《2019高中数学 第二章 几个重要的不等式阶段质量评估 北师大版选修4-5.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019高中数学 第二章 几个重要的不等式阶段质量评估 北师大版选修4-5.doc（10页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1阶段质量评估阶段质量评估( (二二) ) 几个重要的不等式几个重要的不等式A 卷 (时间：60 分钟 满分：80 分)一、选择题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1设nN N， 则 4n与 3n的大小关系是( )A4n3n B4n3nC4n3n，即 4n3n.答案：A2用数学归纳法证明“10，则a3b3c3.依据排序不等式，得a3ab3bc3ca3bb3cc3a.又abacbc，a2b2c2，所以a3bb3cc3aa2bcb2cac2ab.所以a4b4c4a2bcb2cac2ab，即a2(a2bc)b2(b2ac)c2(c2
2、ab)0.答案：B4若 5x16x27x34x41，则 3x2x5xx的最小值是( )2 12 22 32 4A B782 1515 782C3 D25 32解析：因为(25 31849516)(3x2 12x2 25x2 3x2 4)2(533x13 2 2x2755x34x4)(5x16x27x34x4)21，所以 3x2x5xx.2 12 22 32 415 782答案：B5学校要开运动会，需要买价格不同的奖品 40 件、50 件、20 件，现选择商店中单价为 5 元、3 元、2 元的商品作为奖品，则至少要花( )A300 元 B360 元C320 元 D340 元解析：由排序不等式，可
3、知逆序和最小最小值为 502403205320(元)答案：C6已知 2x3y4z10，则x2y2z2取到最小值时的x，y，z的值分别为( )A， ， B ， ，5 310 95 620 2930 2940 29C1， D1，1 21 31 41 9解析：当且仅当 时取到最小值，联立Error!可得x，y，z.x 2y 3z 420 2930 2940 29答案：B二、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分把答案填在题中横线上)7若xyzt4，则x2y2z2t2的最小值为_.解析：由柯西不等式，得(x2y2z2t2)(12121212)(xyzt)2，当且仅当xyzt1 时取等
4、号故x2y2z2t2的最小值为 4.答案：48已知a(0，)，x 2，x3，xn1(nN N)，则a的值为1 x4 x2a xn_.解析：x 2，1 xx 33，4 x2x 2x 24 x23x 2x 24 x23x (n1)(n1)n1.a xnx nx nx nx na xnn1x nx nx nx na xnn1a nnann(nN N)答案：nn(nN N)9设x1，x2，xn为不同的正整数，则m的最小值是_.x1 12x2 22xn n2解析：设a1，a2，an是x1，x2，xn的一个排列，且满足a1，1 221 321 n2所以a1x1 12x2 22x3 32xn n2a2 22
5、a3 32an n21123n1 1 221 321 n21 21 3 .1 n答案：1 1 21 31 n三、解答题(本大题共 3 小题，共 35 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)10(本小题满分 10 分)已知x，y，z(0，)，且xyz1，求证： 81.1 x9 y25 z证明：由柯西不等式，得(xyz)281，(1 x9 y25 z)(x1xy9 yz25 z)当且仅当 ，x 1 xy 9 yz 25 z即x ，y ，z 时取等号1 91 35 9所以 81.1 x9 y25 z11(本小题满分 12 分)设x0，求证：1xx2x2n(2n1)xn.证明：当x1 时，1xx2
6、xn，由顺序和逆序和，得11xxx2x2xnxn1xnxxn1xn1xxn1，即 1x2x4x2n(n1)xn.4因为x，x2，x3，xn,1 为序列 1，x，x2，xn的一个排列，由乱序和逆序和，得1xxx2xn1xnxn11xnxxn1xn1xxn1，即xx3x2n1xn(n1)xn.将和相加，得1xx2x2n(2n1)xn.当 0xx2xn.仍然成立，于是也成立综上，原不等式成立12(本小题满分 13 分)已知正数x，y，z满足 5x4y3z10.(1)求证：5；25x2 4y3z16y2 3z5x9z2 5x4y(2)求 9x29y2z2的最小值(1)证明：根据柯西不等式，得(4y3z
7、)(3z5x)(5x4y)(5x4y3z)2.25x2 4y3z16y2 3z5x9z2 5x4y因为 5x4y3z10，所以5.25x2 4y3z16y2 3z5x9z2 5x4y102 20(2)解：根据平均值不等式，得9x29y2z2223x2y2z2，9x29y2z2当且仅当x2y2z2时等号成立根据柯西不等式，得(x2y2z2)(524232)(5x4y3z)2100，当且仅当 时等号成立x 5y 4z 3所以x2y2z22.综上，9x29y2z223218，当且仅当x1，y ，z 时等号成立4 53 5所以 9x29y2z2的最小值为 18.B 卷 (时间：60 分钟 满分：80
