时，其端点的位置、旋转矢量作匀速转动时，其端点的位置、速度、加速度在速度、加速度在 x 轴上的投影，等于一特定轴上的投影，等于一特定的简谐振动的位移、速度、加速度。的简谐振动的位移、速度、加速度。结论结论17作作 业业15 T1T11 预习预习15章章3、4节节要求：要求：作图作图