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1、力矩的时间累积效应力矩的时间累积效应 冲量矩、角动量、角动量定理冲量矩、角动量、角动量定理.一一.质点的角动量和刚体的角动量质点的角动量和刚体的角动量 质点质点运动状态的描述运动状态的描述 力的时间累积效应力的时间累积效应 冲量、动量、动量定理冲量、动量、动量定理.刚体刚体定轴转动运动状态的描述定轴转动运动状态的描述 质点在垂直于质点在垂直于 z z 轴平面轴平面上以角速度上以角速度 作半径为作半径为 的圆运动的圆运动.大小大小 的方向符合右手法则的方向符合右手法则1.质点角动量质点角动量A 质点角动量（相对圆心）质点角动量（相对圆心）z（圆运动）（圆运动）2.刚体定轴转动的角动量刚体定轴转动
2、的角动量O 在国际单位制中，在国际单位制中，角动量的单位为角动量的单位为 对于绕固定轴对于绕固定轴oz oz 转动的整转动的整个刚体而言个刚体而言,角动量的方向沿轴角动量的方向沿轴的正向或负向的正向或负向,所以可用代数量所以可用代数量来描述。来描述。二二.角动量定理（动量矩定理）角动量定理（动量矩定理）可变可变 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.在定轴转动中在定轴转动中,内内力矩不改变系统的角动量力矩不改变系统的角动量.守恒条件守恒条件若若 不变不变，不变不变；若若 变变，也变也变，但但 不变。不变。讨论讨论 在在冲击冲击等问题中等问题中常量常量三三.刚
3、体定轴转动的角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量守恒定律 若若 ，则则 .有许多现象都可以用角有许多现象都可以用角动量守恒来说明动量守恒来说明.它是自然它是自然界的界的普遍适用普遍适用的规律的规律.花样滑冰花样滑冰跳水运动员跳水跳水运动员跳水飞轮飞轮航天器调姿航天器调姿 1.哈雷慧星绕太阳运行时的轨道是一个哈雷慧星绕太阳运行时的轨道是一个椭圆，如图所示，它距离太阳最近的距离是椭圆，如图所示，它距离太阳最近的距离是 ,速率速率；它离太阳最远时的速率；它离太阳最远时的速率，这时它离太阳的距离，这时它离太阳的距离 例题分析例题分析解解 彗星受太阳引力的作用，而引力通过了彗星受太阳引力的作用，而引力通过
4、了太阳，所以对太阳的力矩为零，故彗星在运太阳，所以对太阳的力矩为零，故彗星在运行的过程中角动量守恒行的过程中角动量守恒.于是有于是有 代入数据可代入数据可,得得解解:系统角动量守恒系统角动量守恒 2.两个转动惯量分别为两个转动惯量分别为J J1 1 和和J J2 2 的圆盘的圆盘A A和和B B。A A 是机器上的飞轮是机器上的飞轮,B B 是用以改变飞轮转速的离合器圆是用以改变飞轮转速的离合器圆盘。开始时盘。开始时,他们分别以角速度他们分别以角速度1 1 和和2 2 绕水平轴转绕水平轴转动。然后动。然后,两圆盘在沿水平轴方向力的作用下。啮合为两圆盘在沿水平轴方向力的作用下。啮合为一体一体,其
5、角速度为其角速度为,求求齿轮啮合后齿轮啮合后两圆盘的角速度？两圆盘的角速度？3.3.两个均匀圆柱各自绕其中心轴转动，转轴相互平行，两圆柱两个均匀圆柱各自绕其中心轴转动，转轴相互平行，两圆柱质量、半径分别为质量、半径分别为M1M1、M2M2和和R1R1、R2R2，开始时各自的角速度分别，开始时各自的角速度分别为为 1 1、2 2，现将它们缓慢移近使之接触。，现将它们缓慢移近使之接触。求两圆柱在它们相互间摩擦力作用下所达到的最终角速度。求两圆柱在它们相互间摩擦力作用下所达到的最终角速度。两个圆柱体并不是绕同一固定轴两个圆柱体并不是绕同一固定轴在转动在转动,虽然外力矩为零虽然外力矩为零,但角动但角动