8、分)一、选择题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)51已知x，y，z(0，)，且 1，则x 的最小值是( )1 x2 y3 zy 2z 3A5 B6C8 D9解析：x 29.y 2z 3(1 x2 y3 z)(xy 2z 3)(1xxy 2 2 y3 z z 3)答案：D2用数学归纳法证明“ 1 221 321 421 n121 2”时，假设当nk时不等式成立，则当nk1 时，应推证的目标是( )1 n2A B 1 221 321 k221 21 k31 221 321 k121 21 k2C D 1 221 321 k21 2
9、1 k11 221 321 k121 21 k解析：当nk1 时，不等式变为 1 221 321 k121 k221 2.1 k12答案：A3已知aaa1，xxx1，则a1x1a2x2anxn的最大值2 12 22n2 12 22n为( )A1 BnC D2n解析：由柯西不等式，得(aaa)(xxx)(a1x1a2x2anxn)2 12 22n2 12 22n2，即 11(a1x1a2x2anxn)2.a1x1a2x2anxn1.故所求的最大值为 1.答案：A4已知x，y(0，)，且xy1，则 的最小值为( )2 x3 yA5 B566C52 D5266解析： (xy)2 x3 y(2 x3
10、y)6(2 x)2(3 y)2x2y22()2(2 xx3 yy)2352，6当且仅当yx时取等号32 的最小值为 52.2 x3 y6答案：C5用数学归纳法证明“对任意x0 和正整数n，都有xnxn2xn4n1”时，需要验证的使命题成立的最小正1 xn41 xn21 xn整数值n0应为( )A1 B2C1,2 D以上答案均不正确解析：当n1 时，左边x ，右边11，而x 2，1 x1 x即当n1 时不等式成立答案：A6设a，b，c为正数，且a2b3c13，则的最大值为( )3a2bcA B13 3313 32C D61313解析：(a2b3c)12( 3212(13)2a32b3c133a2
11、b)2，c当且仅当时取等号a32b13c13()2，3a2bc132 3即.3a2bc13 33又a2b3c13，a9，b ，c .3 21 3故有最大值.3a2bc13 337答案：A二、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分把答案填在题中横线上)7函数y的最小值是_.(11 sin )(11 cos )(0 0，y0，z0，所以由柯西不等式，得(y2z)(z2x)(x2y)(xyz)2.(x2 y2zy2 z2xz2 x2y)因为xyz1，所以x2 y2zy2 z2xz2 x2y .xyz2 y2zz2xx2y1 3(2)解：由平均值不等式，得4x4y4z23.34xyz
12、2因为xyz1，所以xyz21zz22 .(z1 2)3 43 4故 4x4y4z233，34342当且仅当xy ，z 时等号成立1 41 2所以 4x4y4z2的最小值为 3.211(本小题满分 12 分)已知函数f(x)m|x2|，mR R，且关于x的不等式f(x2)0 的解集为1,19(1)求m的值；(2)若a，b，c(0，)，且 m，求证：1 a1 2b1 3ca2b3c9.(1)解：因为f(x2)m|x|，所以f(x2)0 等价于|x|m.由|x|m有解，得m0，且其解集为x|mxm又f(x2)0 的解集为1,1，故m1.(2)证明：由(1)，知 1.1 a1 2b1 3c又a，b，
13、c(0，)，由柯西不等式，得a2b3c(a2b3c)(1 a1 2b1 3c)29.(a1a 2b12b 3c13c)12(本小题满分 13 分)已知数列bn是等差数列，b11，b1b2b10145(nN N)(1)求数列bn的通项；(2)设数列an的通项anloga(其中a0 且a1)，记Sn是数列an的前n项(11 bn)和，试比较Sn与 logabn1的大小，并证明你的结论1 3解：(1)设数列bn的公差为d，由题意，得 101d145.10 101 2d3，bn3n2.(2)由bn3n2，知Snloga(11)logaloga(11 4)(11 3n2)loga，11(11 4)(11
14、 3n2)logabn1loga.1 333n1因此，要比较Sn与 logabn1的大小，可先比较1 310(11)与的大小(11 4) (11 3n2)33n1取n1，有(11).33 11猜想取n1，nN N，有(11).(11 4) (11 3n2)33n1下面用数学归纳法说明：当n1 时，已验证不等式成立假设当 nk(kN N)时，不等式成立，即(11)，(11 4) (11 3k2)33k1则当nk1 时，(11)(11 4) (11 3k2)11 3k12(3k2)33k1(11 3k1)33k13k13()333k13k13k233k40，3k233k43k12 3k129k4 3k12(3k2)33k13k133k4.33k11(11)(11 4) (11 3k2)11 3k12.33k11这说明，当nk1 时不等式也成立由，知对一切nN N，不等式(11)1 都成立1 4(11 3n2)33n1再由对数的性质，可得当a1 时，Sn logabn1；1 3当 0a1 时，Sn logabn1.13