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1、现代电力系统分析现代电力系统分析（下册）（下册）任课教师：葛少云研究生学位课：五、同步电机转子运动方程式 电力系统受扰动后发电机之间相对运动的特性，表征电力系统稳定的性质。为了较准确和较严格地分析电力系统的稳定性，必须首先建立描述发电机转子运动的动态方程-发电机转子运动方程。(一)刚性转子情况下的同步机转子运动方程 当原动机和发电机的转子视为一个刚体时，整个发电机组的转子运动方程为：(1-99)其中：式中：TJ发电机组的惯性时间常数 Wk为转子在同步转速下的动能 Tm*和Te*分别为原动机的机械转矩和发电机 输出的电磁转矩的标幺值。由于转矩与转子机械转速 的乘积为相应的功率，且/s=/s,故可
2、以导出用标幺值表示的原动机机械功率 Pm*发电机电磁功率Pe*与转矩Tm*和Te*的关系分别为：Pm*=Tm*Pe*=Te*(1-100)实际上，转子因存在摩擦和风阻而产生阻尼转矩，一般近似认为它与转速成正比，可用阻尼系数D表示为D*。当转子q轴与系统同步转速参考轴x之间的电角度d d 以弧度为单位时，d d 对时间的导数便是转子与同步转速之间的相对转速。应用式（1-100）并计及阻尼转矩的作用，可以将式(1-99)写成如下状态方程形式：如果 t 和 TJ 都用标幺值表示，且 tB=1/s 则：(1-102)发电机转子运动方程，是电力系统稳定分析计算中最基本的方程。在多机电力系统中，系统受扰动
3、后发电机之间的相对运动，是用这些方程的解 d di(t)-d dj(t)来描述的，这些解也是用来判断系统稳定性的最直接的判据。方程式初看似乎简单，但它的右函数，即不平衡转矩(或功率)却是很复杂的非线性函数。右函数的Tmi 是第 i 台发电机的原动机的转矩(或功率Pmi)，它主要取决于本台发电机的原动机及其调速系统的特性。右函数的Tei 是第i台发电机的电磁转矩(或功率Pei)，它不单与本台发电机的电磁特性、励磁调节系统特性等有关，而且还与其它发电机的电磁特性、负荷特性、网络结构等有关，它是电力系统稳定分析计算中最为复杂的部分。(主要工作量取决于它的描述和计算。)第五节 负荷的数学模型负荷是电力
4、系统的一个重要组成部分，其数学模型的准确程度对于电力系统暂态分析结果的精度有很大的影响。对于每一种负荷(如感应电动机、白炽灯或整流型负荷等等)，要建立它的准确模型并不十分困难。在电力系统暂态分析中，需要知道的是反映某一个节点(例如区域变电所低压母线)的全部负荷，即所谓综合负荷动态性能的数学模型。由于综合负荷由各种不同种类的负荷所组成，不仅其组成情况随时变化，而且各个节点的负荷组成情况也不相同，因此要准确获得负荷的数学模型是很困难的。参考文献中曾对负荷的数学模型进行过不少研究，但至今尚无一种比较满意的结果。下面将介绍几种目前应用较为广泛的负荷数学模型。一、恒定阻抗模型最简单的负荷模型是将负荷用恒
5、定阻抗模拟，即认为在暂态过程中负荷的等值阻抗保持不变，其数值由扰动前稳态运行情况下负荷所吸收的功率和负荷节点的电压来决定。这种模型比较粗略，但由于它比较简单，在计算精度要求不太高的情况下仍获得了广泛应用。根据暂态稳定计算给定的运行条件，算出负荷点的电压VLD0和功率PLD0+jQLD0的值。由此，负荷的恒定导纳为：将此导纳接入负荷节点，原网络的节点数不变。二、负荷的静态特性模型 所谓负荷的静态特性是指当电压或频率变化比较缓慢时，负荷吸收的功率与电压或频率之间的关系。负荷静态特性曲线的一般形状如图所示。(一)用多项式表示负荷的电压和频率特性 负荷的电压静特性常采用二次多项式进行拟合。一般这种拟合
