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1、1物理学非常注意守恒量的研究。物理学非常注意守恒量的研究。在天体运动中在天体运动中,常遇到行星绕某一恒星（固定点）常遇到行星绕某一恒星（固定点）转动时转动时,行星始终在同一个平面内运动的现象。行星始终在同一个平面内运动的现象。例如：太阳系中的每个行星都有自己的转动平面例如：太阳系中的每个行星都有自己的转动平面例如：银河系中的例如：银河系中的每个恒星都有自己每个恒星都有自己的转动平面。的转动平面。银河系银河系在这些问题中，存在在这些问题中，存在着质点的角动量守恒着质点的角动量守恒的规律。的规律。3.1 质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律一、质点的角动量一、质点的角动量2角动量角动量是质点运
2、动中的一个重要的物理量，在是质点运动中的一个重要的物理量，在物理学的许多领域都有着十分重要的应用。物理学的许多领域都有着十分重要的应用。LmO pr 质点质点m对惯性系中的固定对惯性系中的固定点点O的的角动量（动量矩）角动量（动量矩）定义为：定义为：单位：单位：kg m2/s大小：大小：方向：方向：决定的平面（右螺旋）决定的平面（右螺旋）3LRv mO 质点作匀速率圆周运动时，质点作匀速率圆周运动时，对圆心的角动量的大小为对圆心的角动量的大小为方向方向垂直圆面垂直圆面不变。不变。L=mvR，同一质点的同一运动，其角动量却可以随固同一质点的同一运动，其角动量却可以随固定点的不同而改变。定点的不同
3、而改变。例如：例如：方向变化方向变化方向竖直向上不变方向竖直向上不变OlO 锥摆锥摆m质点直线运动的角动量？质点直线运动的角动量？4二、质点的角动量定理二、质点的角动量定理由由有：有：定义力定义力对定点对定点 O 的的力矩力矩(moment of force)为：为：FM rOm 称称力臂力臂r05于是有于是有 质点角动量定理质点角动量定理或或积分积分质点角动量定理质点角动量定理称称冲量矩冲量矩 力矩对时间的积累作用力矩对时间的积累作用（积分形式）（积分形式）（微分形式）（微分形式）即即“质点对固定点角动量的增量等于该质点质点对固定点角动量的增量等于该质点 所受的合力的冲量矩所受的合力的冲量矩
4、”。6三、质点角动量守恒定律三、质点角动量守恒定律由质点角动量定理：由质点角动量定理：知：知：则质点的角动量：则质点的角动量：7 质点角动量质点角动量守恒定律守恒定律角动量守恒定律角动量守恒定律是物理学的基本定是物理学的基本定律之一，它不仅适用于宏观体系，也律之一，它不仅适用于宏观体系，也适用于微观体系，而且在高速低速范适用于微观体系，而且在高速低速范围均适用。围均适用。（如行星受的万有引力）（如行星受的万有引力）或或 过固定过固定点：有心力点：有心力8角动量守恒定律可导出行星运动的开角动量守恒定律可导出行星运动的开普勒第二定律：普勒第二定律：（书（书P79页例页例3.1）【证明证明】因为是有
5、心力场，所因为是有心力场，所以以力矩力矩 M=0,则角动则角动量守恒。量守恒。由角动量守恒定律：由角动量守恒定律：9始终在同一平面内。始终在同一平面内。若经若经 时间时间 掠面速度：掠面速度：10所以地球人造卫星所以地球人造卫星在近地点速度大，在近地点速度大，在远地点速度小。在远地点速度小。1970年年，我国发射，我国发射了第一颗地球人造了第一颗地球人造卫星。卫星。近地点高度为近地点高度为 266 km,速度为速度为 8.13 km/s;远地点高度为远地点高度为 1826 km,速度为速度为 6.56 km/s;计算出椭圆的面积计算出椭圆的面积,根据根据“掠面速度掠面速度”,就可以得到绕行周期
