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1、- 1 -第第 3 3 章章 数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入章末检测章末检测一、填空题1z1(m2m1)(m2m4)i，mR R，z232i，则“m1”是“z1z2”的_条件答案 充分不必要解析 因为z1z2，所以Error!解得m1 或m2，所以m1 是z1z2的充分不必要条件2i 是虚数单位，复数的共轭复数为_3i 1i答案 12i解析 12i，其共轭复数为 12i.3i 1i(3i)(1i) (1i)(1i)24i 23已知a是实数，是纯虚数，则a_.ai 1i答案 1解析 是纯虚数，则a10，a10，解得a1.ai 1i(ai)(1i) (1i)(1i)(a1)(a1)i
2、 24若(xi)iy2i，x，yR R，则复数xyi_.答案 2i解析 (xi)iy2i，xii2y2i，y1，x2，xyi2i.5在复平面内，O是原点， ， ，对应的复数分别为2i，32i,15i，那么对应OAOCABBC的复数为_答案 44i解析 因为， ，对应的复数分别为2i,32i,15i，()，OAOCABBCOCOBOCOAAB所以对应的复数为 32i(2i)(15i)44i.BC6(1i)20(1i)20的值是_答案 0- 2 -解析 (1i)20(1i)20(1i)210(1i)210(2i)10(2i)10(2i)10(2i)100.7若复数z满足(34i)z|43i|，则z
3、的虚部为_答案 4 5解析 因为复数z满足(34i)z|43i|，所以z i，|43i| 34i5 34i5(34i) 253 54 5故z的虚部等于 .4 58设x34i，则复数zx|x|(1i)在复平面上的对应点在第_象限答案 二解析 x34i，|x|5，3242z34i5(1i)(351)(41)i35i.复数z在复平面上的对应点在第二象限9若复数z满足 iz24i，则在复平面内，z对应的点的坐标是_答案 (4，2)解析 z42i 对应的点的坐标是(4，2)24i i10已知f(n)inin(nN N*)，则集合f(n)的元素个数是_答案 3解析 f(n)有三个值 0,2i，2i.11复
4、平面内，若zm2(1i)m(4i)6i 所对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是_答案 (3,4)解析 zm24m(m2m6)i 所对应的点在第二象限，Error!，解得 31i；虚轴上的点表示的数都是纯虚数；若一个数是实数，则其虚部不存在；- 3 -若z ，则z31 对应的点在复平面内的第一象限1 i答案 解析 由yC CR R，知y是虚数，则Error!不成立，故错误；两个不全为实数的复数不能比较大小，故错误；原点也在虚轴上，表示实数 0，故错误；实数的虚部为 0，故错误；中z311i1，对应点在第一象限，故正确1 i314下列是关于复数的类比推理：复数的加减法运算可以类比多项式的加减法
5、运算法则；由实数绝对值的性质|x|2x2类比得到复数z的性质|z|2z2；已知a，bR R，若ab0，则ab类比得已知z1，z2C C，若z1z20，则z1z2；由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义其中推理结论正确的是_答案 二、解答题15设复数zlg(m22m2)(m23m2)i，当m为何值时，(1)z是实数？(2)z是纯虚数？解 (1)要使复数z为实数，需满足Error!，解得m2 或1.即当m2 或1 时，z是实数(2)要使复数z为纯虚数，需满足Error!，解得m3.即当m3 时，z是纯虚数16已知复数z满足|z|，z2的虚部为 2.2(1)求复数z；(2)设z，z2，z
6、z2在复平面内对应的点分别为A，B，C，求ABC的面积解 (1)设zabi(a，bR R)，由已知条件得a2b22，z2a2b22abi.z2的虚部为 2，2ab2.ab1 或ab1，即z1i 或z1i.(2)当z1i 时，z2(1i)22i，zz21i，点A(1,1)，B(0,2)，C(1，1)，SABCAC1 211.1 21 2当z1i 时，z2(1i)22i，zz213i.点A(1，1)，B(0,2)，C(1，3)，- 4 -SABCAC1 211.1 21 2ABC的面积为 1.17设复数z，若z2azb1i，求实数a，b的值(1i)23(1i) 2i解 z(1i)23(1i) 2i
7、2i3(1i) 2i3i 2i1i.(3i)(2i) (2i)(2i)将z1i 代入z2azb1i，得(1i)2a(1i)b1i，即(ab)(a2)i1i，Error!Error!18已知复数z(2xa)(2xa)i，x，aR R，且a为常数，试求|z|的最小值g(a)的表达式解 |z|2(2xa)2(2xa)222x22x2a(2x2x)2a2.令t2x2x，则t2，且 22x22xt22.从而|z|2t22at2a22(ta)2a22.当a2，即a2 时，g(a)；a22当a2 时，g(a)(a2)2a22|a1|.2综上可知，g(a)Error!19已知z022i，|zz0|.2(1)求
8、复数z在复平面内的对应点的轨迹；(2)求z为何值时|z|有最小值，并求出|z|的最小值解 (1)设zxyi(x，yR R)，由|zz0|得：2|xyi(22i)|(x2)(y2)i|，2解得：(x2)2(y2)22.复数z对应点的轨迹为以Z0(2,2)为圆心，为半径的圆2- 5 -(2)当Z点在OZ0的连线上时，|z|有最大值或最小值OZ02，半径为.22当z1i 时，|z|min.220设存在复数z同时满足下列条件：(1)复数z在复平面内对应的点位于第二象限；(2)z2iz8ai(aR R)z试求a的取值范围解 设复数zxyi(x，yR R)，则 xyi.z由(1)知x0，y0.又由(2)z2iz8ai(aR R)，得z(xyi)(xyi)2i(xyi)8ai(aR R)，即(x2y22y)2xi8ai(aR R)，所以Error!所以 4(y1)236a2.因为 4(y1)20，所以 36a20，即a236，所以6a6.又因为a2x，而x0，所以a0，所以6a0.故所求 a 的取值范围是6,0)