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1、1第第 3 3 章章 数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入一、学习目标：一、学习目标： 1. 理解复数的基本概念； 2. 理解复数相等的充要条件； 3. 了解复数的代数表示法及其几何意义； 4. 会进行复数代数形式的四则运算； 5. 了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。二、重点、难点二、重点、难点 重点：掌握复数的概念；复数的加法与减法的运算及几何意义；复数的四则运算。 难点：对复数概念和复数的几何意义的灵活运用及复数运算的准确运用。三、考点分析：三、考点分析： 1. 复数的有关概念和复数的几何意义是高考命题的热点之一，常以选择题的形式出现， 属容易题； 2. 复数的代数运算是高考
2、的另一热点，以选择题、填空题的形式出现，属容易题。一、复数的有关概念一、复数的有关概念 1. 复数的概念 形如 abi（a，bR）的数叫做复数，其中 a，b 分别是它的实部和虚部。若 b0， 则 abi 为实数，若 b0，则 abi 为虚数，若 a0 且 b0，则 abi 为纯虚数。 2. 复数相等：abicdiac 且 bd（a，b，c，dR） 。 3. 共轭复数：abi 与 cdi 共轭ac，bd（a，b，c，dR） 。 4. 复平面 借用直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面。x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。实轴 上的点表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚
3、数。 5. 复数的模向量OZ 的模 r 叫做复数 zabi 的模，记作|z|或|abi|，即|z|abi|22ab。二、复数的几何意义二、复数的几何意义1. 复数 zabi 一一对应复平面内的点 Z（a，b） （a，bR） ；2. 复数 zabi 一一对应平面向量OZ （a，bR） 。三、复数的运算三、复数的运算 1. 复数的加、减、乘、除运算法则 设 z1abi，z2cdi（a，b，c，dR） ，则 加法：z1 z2（abi）（cdi）（ac）（bd）i； 减法：z1 z2（abi）（cdi）（ac）（bd）i；2乘法：z1 z2（abi）（cdi）（acbd）（adbc）i；除法：1 22
4、 2()()()()(0)()()zabiabi cdiacbdbcad icdizcdicdi cdicd2. 复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何1z、2z、3zC，有1z2z2z1z， （1z2z）3z1z（2z3z） 。注：任意两个复数不一定能比较大小，只有这两个复数全是实数时才能比较大小。知识点一：复数的有关概念知识点一：复数的有关概念 例例 1 1 当实数 m 为何值时，zlg（m22m2）（m23m2）i （1）为纯虚数；（2）为实数；（3）对应的点在复平面的第二象限内。 思路分析思路分析：根据复数分类的条件和复数的几何意义求解。解题过程解题过程：根据复数的
5、有关概念，转化为实部和虚部分别满足的条件求解。（1）若 z 为纯虚数，则22lg(22)0,320mmmm解得 m3（2）若 z 为实数，则22220,320mmmm解得 m1 或 m2（3）若 z 的对应点在第二象限，则22lg(22)0,320mmmm解得1m13或 13m3。即（1）m3 时，z 为纯虚数； （2）m1 或 m2 时，z 为实数；（3）1m13或 13m3 时，z 对应的点在复平面的第二象限内。解题后反思：解题后反思：处理有关复数概念的问题时，首先要找准复数的实部与虚部（若复数为 非标准的代数形式，则应通过代数运算化为代数形式） ，然后根据定义解题。知识点二：复数相等知识
6、点二：复数相等 例例 2 2 已知集合 M（a3）（b21）i，8 ，集合 N3i， （a21）（b2）i同时满足 MNM，MN，求整数 a，b思路分析思路分析：判断两集合元素的关系列方程组分别解方程组检验结果是否符合 条件。 解题过程解题过程：2(3)(1)3abii依题意得或28(1)(2)abi或223(1)(1)(2)abiabi 由得 a3，b2，经检验，a3，b2 不合题意，舍去。 a3，b2 由得 a3，b2。又 a3，b2 不合题意，a3，b2；3由得222231401230aaaabbbb 即，此方程组无整数解。综合得 a3，b2 或 a3，b2。 解题后反思：解题后反思：利