6、为就可以得到绕行周期为 106分钟。分钟。11一个质点系对一固定点的角动量一个质点系对一固定点的角动量 定义为定义为其中各个质点对该固定点的角动量的矢其中各个质点对该固定点的角动量的矢量和，量和，即：即：03.2 质点系的角动量守恒定律质点系的角动量守恒定律120-各质点所受外力矩的矢量各质点所受外力矩的矢量和称为和称为质点系所受合外力矩质点系所受合外力矩 -各质点所受内力矩各质点所受内力矩 的矢量和的矢量和（证明如下：）（证明如下：）130与与 共线，共线，所以这一对内力矩之和为零。所以这一对内力矩之和为零。同理可得所有内力矩之和为零。同理可得所有内力矩之和为零。“一个质点系所受的合外力矩等
7、于该质点系的一个质点系所受的合外力矩等于该质点系的 角动量对时间的变化率角动量对时间的变化率”内力总是成对出现的，所以内力矩也是成对出现内力总是成对出现的，所以内力矩也是成对出现的，的，对对i,j 两个质点来说两个质点来说，它们相互作用的内力，它们相互作用的内力矩之和为矩之和为:质点系角动量定理质点系角动量定理于是有：于是有：14 质点系角动量守恒定律质点系角动量守恒定律质质点点系系角角动动量量守守恒恒和和动动量量守守恒恒是否相互独立？是否相互独立？思考思考即：即：“只要系统所受的总外力矩为只要系统所受的总外力矩为零，其总的角动量就保持不变。零，其总的角动量就保持不变。”15例例.一长为一长为
8、 l 的轻质细杆两端分别固接小球的轻质细杆两端分别固接小球 A 和和 B,杆杆可绕其可绕其中点中点o处的细轴处的细轴在光滑水平面上转动。初始时杆在光滑水平面上转动。初始时杆静止静止,后有一小球后有一小球C以速度以速度v0垂直于杆碰垂直于杆碰A,碰后与碰后与 A合合二为一。设三个小球的质量都是二为一。设三个小球的质量都是 m,求求:碰后杆转动的碰后杆转动的角速度角速度?【解解】选系统选系统:A+B+CABCv016答：轴处有水平外力，动量不守恒。答：轴处有水平外力，动量不守恒。可得可得碰撞过程中，系统的动量守恒不守恒？碰撞过程中，系统的动量守恒不守恒？答：轴处有水平外力，但没有外力矩，答：轴处有
9、水平外力，但没有外力矩，角动量守恒。角动量守恒。碰撞过程中，系统的角动量守恒不守恒？碰撞过程中，系统的角动量守恒不守恒？即即设碰后设碰后 B 球的速度为球的速度为v,17 例例:一长为一长为l 的轻质杆端部固结一小球的轻质杆端部固结一小球m1，另，另一小球一小球m2以水平速度以水平速度v0碰杆中部并与杆粘合。碰杆中部并与杆粘合。碰撞时重力和轴力都通过碰撞时重力和轴力都通过O，解：解：选选m1（含杆）（含杆）+m2为系统为系统求：求：碰撞后杆的角速度碰撞后杆的角速度对对O 力矩为零，故角动量守恒。力矩为零，故角动量守恒。lm1Ov0m2 解得：解得：思考思考 （m1m2）的水平动量是否守恒？）的
10、水平动量是否守恒？有有181.质点系的角动量定理也是适用于质点系的角动量定理也是适用于惯性系；惯性系；2.外力矩和角动量都是相对于惯性系中的外力矩和角动量都是相对于惯性系中的同一固定点同一固定点说的。质点系受的外力的矢量和说的。质点系受的外力的矢量和为零，但总外力矩不一定为零（为零，但总外力矩不一定为零（eg:力偶）力偶）角动量不守恒；角动量不守恒；3.当质点系受的外力的矢量和不为零，但总当质点系受的外力的矢量和不为零，但总外力矩可为零时（外力矩可为零时（eg:有心力），质点系总角有心力），质点系总角动量守恒；动量守恒；4.内力矩内力矩不影响质点系总角动量，但可影响不影响质点系总角动量，但可影
11、响质点系内某些质点的角动量。质点系内某些质点的角动量。说明说明19小结：动量与角动量的比较小结：动量与角动量的比较角动量角动量矢量矢量与固定点有关与固定点有关与内力矩无关与内力矩无关守恒条件守恒条件动量动量矢量矢量与内力无关与内力无关守恒条件守恒条件与固定点无关与固定点无关20 把刚体看作非常多质元构成把刚体看作非常多质元构成的质点系，第的质点系，第i个质元对原点个质元对原点o的角动量：的角动量：3.3 定轴转动刚体的角动量定轴转动刚体的角动量 转动惯量转动惯量一、定轴转动刚体的角动量一、定轴转动刚体的角动量z Ori定轴定轴mi刚体对刚体对o点的总角动量点的总角动量21刚体对转轴刚体对转轴
