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1、新课标高中数学新课标高中数学新课标高中数学新课标高中数学专题复习专题复习专题复习专题复习1第五单元第五单元数列、推理与证明数列、推理与证明2第第34讲讲简单递推数列简单递推数列31.了了解解递递推推公公式式也也是是给给出出数数列列的的一一种种方方法法，并并能能根根据据递递推推公公式式求求出出满满足足条条件的项件的项.2.掌掌握握简简单单递递推推数数列列的的通通项项公公式式的的求法求法.3.熟熟悉悉递递推推公公式式模模型型，灵灵活活应应用用求求解通项及前解通项及前n项和项和.41.已知数列已知数列an满足满足a1=1,an-an-1=(n2),则则an=.-+1 an=(an-an-1)+(an
2、-1-an-2)+(a2-a1)+a1=(-)+(-)+(-)+1=-+1.52.已知已知a1=1,an=an+1,则则an=.由由 =得，得，=,=,=.以上各式累乘得以上各式累乘得an=.63.数列数列an中中,a1=1，对所有的，对所有的n2都有都有a1a2a3an=n2,则则a3+a5=.因为因为a1a2a3=32,a1a2=22,所以所以a3=.因为因为a1a2a3a4a5=52,a1a2a3a4=42,所以所以a5=,所以所以a3+a5=+=.74.(2010长长郡郡中中学学)已已知知对对任任意意正正整整数数n，a1+a2+a3+an=2n-1,则则 a12+a22+a32+an2
3、等于等于()CA.(2n-1)2 B.(2n-1)C.(4n-1)D.4n-1 易易知知a1=1,当当n2时时,an=Sn-Sn-1=2n-1，a1也也适适合合，故故an是是以以2为为公公比比的的等等比比数数列列，则则an2是是以以1为为首首项项，以以4为为公公比比的的等等比比数数列，故列，故S=(4n-1).85.已知已知a1=3,f(x)=x2,且且an+1=f(an),则则an=.32n-1由由a1=3,a2=a12=32,a3=a22=34,知知an=32n-1.9常见递推数列的通项公式的求法常见递推数列的通项公式的求法(1)若若an-an-1=f(n),求求an可用可用 法法.an=
4、(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1(n2).(2)若若 =f(n),求求an可用可用 法法.an=a1(n2).(3)已知已知a1a2an=f(n),求求an,用用 法法 f(1)(n=1)(n2).迭加迭加累乘累乘an=作商作商10(4)若若an+1=f(an),求求an可用可用 法法.(5)若若an+1=kan+b,则则可可化化成成(an+1+x)=k(an+x),从从而而an+x是是 数数列列，其其中中x可可以以由由 求出求出.(6)若若an=kan-1+bn(k,b为为常常数数)，可可以以用用待待定定系数法转化为公比为系数法转化为公比为k的等比数列，再求的
5、等比数列，再求an.(7)若若数数列列an满满足足a1=a,a2=b,an+2=pan+1+qan,则则可可化化为为(an+2-xan+1)=y(an+1-xan),其其中中x,y可可用用待待定定系系数数法法求求得得,从从而而an+1-xan构成构成 数列数列.迭代迭代等比等比待定系数法待定系数法等比等比11(8)若若 an+1an+pan+qan+1=0,可可 化化成成 1+=0,令令 =bn，从从而而上上式式变成变成bn+1=kbn+b型型.(9)已已知知an Sn的的递递推推关关系系，先先化化归，再求归，再求an或或 Sn，化归常用作差法：，化归常用作差法：S1 (n=1)Sn-Sn-1
6、 (n2).an=12题型一题型一 叠加、叠乘法叠加、叠乘法例例1 (1)在在 数数 列列 an中中，a1=1，an+1=an+3n2,求数列求数列an的通项公式；的通项公式；(2)已已 知知 数数 列列 an满满 足足 a1=1，an=a1+2a2+3a3+(n-1)an-1(n2)，求求数列数列an的通项公式的通项公式an.13 (1)由题意，由题意，an+1=an+3n2，a1=1，所以所以a2=a1+312,a3=a2+322,a4=a3+332,an-1=an-2+3(n-2)2,an=an-1+3(n-1)2，逐项相加，得逐项相加，得an=a1+312+22+(n-1)2 =1+3
