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1、二次函数与直线问题常见模型一、抛物线上三点组成的三角形成直角三角形一、抛物线上三点组成的三角形成直角三角形模型：如图，抛物线上有三点模型：如图，抛物线上有三点 A A、B B、C C，ABABACAC，若有如下三个条件：抛物线已知，若有如下三个条件：抛物线已知ABAB 过定点，过定点，BCBC 过定过定点，三个条件中只要知道二个就可以求第三个点，三个条件中只要知道二个就可以求第三个此题的方法主要是通过相似列出A,B,C 三点之间的横坐标与纵坐标的关系，然后结合直线 BC 的解析式以及根与系数关系，来求解已知抛物线解析式：y ax2bxc，请同学们完成以下化简：yc yAyc yAxc xAxA
2、 xBy xA xBB yAyA yB例 1（2014 年武汉中考第 25 题第三问）如图，已知直线ABAB：y ykxkx2k k4 与抛物线 y y12x x2交于 A A、B B 两点若在抛物线上存在定点 D 使ADB90，求点 D 到直线 AB 的最大距离例 2（2016 年武汉四调第 24 题第 2 问）如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 M：y 12x25经过点 C(2，3)，直线 ykxb 与抛物线相交于 A、B 两点，ACB90，猜想猜想：我们猜想直线 AB 必经过一个定点 Q，其坐标为请取点 B 的横坐标为 n，验证你的猜想；练习 1：已知抛物线y 12x2.点
3、P(-2，4)关于 y 轴的对称点P，过P作直线 EF 交抛物线于 E、F，点 H 在抛物线上一定点，且EHF=90，求SPHO.y yE EPPF FH HO Ox x2.已知抛物线 yx21,抛物线交抛物线交 x x 轴正半轴于轴正半轴于 A A 点，点，MM、N N 在抛物线上，在抛物线上，MAMANANA，试说明，试说明 MNMN 恒过定点，并求此定恒过定点，并求此定点的坐标点的坐标3.（2016 三寄宿中考模拟）已知抛物线y ax21与 x 轴交于点 A、B（点 A 在 B 点左侧），且与直线y 2x 2仅有一个公共点（1）求 A、B 两点的坐标（2）如图，作MBN=90,交抛物线于
4、 M.N 两点，则直线 MN 必过定点 Q,求点 Q 的坐标yx二、抛物线上三点组成的三角形的内心在经过期中一点的并且平行于二、抛物线上三点组成的三角形的内心在经过期中一点的并且平行于 x x 轴的水平直线上轴的水平直线上模型：如图，抛物线上有三点模型：如图，抛物线上有三点A A、B B、C C，若有如下：，若有如下：A A 定点（坐标已知）定点（坐标已知）抛物线已知，抛物线已知，BCBC 直线直线 k k 已知，三已知，三个条件中只要知道二个就可以求第三个个条件中只要知道二个就可以求第三个抛物线解析式：y ax2bxc直线 BC：y kxnyBC yAyA yx xAByC yAx yC y
5、AA xCxC xA例 1（2014 四调第 25 题第 2 问）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线c1：yax24a4(a0)经过第一象限内的定点P（1）直接点 P 的坐标；（2）（2）直线 y2xb 与抛物线 c1在相交于 A、B 两点，如图 1 所示，直线 PA、PB 与 x 轴分别交于 D、C 两点，当 PDPC 时，求 a 的值；y yB BP PA AD DO OC Cx x2例 2.（2016 洪山区中考模拟一第 24 题第 2 问）已知抛物线y(m1)x(m2)x1 与x轴交于A、B两点,若m1，且点A在点B的左侧，OAOB13.（1）试确定抛物线的解析式（解析式：y 13x2
6、23x 1）（2）直线y kx3与抛物线交于 M、N 两点，若AMN 的内心在k的值。轴上，求练习 1：已知抛物线上有 A、B、C、D 四点，且 A、D 关于轴对称，直线与抛物线相切，BCDE求证：AD 平分BAC2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2-2ax-3 与 x 轴交于 A、B，且 AB=4，与 y 轴交于 C 点，（1）求抛物线的解析式：y x22x3（3 3）若平行于直线）若平行于直线 ACAC 的直线与抛物线交于的直线与抛物线交于 MM、N N 两点，若抛物线上存在一个定点两点，若抛物线上存在一个定点 D D，使过，使过 D D 点且平行于点且平行于 x x 轴的直线
7、轴的直线DEDE 平分平分MDNMDN，求，求 D D 点坐标和点坐标和ADADCDCD的值的值y yMMy yA AO O P PQ QB Bx xA AO OE EB BD Dx xC CC CN N3.如图，在直角坐标系中，二次函数 yx24x 的顶点是 C，与 x 轴相交于 A、B 两点（A 在 B 的左边）点 D、E 同时从点 B 出发，在抛物线上分别向左、向右移动，DMx 轴于 M，ENx 轴于 N设 BMm（mOB），BNn，当 m、n 满足怎样的等量关系时，ODE 的内心在 x 轴上三、直线与抛物线相交，交点与对称轴上一点组成的三角形（三点组成的三角形内心在对称轴上）例 1 已
8、知抛物线，点、为抛物线点任意作一对称条直轴上两点，且关于抛物线顶点对称，过线与抛物线交于、(1)求抛物线的解析式CE的最小值AE(3)直线 ykxb（k0）与抛物线 C1交于 M、P 两点，交抛物线 C1对称轴于 Q（Q 在 x 轴下方），交 x 轴于点 D，M、N 两点(2)将抛物线 C1向上平移一个单位，再沿 BA 方向平移，得到抛物线 C2，若抛物线 C2与线段 AC 交于点 E，求关于抛物线 C1的对称轴对称，NP 的延长线交抛物线的对称轴于 G，如图 2，求证：DGDQ两点，求证：抛物线对称轴平分练习：1.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线y 12x23x 92交 y 轴于点 E，C 为抛物线的顶点，直线 AD：y=kx+b（k0）与抛物线相交于A，D 两点（点 D 在点 A 的下方）.练习练习 2 2：（20152015 广雅二中中考模拟）广雅二中中考模拟）已知抛物线 C1：yx22xc 经过 x 轴上的点 A，与y 轴交于点 B，直线 AB 的解析式为 yx1，B、C 关于 x 轴对称，如图 1