12、z 的角动量的角动量z Ori定轴定轴mi一般：一般：L的方向不平行转轴，的方向不平行转轴，但当轴为刚体的对称轴时：但当轴为刚体的对称轴时：22于是：于是：z Ori定轴定轴mi23其中：其中：转动惯量转动惯量（对（对z轴）轴）（rotational inertia）二、二、转动惯量的计算转动惯量的计算转动惯量的意义：转动惯量的意义：Iz 反映了转动惯性的大小反映了转动惯性的大小 转动惯量由质量对轴的分布决定，与下列转动惯量由质量对轴的分布决定，与下列因素有关：因素有关：（1）密度大小）密度大小（2）质量分布）质量分布（3）转轴位置）转轴位置24定轴定轴zdm当刚体质量连续分布时，由转动惯量的
13、当刚体质量连续分布时，由转动惯量的定义知，定义知，求和求和改为改为积分积分：设刚体质量分布为体设刚体质量分布为体分布且体密度为：分布且体密度为：252 对质量线分布的刚体：对质量线分布的刚体：质量线密度：质量线密度2 对质量面分布的刚体：对质量面分布的刚体：质量面密度：质量面密度2 对质量体分布的刚体：对质量体分布的刚体：质量体密度：质量体密度 质量连续分布刚体的转动惯量质量连续分布刚体的转动惯量：质量元：质量元线积分线积分面积分面积分体积分体积分26 计算转动惯量计算转动惯量 I 的三条有用的定理：的三条有用的定理：（1）叠加）叠加定理定理:对同一转轴对同一转轴 I 有可叠加性有可叠加性（2
14、）平行）平行轴定理轴定理:所以所以 Ic 总是最小的总是最小的I转轴转轴平行平行md d d dI II Ic c27刚体为一薄片即：刚体为一薄片即：Z=0（3）垂直轴定理垂直轴定理:（对薄平板刚体）（对薄平板刚体）28回转半径回转半径-定义如下：定义如下：例：求对薄圆盘的一条直径的转动惯量例：求对薄圆盘的一条直径的转动惯量rG叫刚体对该定轴叫刚体对该定轴的回转半径的回转半径刚体对该定轴来说其质量好比集中在离轴距刚体对该定轴来说其质量好比集中在离轴距离为离为rG的圆环上。的圆环上。eg:圆环圆环 I=mr229常见的形状简单对称、质量均匀的刚体的常见的形状简单对称、质量均匀的刚体的 I 很易计
15、算得到。很易计算得到。应记住的几个常用结果应记住的几个常用结果:（1）细圆环）细圆环（3）均匀圆盘、圆柱）均匀圆盘、圆柱（2）均匀细棒）均匀细棒RmOR mcAc详细见详细见 P88 表表3.1P87例例3.630 RMO OmL利用转动惯量的利用转动惯量的可叠加性可叠加性和和平行轴定理：平行轴定理：圆盘圆盘细杆细杆例例:写出下面刚体对写出下面刚体对O轴（垂直屏幕）的转动惯量轴（垂直屏幕）的转动惯量313.4 刚体定轴转动的角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量守恒定律讨论讨论力矩对时间的积累效应。力矩对时间的积累效应。质点系：质点系：对点对点对轴对轴刚体：刚体：刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转
16、动的角动量定理一、刚体定轴转动的角动量定理：一、刚体定轴转动的角动量定理：32称为称为冲量矩冲量矩，它表示，它表示力矩对力矩对时间的积累效应时间的积累效应二、刚体定轴转动的角动量守恒定律：二、刚体定轴转动的角动量守恒定律：刚体系：刚体系：M外外z=0 时，时，33此时角动量可在系统内部各刚体间传此时角动量可在系统内部各刚体间传递，而却保持刚体系对转轴的总角动递，而却保持刚体系对转轴的总角动量不变。量不变。茹科夫斯基转椅茹科夫斯基转椅转台车轮（书图转台车轮（书图3.16)角动量守恒的应用：角动量守恒的应用：例如例如.花样滑冰。花样滑冰。注：注：对非刚体的定轴转动对非刚体的定轴转动，若若 M外外z