6、量不守恒量不守恒,用角动量定理用角动量定理解解最后两个圆柱体接触点的线速度相等最后两个圆柱体接触点的线速度相等4.4.如图所示如图所示,质量为质量为M M的均匀细棒的均匀细棒,长为长为L,L,可绕过端点可绕过端点O O的水平的水平光滑轴在竖直面内转动光滑轴在竖直面内转动,当棒竖直静止下垂时当棒竖直静止下垂时,有一质量为有一质量为m m的小的小球飞来球飞来,垂直击中棒的中点垂直击中棒的中点.由于碰撞由于碰撞,小球碰后以初速度为零自小球碰后以初速度为零自由下落由下落,而细棒碰撞后的最大偏角为而细棒碰撞后的最大偏角为,求小球击中细棒前的速度求小球击中细棒前的速度值值.解：设小球碰撞前速度为解：设小球
7、碰撞前速度为v v 碰撞时碰撞时,M和和m为系统为系统,角动量守恒角动量守恒mvML碰撞后碰撞后,M和地为系统和地为系统,机械能守恒机械能守恒 5.如图所示，一个长为如图所示，一个长为l 、质量为、质量为M 的的匀质杆可绕支点匀质杆可绕支点o自由转动自由转动.一质量为一质量为m、速、速率为率为v 的子弹以与水平方向成角的子弹以与水平方向成角 的方向射的方向射入杆内距支点为入杆内距支点为a 处，使杆的偏转角为处，使杆的偏转角为 .问子弹的初速率为多少？问子弹的初速率为多少？解解 把子弹和匀质杆作为把子弹和匀质杆作为一个系统一个系统,分析可知在碰分析可知在碰撞过程中角动量守恒撞过程中角动量守恒.设
8、子弹射入杆后与杆设子弹射入杆后与杆一同前进的角速度为一同前进的角速度为 ,则则 子弹在射入杆后与杆一起摆动的过程中子弹在射入杆后与杆一起摆动的过程中只有重力做功，所以由子弹、杆和地球组成只有重力做功，所以由子弹、杆和地球组成的系统机械能守恒，因此有的系统机械能守恒，因此有 联立上述这两个方程得子弹的初速率为联立上述这两个方程得子弹的初速率为 6.如图所示，一根质量为如图所示，一根质量为M、长为、长为2l 的的均匀细棒，可以在竖直平面内绕通过其中心均匀细棒，可以在竖直平面内绕通过其中心的光滑水平轴转动，开始时细棒静止于水平的光滑水平轴转动，开始时细棒静止于水平位置位置.今有一质量为今有一质量为m
9、 的小球，以速度的小球，以速度 垂垂直向下落到了棒的端点，设小球与棒的碰撞直向下落到了棒的端点，设小球与棒的碰撞为完全弹性碰撞为完全弹性碰撞.试求碰撞后小球的回跳速试求碰撞后小球的回跳速度度 及棒绕轴转动的角速度及棒绕轴转动的角速度 .解解 分析可知分析可知,以棒和小球组成的系统的角动以棒和小球组成的系统的角动量守恒量守恒.由于碰撞前棒处于静止状态，所以由于碰撞前棒处于静止状态，所以碰撞前系统的角动量就是小球的角动量碰撞前系统的角动量就是小球的角动量 ;由于碰撞后小球以速度由于碰撞后小球以速度v 回跳，棒获得的角回跳，棒获得的角速度为速度为 ，所以碰撞后系统的角动量为，所以碰撞后系统的角动量为
10、由角动量守恒定律得由角动量守恒定律得 由题意知，碰撞是完全弹性碰撞，所以由题意知，碰撞是完全弹性碰撞，所以碰撞前后系统的动能守恒，即碰撞前后系统的动能守恒，即 联立以上两式，可得小球的速度为联立以上两式，可得小球的速度为棒的角速度为棒的角速度为要保证小球回跳要保证小球回跳 ，则必须保证，则必须保证 .讨论讨论:7.7.一匀质细棒长为一匀质细棒长为l l ，质量为，质量为m m，可绕通过其端点，可绕通过其端点O O的水平轴的水平轴在竖直平面内无摩擦地转动。棒在水平位置时释放，当它落在竖直平面内无摩擦地转动。棒在水平位置时释放，当它落到竖直位置时与放在地面上一静止的物体相撞。该物体的质到竖直位置时
11、与放在地面上一静止的物体相撞。该物体的质量也为量也为m m，与地面的摩擦系数为，与地面的摩擦系数为。相撞后物体沿地面滑行一。相撞后物体沿地面滑行一距离距离s s而停止而停止,求碰撞后杆的转动动能。求碰撞后杆的转动动能。解解:分为三个阶段分为三个阶段1)1)棒自由摆落棒自由摆落,机械能守恒机械能守恒 2)2)碰撞瞬间碰撞瞬间,内力矩内力矩外力矩外力矩,角动量守恒角动量守恒 3)3)物体在碰撞后的滑行物体在碰撞后的滑行 联立得联立得 质点运动与刚体定轴转动对照质点运动与刚体定轴转动对照质点运动质点运动刚体定轴刚体定轴转动转动速度速度加速度加速度角速度角速度角加速度角加速度质量质量 m转动惯量转动惯