6、所得出的结果在相当大的电压范围内都能获得足够的精度。因此，负荷的数学模型可表示为 其中，PL*、QL*、UL*的基准值一般取扰动前稳态运行情况下负荷本身所吸收的有功、无功和负荷节点的电压。显然，在上式中各个系数满足以下关系：aP+bP+cP=1 aQ+bQ+cQ=1由此不难看出，这种数学模型实际上相当于将负荷分为恒定阻抗、恒定电流和恒定功率三部分。对于负荷的频率静特性，由于暂态过程中节点频率的变化一般不大，通常用稳态运行点的切线来近似模拟，即式中：f*的基准值为系统的额定频率；f*为频率偏移。当同时考虑电压和频率变化时，负荷的数学模型为 (二)用指数形式表示负荷的电压和频率特性 将负荷的电压静
7、特性和频率静特性分别在稳态运行点附近表示成指数形式，即 同理，可得 采用以上两种方式的负荷模型，关键在于获得其中的系数(或指数)。对此，可以采用两种方法：一种是根据综合负荷的组成情况，按行业或按负荷性质，将它们的典型数据进行综合而得；另一种方法是通过对负荷进行现场试验而得。否则，只好采用某些估计值。二、负荷的动态特性模型 显然，在负荷电压变化比较剧烈的情况下，采用静态特性模型将造成比较大的误差。为此，需要考虑负荷的动态特性模型。由于电力系统负荷的主要成分是感应电动机，因此，负荷的动态特性主要决定于感应电动机的暂态过程。按模拟感应电动机暂态过程详细程度的不同，可以分为以下两种负荷动态特性模型。(
8、一)考虑感应电动机机械暂态过程的负荷动态特性模型 对于这种模型，只考虑负荷中感应电动机的机械暂态过程而忽略其电磁暂态过程。在此情况下，就一台感应电动机而言，它的动态过程便可以用如图所示的感应电动机等值电路来模拟，但应考虑其转差，s=(w ws-w w)w ws，在动态过程中的变化。这是因为电动机端电压发生变化后，将使其电磁转矩TeM 发生变化，从而破坏了它与电动机所带机械负载的机械转矩 TmM 之间的平衡，使转速发生相应的变化。转差变化的规律可以用电动机的转子运动方程，即 （1-142）来描述，其推导过程与同步电机转子运动方程式相同，但应注意这里的转矩正方向规定与同步发电机的相反。由电机学知，
9、感应电动机的电磁转矩可以表示为 （1-143）式中：TeMmax 为感应电动机在额定电压下的最大电磁转矩；ULN 和UL 分别为感应电动机端电压的额定值和实际值。scr为临界转差。机械转矩与机械负载的性质有关，一般可表示为 TmM=ka a+(1-a a)(1-s)pm （1-144）式中：a为机械负载转矩中与转速无关部分所占的比例；pm为与机械负载特性有关的指数；k为电动机的负荷率，由稳态运行情况下TeM与TmM相平衡的条件决定。根据图（1-23）的等值电路，可以得出感应电动机的等值阻抗为 （1-145）式(1-142)(1-145)组成了单台感应电动机的数学模型。实际上：在一个节点处的综合
10、负荷中总是含有很多台感应电动机，它们具有不同的型号和容量，其机械负载的性质和大小也各不相同。而且除了感应电动机以外，综合负荷中还包含其它的负荷成分，情况十分复杂。因此，在建立综合负荷动态特性模型时，不得不采用一些简化处理方法。现简介如下：(1)将稳态运行情况下节点负荷吸收的总功率按一定比例分为感应电动机吸收的总功率和其他负荷成分吸收的总功率两部分。后者可根据稳态运行情况下的节点电压采用恒定阻抗或静态特性模型；前者则可根据功率和电压，求出全部感应电动机在稳态下的等值阻抗。(2)认为所有感应电动机都是某种典型的感应电动机，从而用一台典型感应电动机的数学模型和计算结果来反映全部感应电动机的动态过程。