17、=0,也有也有I11=I22直升飞机机身反转直升飞机机身反转滑冰运动滑冰运动员的旋转员的旋转34克服直升飞机机身反转的措施：克服直升飞机机身反转的措施：装置尾浆推动大装置尾浆推动大气产生克服机身气产生克服机身反转的力矩反转的力矩装置反向转动的双装置反向转动的双旋翼产生反向角动旋翼产生反向角动量而相互抵消量而相互抵消35三、三、刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律z Ori定轴定轴mi则：则：转动定律矢量式转动定律矢量式36转动定律转动定律与牛顿第二定律与牛顿第二定律 相比，有：相比，有：I 相应相应 m，相应相应 ，相应相应 。刚体绕某一固定轴的合外力矩刚体绕某一固定轴的合外力矩,等于
18、刚体对此等于刚体对此轴的转动惯量与刚体的角加速度的乘积轴的转动惯量与刚体的角加速度的乘积 。-刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律37四、刚体定轴转动定律的应用四、刚体定轴转动定律的应用求求:物体的加速度及绳中张力？物体的加速度及绳中张力？解题思路：解题思路：（1）选物体）选物体（2）看运动）看运动（3）查受力（注意）查受力（注意:画隔离体受力图）画隔离体受力图）（4）列方程（注意）列方程（注意:架坐标）架坐标）例例1.m1m2mR已知：两物体已知：两物体 m1、m2（m2 m1)，滑轮滑轮 质量为质量为m、半径为半径为R,可看成质可看成质量均匀的圆盘，轴上的摩擦力矩为量均匀的圆盘，轴上的摩擦
19、力矩为 Mf（设绳轻，且不伸长（设绳轻，且不伸长,与滑轮无相与滑轮无相对滑动）。对滑动）。38因绳不伸长因绳不伸长,有有 a1=a2=a因绳轻因绳轻,有有对对m1有有对对 m2有有以加速度方向为正，可列出两式以加速度方向为正，可列出两式设出各量如图所示。设出各量如图所示。【解解】分别对分别对m1,m2,m 看运动、分析力，看运动、分析力，T1-m1g=m1a-（1）m2g-T2=m2 a-（2）39对滑轮对滑轮 m 由转动定律：由转动定律：-（3）三个方程三个方程,四个未知数四个未知数.再从再从运动学关系上有：运动学关系上有：-（4）联立四式解得：联立四式解得：(以以“方向方向”为为正正)40
20、41 当不计滑轮质量和摩擦力矩时当不计滑轮质量和摩擦力矩时:（与中学作过的一致！）（与中学作过的一致！）m=0 ,Mf=0，有有讨论讨论42例例 2.已知：如图，已知：如图，R=0.2m，m=1kg，vo=o，h=1.5m，匀加速下落时间，匀加速下落时间 t=3s,绳、轮无相对绳、轮无相对滑动，轴光滑。求：轮对滑动，轴光滑。求：轮对o轴轴 I=？定轴定轴0Rthmv0=0绳绳分析受力如图所示。分析受力如图所示。解题分析：解题分析：分别对物体分别对物体m 和轮和轮 看运动、分析力，看运动、分析力，Rma43【解解】：由动力学关系：由动力学关系：四个未知量四个未知量由运动学关系：由运动学关系：Rm
21、P92例例3.744质点平动与刚体转动的比较质点平动与刚体转动的比较作用规律作用规律质点平动质点平动刚体转动刚体转动牛顿第二律牛顿第二律转动定律转动定律对对时间时间的的累积效应累积效应对对空间空间的累的累积效应积效应（第四章学）（第四章学）动量定理动量定理动能定理动能定理动量守恒定律动量守恒定律角动量定理角动量定理角动量守恒定律角动量守恒定律转动动能定理转动动能定理45复习题复习题1.有两个力作用在一个有固定轴的刚有两个力作用在一个有固定轴的刚体上，体上，（1）两个力都垂直于轴时，合力矩可能为零。）两个力都垂直于轴时，合力矩可能为零。对。对。（两个力的力矩相反时合力矩可为零两个力的力矩相反时合