7、 =1+.14(2)当当n2时时,有有an=a1+2a2+3a3+(n-1)an-1,an+1=a1+2a2+3a3+(n-1)an-1+nan,由由-,得得an+1-an=nan,即即an+1=(n+1)an,所以所以an=a2=n(n-1)a2.由于由于a2=a1=1，a3=a1+2a2=3，则当则当n2时时,an=n(n-1)(n-2)a2 =n(n-1)(n-2)3,1 (n=1)n(n-1)(n-2)3 (n2).所以所以 an=15 对对an+1-an=f(n)型型和和 =g(n)型型可可以以采采用用叠叠加加或或叠叠乘乘，只只要要叠叠加加或或叠叠乘乘后后右右边边可可以以化化简简即即
8、可可，同同时时要要注注意意自自变量变量n的取值范围的取值范围.16已知数列已知数列an满足满足a1=1,an=3n-1+an-1(n2).(1)求求a2,a3;(2)证明：证明：an=.17 (1)因为因为a1=1,所以所以a2=3+1=4,a3=32+4=13.(2)证明：由已知证明：由已知an-an-1=3n-1(n2),故故an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1 =3n-1+3n-2+3+1=.n=1也适合上式也适合上式.所以证得所以证得an=.18题型二题型二 直接转化为等差、等比数列型直接转化为等差、等比数列型例例2 已知数列已知数列an,bn满足满足
9、a1=2,b1=1,且且an=an-1+bn-1+1 bn=an-1+bn-1+1(n2).(1)令令cn=an+bn,求数列求数列cn的通项公式；的通项公式；(2)求数列求数列an的通项公式及前的通项公式及前n项和公式项和公式Sn.19 (1)由题设得由题设得an+bn=(an-1+bn-1)+2(n2),即即cn=cn-1+2(n2).易易知知cn是是首首项项为为a1+b1=3,公公差差为为2的的等等差差数列数列,所以通项公式为所以通项公式为cn=2n+1(nN*).20(2)由题设得由题设得,an-bn=(an-1-bn-1)(n2).令令dn=an-bn,则则dn=dn-1(n2).易
10、易知知dn是是首首项项为为a1-b1=1,公公比比为为 的的等等比比数数列列，通项公式为通项公式为dn=.an+bn=2n+1 an-bn=,解得解得an=+n+.求和得求和得Sn=-+n+1.由由 本本题题考考查查等等差差、等等比比数数列列的的基基础础知知识识，考考查查基基本本运运算算能能力力，解解答答关关键键是是将将原原问问题题转转化化为为熟熟知知的的等等差差、等等比比数列问题求解数列问题求解.21题型三题型三 变形、构造转化为变形、构造转化为等差、等比数列等差、等比数列例例3 (1)已已知知数数列列an，其其中中a1=10，且且当当n2时时，an=，求求数数列列an的的通通项项公公式式a
11、n；(2)在在正正项项数数列列an中中，a1=10，an+12=an3，求数列求数列an的通项公式及前的通项公式及前5项之和项之和.22 (1)将将an=两边取倒数得两边取倒数得 -=(n2)，即即 是是以以 =为为首首项项，以以 为为公公差差的等差数列，的等差数列，所所以以 =+(n-1)=,即即an=.n=1也适合上式也适合上式.23(2)因为因为an+12=an3，即，即2lgan+1=3lgan,所所以以 =,即即lgan是是以以lga1=1为为首首项项，以以 为公比的等比数列为公比的等比数列.所以所以lgan=1()n-1,即即an=10()n-1,所以所以a1a2a3a4a5=10
12、()010()110()210()310()4=10()0+()1+()2+()3+()4=.24 形形如如an+1=，去去分分母母后后变变为为an+1an+pan+qan+1=0,再再化化为为 +=0，令令 =bn，从从而而上上式式可可变变为为bk+1=kbn+b型型；形形如如an+1p=anq型型，两两边边取取对对数数，从从而而直直接接转转换换，但但应应注注意大前提意大前提“为正为正”.25题型四题型四 待定系数构造法待定系数构造法例例4 已已知知数数列列an中中，其其中中a1=，且且an+1=-2an+5，求，求an的前的前n项和项和Sn.由题意，原递推式可变形为由题意，原递推式可变形为