11、为此，可将式(1-142)(1-145)中的参数R1、X1、R2、X2、Rm m、Xm m、scr、TeMmax、TJM、k、a a、pm和稳态转差s(0)取为一组典型的数值，先用式(1-145)计算出这台典型感应电动机在稳态下的等值阻抗ZM(0)。然后用式(1-142)(1-145)计算暂态过程中各个时刻的等值阻抗ZM，并按照稳态下全部感应电动机的等值阻抗ZLM(0)和典型电动机的等值阻抗ZM(0)的比值进行折算，就可得出全部电动机在相应时刻的阻抗ZLM，即 (二)考虑感应电动机机电暂态过程的负荷动态特性模型 与前一种负荷模型相比，这种模型进一步考虑了典型感应电动机转子绕组中的电磁暂态过程，
12、但忽略定子回路的电磁暂态过程，其暂态过程方程式参见相关文献和教材。综合负荷的数学模型对暂态过程的分析结果有重大的影响。虽然近年来进行了很多研究工作，并提出了对负荷模型和参数的在线辨识方法，但至今尚未得到满意的结果，并有待进一步研究。第二章 电力系统电磁暂态过程分析 第一节 概 述 在电力系统发生故障或操作后，将产生复杂的电磁暂态过程和机电暂态过程，电磁暂态过程主要指各元件中电场和磁场以及相应的电压和电流的变化过程，机电暂态过程则指由于发电机和电动机电磁转矩的变化所引起电机转子机械运动的变化过程。虽然电磁暂态过程和机电暂态过程同时发生并且相互影响，但是要对它们统一分析却十分复杂。由于这两个暂态过
13、程的变化速度实际上相差很大，在工程上通常近似地对它们分别进行分析。例如：在电磁暂态过程分析中，常不计发电机和电动机的转速变化。而在静态稳定性和暂态稳定性等机电暂态过程分析中，则往往近似考虑或甚至忽略电磁暂态过程。只有在分析由发电机组轴系引起的次同步谐振现象，计算大扰动后轴系的暂态扭矩等问题中，才不得不同时考虑电磁暂态过程和机电暂态过程。电磁暂态过程分析的主要目的：在于分析和计算故障或操作后可能出现的暂态过电压和过电流，以便对电力设备进行合理设计，确定已有设备能否安全运行，并研究相应的限制和保护措施。对于研究新型快速继电保护装置的动作原理，故障点探测原理以及电磁干扰等问题，也常需要进行电磁暂态过
14、程分析。由于电磁暂态过程变化很快，一般需要分析和计算持续时间在毫秒级以内的电压、电流瞬时值变化情况，因此，在分析中需要考虑：元件的电磁耦合计及输电线路分布参数所引起的波过程有时甚至要考虑线路三相结构的不对称线路参数的频率特性以及电晕等因素的影响电磁暂态过程的分析方法可以分为两类：一类是应用暂态网络分析仪TNA(Transient Network Analyzer)的物理模拟方法。1.另一类是数值计算(或称数字仿真)方法1.即列出描述各元件和全系统暂态过程的微分方程，应用数值方法进行求解。2.随着数字计算机和计算方法的发展，现在已研究和开发出一些比较成熟的数值计算方法和程序。其中由H.W.Dom
15、mel创建的电磁暂态程序EMTP(Electromegnatic Transient Program)，经过许多人的共同工作进行不断改进和完善后，已具有很强的计算功能和良好的计算精度，并包括了发电机、轴系和控制系统动态过程的模拟，使之能用于次同步谐振问题的分析。3.这一程序已得到国际上的普遍承认和广泛应用，并仍在继续发展。本章将主要介绍EMTP的基本数学模型和计算方法，重点在于阐述其基本原理，以作为同学们使用和进一步深入了解这一程序和其它有关程序，乃至研究和开发新程序的基础。第二节 电磁暂态过程数值计算的基本方法 对于电力系统中的并联电抗器、并联和串联电容器等集中参数元件，或可以近似处理成集中