7、用复数相等可实现复数问题向实数问题的转化。解题时要把等号两边 的复数化为标准的代数形式。注：对于复数 z，如果没有给出代数形式，可设 zabi（a，bR） 。知识点三：复数的代数运算知识点三：复数的代数运算例例 3 3 计算：2025100)21()11()21(i iiii思路分析：思路分析：根据复数的运算法则计算。解题过程：解题过程：2025100)21()11()21(i iiii5 210(12 ) 1 () iii 210112iii 。 解题后反思：解题后反思：（1）在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度： 2212 ,12 ,1,1iiiiiii 1,1iii ,b
8、aii abi 44142431,1,nnnniii iii nN 。（2）复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位 i 的看作一类同类 项，不含 i 的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把 i 的幂写成最简单的形式， 在运算过程中，要熟悉 i 的特点及熟练应用运算技巧。知识点四：复数加减法的几何意义知识点四：复数加减法的几何意义 例例 4 4 如图，平行四边形 OABC，顶点 O、A、C 分别表示 0，32i，24i，试求：（1）BC 表示的复数；（2）对角线CA 所表示的复数。思路分析思路分析：求某个向量对应的复数，只要求出向量的起点和终点对应的复数即可。解题过程：解题
9、过程：（1）OA AO ，AO 表示的复数为32i。BC AO ，4BC 表示的复数为32i。（2）CA OA OC ，CA 所表示的复数为（32i）（24i）52i。 解题后反思：解题后反思：（1）解决这类题目时可利用复数 abi（a，bR）与复平面内以原点 为起点的向量之间一一对应的关系，相等的向量表示同一复数，然后借助于向量运算的平 行四边形法则和三角形法则进行求解。 （2）复数问题实数化是解决复数问题最基本也是最重要的思想方法，桥梁是设 zxyi，依据是复数相等的充要条件。（湖北高考）若 i 为虚数单位，图中复平面内点 Z 表示复数 z，则表示复数1z i的点是（ ）A. E B. F
10、 C. G D. H思路分析：思路分析：首先在图形上看出复数 z 的代数形式，再进行复数的除法运算，分子和分 母同乘以分母的共轭复数，整理成最简形式，在坐标系中看出对应的点。 解题过程：解题过程：观察图形可知 z3i，3211ziiii，即对应点 H（2，1） ， 故选 D。 解题后反思：解题后反思：本题考查复数的几何意义，考查根据复数的代数形式，在坐标系中找出 对应的点，根据复平面上的点写出对应的复数的表示式。问题：问题：已知 z 为复数，z2i 和2z i 均为实数，其中 i 是虚数单位。（1）求复数 z； （2）若复数（zai）2在复平面上对应的点在第一象限，求实数 a 的取值范围。 思
11、路分析：思路分析：（1）设出复数的代数形式，整理出 z2i 和2z i ，根据两个都是实数、虚部都等于0，得到复数的代数形式。5（2）根据上一问得出的复数的结果，代入复数（zai）2中，利用复数的加减和乘方 运算，写出代数的标准形式，根据复数对应的点在第一象限，写出关于实部大于 0 和虚部 大于 0，解不等式组，得到结果。 解题过程：解题过程：（1）设复数 zabi（a，bR） ， 由题意，z2iabi2iaRib )2(b20，即 b2。又()(2)22 2555zabiiabba iRi，2ba0，即 a2b4。z42i。 （2）由（1）可知 z42i， （zai）2（42iai）24（a
12、2）i216（a2）28（a2）i 对应的点在复平面的第一象限，216(2)0 8(2)0a a解得 a 的取值范围为 2a6。 解题后反思：解题后反思：本题考查复数的加减乘除运算，复数的代数形式和几何意义，复数与复 平面上的点的对应，及解决实际问题的能力，是一道综合题。1. 掌握复数的代数形式，理解实部和虚部的概念，及复数的几何意义。 2. 熟练进行复数的加减法和乘除法的运算。常用的运算公式要记牢：（1i）22i， i，i，i，bai，1 i1i 1i1i 1iabi i（ i）31， （ i）311 2321 232 3. 解决复数的根本思想，就是将复数问题转化为实数问题来解决。 4. 高考主要考查复数的运算，这是高考中重要的知识点。下节课我们开始学习选修 23 第 1 章第 1 节 两个基本计数原理，请大家阅读课 本思考： 1. 什么是分类计数原理？ 2. 什么是分步计数原理？