22、力矩可为零）（2）两个力的合力为零时，合力矩也一定为零。）两个力的合力为零时，合力矩也一定为零。错。错。（力等值反向，力矩仍可不等值反向力等值反向，力矩仍可不等值反向）（3）两个力的合力矩为零时，合力也一定为零。）两个力的合力矩为零时，合力也一定为零。错。错。（合力矩为零，两力仍可不等值反向合力矩为零，两力仍可不等值反向）【答答】【答答】【答答】46复习题复习题2.球与匀质球与匀质 杆的碰撞过程杆的碰撞过程正好使轴承处无水平力（正好使轴承处无水平力（动量也能守恒）？动量也能守恒）？是否动量一定不守恒？是否动量一定不守恒？有没有特例？有没有特例？动量一般不守恒。动量一般不守恒。分析：分析：打击点
23、非常靠近打击点非常靠近0点时，轴受力向右；点时，轴受力向右；打击点非常靠近下端时，由于杆会绕质心转打击点非常靠近下端时，由于杆会绕质心转动，轴受力向左。动，轴受力向左。【解解】能否找到能否找到47方法一方法一：对象：杆对象：杆联立三式，也可解得：联立三式，也可解得：-（1）刚体为特殊的质系，运用质心加速度：刚体为特殊的质系，运用质心加速度：-（2）由转动定律：由转动定律：在力在力 f 的作用下，棒对的作用下，棒对o的角加速度为：的角加速度为：-（3）假设水平轴力假设水平轴力 ，及球的力，及球的力 f48联立三式，也可解得联立三式，也可解得方法二：方法二：对象：球杆对象：球杆 用动量守恒角动量守
24、恒用动量守恒角动量守恒假设无水平轴力假设无水平轴力，只有球的力，只有球的力 f由角动量守恒：由角动量守恒：由动量守恒（水平）由动量守恒（水平）o-（1）-（2）-（2）又又 -（3）这个打击位置称为撞击中心这个打击位置称为撞击中心49复习题复习题3.质量为质量为m，半径为，半径为R的圆盘在水平面的圆盘在水平面上绕中心竖直轴上绕中心竖直轴O转动，圆盘与水平面间的转动，圆盘与水平面间的摩擦系数为摩擦系数为 ，已知开始时薄圆盘的角速度，已知开始时薄圆盘的角速度为为 ，试问圆盘转几圈后停止？，试问圆盘转几圈后停止？【解解】刚体转动运动学刚体转动运动学+动力学综合问题动力学综合问题（1）求摩擦力矩）求摩
25、擦力矩设圆盘的面密度设圆盘的面密度 在距在距r处取宽处取宽dr的圆的圆环，该环受的摩擦力环，该环受的摩擦力矩为：矩为：50整个圆盘受的摩擦力矩为：整个圆盘受的摩擦力矩为：（2）由转动定律：）由转动定律：（3）求圆盘转过的角度，圆盘作匀减速转）求圆盘转过的角度，圆盘作匀减速转动：动：51复习题复习题4.已知：如图，半径已知：如图，半径R，盘质量为盘质量为M，绳子两端与，绳子两端与m和弹和弹簧相连，物静止开始下落簧相连，物静止开始下落,绳、绳、轮无相对滑动，轴光滑。求：轮无相对滑动，轴光滑。求：下降距离下降距离h时的速度？时的速度？mMR52【解解】5354mAB2mm,rm,rT=?复习题复习题
26、5.已知：如图，半径已知：如图，半径r，两盘质量都为，两盘质量都为m，绳子两端与，绳子两端与m和和2m相连，物静止开始下落相连，物静止开始下落,绳、绳、轮无相对滑动，轴光滑。求：绳子中的张力？轮无相对滑动，轴光滑。求：绳子中的张力？解解：（1）研研究究对对象象：A、B和两圆柱体；和两圆柱体；（2）受力分析如图：）受力分析如图：55TAABmg2mgTATBTTBA向向上上运运动动，有有加加速速度度aA;B向向下下运运动动，加加速速度度aB,圆圆柱柱体体顺顺时针转动。时针转动。（3）可有下列方程：）可有下列方程：（5）解方程组可得）解方程组可得56复复习习题题6：如如图图：长长为为L质质量量为为m的的匀匀质质棒棒，可可绕绕其其通通过过端端点点的的光光滑滑轴轴在在竖竖直直平平面面内内转转动动。求求棒棒从从水水平平位位置置转转到图中位置的角加速度和角速度（到图中位置的角加速度和角速度（）。）。解：（解：（1）研究对象：棒；）研究对象：棒；受受重重力力作作用用，可可证证明明重重力对转轴的力矩为：力对转轴的力矩为：由转动定理，可得：由转动定理，可得：mgCXOxc57（2）58两边积分两边积分:59