16、参数的元件(如变压器和短线路)，总可以列出描述其暂态过程中电压和电流间关系的常微分方程(纯电阻参数元件则为代数方程)，然后应用数值方法进行求解。由于隐式梯形积分法比较简单而且具有相当的精度和良好的数值稳定性，并能较好地适应刚性微分方程组，因此在EMTP和其它一些电磁暂态程序中大多采用这种积分方法。上述常微分方程在采用隐式梯形积分法时，在一个积分步长t内(例如由t-t到t)将被转换成相应的差分方程。它描述了t 时刻的电压、电流与 t-t 时刻的电压、电流之间的相互关系，而t-t 时刻的电压和电流是前一个步长的计算结果，对于本步长来说是已知量。进而，这些差分方程可以用一种由纯电阻和电流源构成的电路
17、来代替，以反映 t 时刻未知电压和电流之间的关系，其中的电阻决定于元件的参数和积分步长，而电流源则决定于t-t 时刻的电压和电流值。这种电路称为暂态等值计算电路。在暂态过程中，对于长线等分布参数元件，其电压和电流之间的关系应由偏微分方程来描述。在单根导线并且不计损耗的情况下，t 时刻线路两端电压、电流之间的关系，可以由偏微分方程的解析解转换成用纯电阻和电流源构成的暂态等值计算电路，其中的电阻决定于线路参数，电流源的取值则决定于t-时刻(t t 为线路上电磁波的传播时间)的电压、电流。对于有损线路，在作适当近似处理后仍可沿用类似的暂态等值计算电路。这样，根据各元件之间的实际接线方式，将它们的暂态
18、等值计算电路进行相应的连接，便可组成一个带有已知电流源的纯电阻网络。对这一网络进行求解，即可以得出 t 时刻各个元件的电压和电流。依次对各个步长进行递推计算，便可求得整个暂态过程的数值解。上述方法仅限于元件参数为常数的情况，对于饱和电抗器、避雷器等非线性元件，还需作特殊处理。以上便是本节所要介绍的电磁暂态过程数值计算的基本原理。在介绍具体方法以前，先引出隐式梯形积分公式，以便应用。对于常微分方程，即 在t-t到t积分步长内的隐式梯形积分公式(以下简称梯形积分公式)为 一、集中参数元件的暂态等值计算电路 1电感元件 对于图2-1(a)所示的电感电路，可以列出其微分方程，即 应用梯形积分公式，可将
19、它化为下列差分方程 很明显，式(2-2)中t 时刻的电压、电流关系可以用图2-1(b)所示的等值电路代替，并称之为暂态等值计算电路。其中，RL是积分计算中反映电感L的等值电阻、当步长t固定时它为定值；IL(t-t)是t时刻的等值电流源，由t-t时刻的电流和电压按式(2-4)计算而得。对于积分的第一个时段，t=t，t-t0，式(2-4)右端的电流和电压将是它们的初始值ijk(0)，uj(0)和uk(0)，而对于其它时段则是前一个时段的计算结果。在实际计算中，为了省去对电感支路电流 ijk(t-t)的计算，可应用对应于t-t时刻的电流、电压关系式(2-2)，将式(2-4)改写成下列递推形式 (2-
20、5)并用式(2-5)进行电流源的递推计算，当然，在起步时仍需应用式(2-4)来计算相应的电流源。2电容元件 仿照电感元件的方法，可以导出图2-2(a)所示电容电路的暂态等值计算电路见图 2-2(b)。相应的计算公式为电流源的递推计算式为 3电阻元件 图2-3所示的电阻元件电路，其电压、电流的关系为代数方程，即 (2-10)它直接描述了t 时刻的电压和电流之间的关系，因此，图2-3中的电路本身就是它的暂态等值计算电路。以上给出了单个L、C、R元件的暂态等值计算电路。当一集中参数元件同时含有几个参数(例如R、L串联)时，可以分别作出它们的暂态等值计算电路，然后进行相应的连接。另外，对于并联电抗器和