13、an+1+=-2(an+)，即即an+1=-2an-3,与原递推式比较得与原递推式比较得=-,26所以有所以有an+1-=-2(an-),故数列故数列an-是以是以a1-=1为首项，为首项，-2为为公比的等比数列公比的等比数列.则则an-=1(-2)n-1，即，即an=+(-2)n-1,所以所以Sn=a1+a2+an=+(-2)0+(-2)1+(-2)n-1=n+=n-(-2)n+.27 待待定定系系数数法法是是从从数数列列递递推推式式特特征征规规范范、构构造造一一个个新新数数列列，变变换换形形式式如如下下：(1)an+1=Aan+B(A、B为为常常数数)型型，可可 化化 为为 an+1+=A
14、(an+)的的 形形 式式；(2)an+1=Aan+Bcn型型，可可 化化 为为 an+1+cn+1=A(an+cn)的的 形形 式式；(3)an+2=Aan+1+Ban型型，可可转转化化为为an+2+an+1=A(an+1+an)的的形形式式；(4)an+1=Aan+Bn+C型型，可可化化为为an+1+1(n+1)+2=A(an+1n+2)的的形形式（其中式（其中A、B、C均为常数均为常数).28 设设数数列列an的的前前n项项和和为为Sn.已已知知ban-2n=(b-1)Sn(nN*).(1)证证明明：当当b=2时时，数数列列an-n2n-1是是等比数列；等比数列；(2)求数列求数列an的
15、通项公式的通项公式.29 由由题题设设，得得a1=2.又又ban-2n=(b-1)Sn,则则ban+1-2n+1=(b-1)Sn+1,两两式式相相减减，得得b(an+1-an)-2n=(b-1)an+1,即即an+1=ban+2n.(*)(1)证证明明：当当b=2时时，由由(*)式式得得an+1=2an+2n,于于是是有有an+1-(n+1)2n=2(an-n2n-1),且且a1-20=10，所所以以an-n2n-1是是以以1为为首首项项，2为为公公比比的的等等比比数列数列.30(2)当当b=2时，由时，由(1)知知,an=(n+1)2n-1.当当b2时，时，由由(*)式知式知,=+,所以所以
16、 +=(+)(nN*)，所以所以 +是以是以 +=1+=为为首项，首项，为公比的等比数列为公比的等比数列.所以所以 +=()n-1,即即an=(2b-2)bn-1-2n(nN*).31 对于型如递推式对于型如递推式an+1=pan+f(n)(p1,pR,f(n)为指数式）为指数式）,常常转化为常常转化为 =p +q，即，即An+1=pAn+q，然后，然后代入复合等比数列代入复合等比数列an+1+r=p(an+r)，其中，其中r=，再求通项，再求通项.321.一一是是要要熟熟练练掌掌握握常常见见的的递递推推数数列列的的通通项项公公式式的的求求法法.如如迭迭加加型型，累累乘乘型型等等.二二是是会会
17、将将问问题题转转化化为为等等差差、等等比比数数列列，而而转转化化的的方方法法在在于于合合理理构构造造，常常用用的的手手段有：段有：(1)构造构造an+x,x为常数；为常数；(2)构造构造an+1-xan，x为常数；为常数；33(3)构造构造 ;(4)构造构造 ;(5)构造构造an+f(n).2.不不等等式式与与递递推推关关系系综综合合问问题题，方方法法与与相相等等关关系系中中类类似似，常常有有放放缩缩法法化化归归为为等等比比数数列列求求和和或或易易求求和和型型，从从而而证得不等式证得不等式.34学例1 (2009重庆卷重庆卷)设设a1=2，an+1=，bn=|，nN*，则数列，则数列bn的通项
18、的通项bn=.2n+1 由题意得由题意得bn+1=2 =2bn.且且b1=4，所以数列，所以数列bn是首项为是首项为4，公比为，公比为2的等的等比数列，则比数列，则bn=42n-1=2n+1.35学例2 (2009全国卷全国卷)在数列在数列an中，中，a1=1,an+1=（1+)an+.(1)设设bn=，求数列，求数列bn的通项公式；的通项公式；(2)求数列求数列an的前的前n项和项和Sn.36 (1)由已知得由已知得b1=a1=1,且且 =+,即即bn+1=bn+.从而从而b2=b1+,b3=b2+,bn=bn-1+(n2),于是于是bn=b1+=2-(n2).又又b1=1,故数列故数列bn的通项公式为的通项公式为bn=2-(nN*).37(2)由由(1)知知an=n(2-)=2n-.令令Tn=,则则2Tn=.于是于是Tn=2Tn-Tn=-=4-.又又 =n(n+1)，所以所以Sn=n(n+1)+-4.38本节完，谢谢聆听立足教育，开创未来立足教育，开创未来39