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1、12.22.2 排序不等式排序不等式一、选择题1.有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m2)分别为x,y,z,且xyz,三种颜色涂料的粉刷费用(单位:元/m2)分别为a,b,c,且abc.在不同的方案中,最低的总费用(单位:元)是( )A.axbycz B.azbycxC.aybzcx D.aybxcz解析 法一 用特值法进行验证.令x1,y2,z3,a1,b2,c3.A 项:axbycz14914;B 项:azbycx34310;C 项:aybzcx26311;D 项:aybxcz22913.故选 B.法二 由顺序和乱
2、序和反序和.可得azbycx最小.答案 B二、填空题2.设a1,a2,a3,an为正数,那么Pa1a2an与Q的大小关系是_.解析 假设a1a2a3an,则 ,1 an1 an11 a1 a1并且aaaa,2 12 22 32nPa1a2a3an,是反顺和,Q是乱顺和,由排序不等式定理PQ.答案 PQ三、解答题3.设a1,a2,an为正数,求证:a1a2an.证明 不妨设a1a2an0,则有aaa2 12 22n也有BC,则有abc,由排序原理:顺序和乱序和.2aAbBcCaBbCcA;aAbBcCaCbAcB;aAbBcCaAbBcC.上述三式相加得3(aAbBcC)(ABC)(abc)(a
3、bc).aAbBcC abc 3法二 不妨设ABC,则有abc,由排序不等式,aAbBcC 3ABC 3abc 3即aAbBcC(abc),. 3aAbBcC abc 35.设a,b,c为正数,利用排序不等式证明a3b3c33abc.证明 不妨设abc0,a2b2c2,由排序原理:顺序和逆序和,得:a3b3a2bb2a,b3c3b2cc2b,c3a3a2cc2a,三式相加得 2(a3b3c3)a(b2c2)b(c2a2)c(a2b2).又a2b22ab,b2c22bc,c2a22ca.所以 2(a3b3c3)6abc,a3b3c33abc.当且仅当abc时,等号成立.6.设a,b,c是正实数,
4、求证:aabbcc(abc).abc 3证明 不妨设abc0,则 lg alg blg c.据排序不等式有:alg ablg bclg cblg aclg balg calg ablg bclg cclg aalg bblg calg ablg bclg calg ablg bclg c上述三式相加得:3(alg ablg bclg c)(abc)(lg alg blg c),即 lg(aabbcc)lg(abc).abc 3故aabbcc(abc).abc 37.设xi,yi (i1,2,n)是实数,且x1x2xn,y1y2yn,而z1,z2,zn是y1,y2,yn的一个排列.求证: (xi
5、yi)2 (xizi)2.ni1ni13证明 要证 (xiyi)2 (xizi)2ni1ni1只需证y2xiyiz2xizi.ni1 2ini1ni1 2ini1因为yz,只需证xizixiyi.ni1 2ini1 2ini1ni1而上式左边为乱序和,右边为顺序和.由排序不等式得此不等式成立.故不等式 (xiyi)2 (xizi)2成立.ni1ni18.已知a,b,c为正数,且两两不等,求证:2(a3b3c3)a2(bc)b2(ac)c2(ab).证明 不妨设abc0.则a2b2c2,abacbc,a2(ab)b2(ac)c2(bc)a2(bc)b2(ac)c2(ab),即a3c3a2bb2ab2cc2ba2(bc)b2(ac)c2(ab),又a2b2c2,abc,a2bb2aa2(bc)b2(ac)c2(ab).