21、并联电容器等接地元件，可以在暂态等值计算电路中令其接地端电压为零。暂态等值计算电路又称等值计算电路。后面在不引起混淆的情况下，将它简称为等值电路。二、单根分布参数线路的贝瑞隆(Bergeron)等值计算电路 在电磁暂态过程分析中，输电线路分布参数的影响可以用两种方法处理：一种是将线路适当地分成若干段，每段用型或T型集中参数电路代替，再将其中的各个参数用前面介绍的等值计算电路表示；另一种方法是直接导出并采用线路的暂态等值计算电路。(一)单根无损线路的暂态等值计算电路 对于图25(a)所示的单根无损线路，设单位长度的电感L0和电容C0均为常数，则可以列出下列偏微分方程 （2-11）可将式(211)
22、改写为二阶波动方程，即 （2-12）式中：为沿线电磁波的传播速度。式(212)的通解为：（2-13）在式中，与f1(x-vt)有关的项反映速度为v的前行波，与 f2(x+vt)有关的项反映速度为v的反行波，为线路的波阻抗。将式(2-13)的第二式两端乘以ZC，再与其第一式分别相加和相减后，得 （2-14）（2-15）贝瑞隆应用此两式所表示的任一点电压、电流线性关系，在已知边界条件和起始条件下计算了线路上的电压、电流。这里并不直接应用贝瑞隆法，而是用式(2-14)和式(2-15)推导线路两端的等值计算电路。在式(2-14)中，分别令x0和x=l,则由图2-5(a)知u(0,t)uj(t)，i(0
23、,t)ijk(t)，u(l,t)uk(t)，i(l,t)-ikj(t)。于是得 (2-16)(2-17)在式(2-16)中，将t换成t-(=l/v，为电磁波由线路一端到达另一端所需的时间），于是式（2-16）变为：（2-18）将式(2-18)与式(2-17)进行比较，可以导出 （2-19）式(2-17)、(2-18)和式(2-19)的物理意义为：t-时刻在j端的前行波，在t时刻到达k端。式(2-19)可改写为 (2-20)(2-21)采用相同的方法，由式(2-15)可以导出 (2-22)(2-23)式(2-22)、(2-23)的物理意义为：t-时刻在k端的反行波，在t时刻到达j端。式(2-20
24、)(2-23)给出了t时刻线路一端电流、电压与t-时刻另一端电流、电压之件的关系。不难看出，这组关系可以用图2-5（b)所示的暂态等值计算电路（又称贝瑞隆等值计算电路)来反映。它将分布参数线路的波过程转化为仅含电阻和电流源的集中参数电路，线路两端间的电磁联系由反映t-时刻两端电压、电流的等值电流源来实现，而无直接拓扑联系。这样，在已知t-时刻线路两端电压和电流值的情况下，可以分别应用式(2-21)和式(2-23)求出两端的等值电流源，然后，应用式(2-20)和式(2-22)或图2-5(b)中的等值计算电路，便可分别得出t时刻两端电流和电压的关系式，从而将它们用于全网在t时刻的数值计算。必须指出
25、，由于式(2-20)(2-23)是由式(2-12)波动方程的解析解经严格推导而得出的，因此它与所采用的积分步长t无关。等值电流源经过适当推导可以改写为下列递推形式(二)线路损耗的近似处理 在一般情况下，线路绝缘的漏电损耗很小，常忽略不计。至于电晕所引起的损耗则屑于专门研究课题，已超出本书范围。因此，这里限于考虑线路电阻的影响。当计及线路分布电阻时，就不能象无损线路那样导出其简单的等值计算电路，而在工程计算中往往采用近似的处理方法。例如，在EMTP中，将整个线路适当地分成几段，每段视为无损线路，而将各段的总电阻进行等分后分别集中在该段无损线路的两端。显然，分段数愈多，则愈接近于分布电阻情况。但根据计算经验，在一般线路长度下，分为两段便可以满足工程计算的精度要求。图2-6(a)所示为线路被等分为两段 为了避免新增节点，将图2-6(b)等值简化为图2-6(c)