12、量动量动量角动量角动量力力力矩力矩质点运动规律与刚体定轴转动的规律对照质点运动规律与刚体定轴转动的规律对照运动定律运动定律转动定律转动定律质点的平动质点的平动刚体的定轴转动刚体的定轴转动动量定理动量定理角动量定理角动量定理动量守恒定律动量守恒定律角动量守恒定律角动量守恒定律力的功力的功力矩的功力矩的功动能动能转动动能转动动能质点运动规律与刚体定轴转动的规律对照质点运动规律与刚体定轴转动的规律对照质点的平动质点的平动刚体的定轴转动刚体的定轴转动动能定理动能定理动能定理动能定理重力势能重力势能重力势能重力势能机械能守恒机械能守恒只有保守力作功时只有保守力作功时机械能守恒机械能守恒只有保守力作功时只
13、有保守力作功时圆圆锥锥摆摆子子弹弹击击入入杆杆以子弹和杆为系统以子弹和杆为系统机械能机械能不不守恒守恒.角动量守恒；角动量守恒；动量动量不不守恒；守恒；以子弹和沙袋为系统以子弹和沙袋为系统动量守恒；动量守恒；角动量守恒；角动量守恒；机械能机械能不不守恒守恒.圆锥摆系统圆锥摆系统动量动量不不守恒；守恒；角动量守恒；角动量守恒；机械能守恒机械能守恒.讨讨 论论子子弹弹击击入入沙沙袋袋细细绳绳质质量量不不计计 一人握有两只哑铃一人握有两只哑铃,站在一可无摩擦地转动站在一可无摩擦地转动的水平平台上的水平平台上,开始时两手平握哑铃开始时两手平握哑铃,人、哑铃、平人、哑铃、平台组成的系统以一角速度旋转台组
14、成的系统以一角速度旋转,后来此人将哑铃下垂后来此人将哑铃下垂于身体两侧于身体两侧,在此过程中在此过程中,系统系统(A)角动量守恒角动量守恒,机械能不守恒机械能不守恒;(B)角动量守恒角动量守恒,机械能守恒机械能守恒;(C)角动量不守恒角动量不守恒,机械能守恒机械能守恒;(D)角动量不守恒角动量不守恒,机械能不守恒机械能不守恒.练习练习 关于力矩有以下几种说法关于力矩有以下几种说法:（1）内力矩不会改变刚体对某个轴的角动量）内力矩不会改变刚体对某个轴的角动量;（2）作用力和反作用力对同一轴的力矩之和必为零）作用力和反作用力对同一轴的力矩之和必为零;（3）质量相等）质量相等,形状和大小不同的两个刚
15、体形状和大小不同的两个刚体,在相同在相同力矩的作用下力矩的作用下,他们的角加速度一定相等他们的角加速度一定相等;在上述说法中在上述说法中(A)只有（只有（2）是正确的）是正确的;(B)（1）、（）、（2）是正确的）是正确的;(C)（2）、（）、（3）是正确的）是正确的;(D)（1）、（）、（2）、（）、（3）都是正确的）都是正确的.练习练习(A)动量不守恒动量不守恒,动能守恒动能守恒;(B)动量守恒动量守恒,动能不守恒动能不守恒;(C)角动量守恒角动量守恒,动能不守恒动能不守恒;(D)角动量不守恒角动量不守恒,动能守恒动能守恒.人造地球卫星人造地球卫星,绕地球作椭圆轨道运动绕地球作椭圆轨道运动
16、,地球地球在椭圆的一个焦点上在椭圆的一个焦点上,则卫星的：则卫星的：练习练习 一滑冰者开始转动时一滑冰者开始转动时 ，然后将，然后将手臂收回，使转动惯量减少为原来的手臂收回，使转动惯量减少为原来的 1/3，求此时的转，求此时的转动角速度动角速度.注意：注意：刚体定轴转动刚体定轴转动内力矩内力矩的功之的功之和为和为零，非零，非刚体刚体不不一定一定.解：解：外力矩为零，外力矩为零，角动量守恒角动量守恒内力做功，内力做功，转动动能转动动能变化变化练习练习 把单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同一点，杆与把单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同一点，杆与单摆的摆锤质量均为单摆的摆锤质量均为 m.开始时直杆自然下垂，将单摆开始时直杆自然下垂，将单摆摆锤拉到高度摆锤拉到高度 ，令它自静止状态下摆，于垂直位置，令它自静止状态下摆，于垂直位置和直杆作弹性碰撞和直杆作弹性碰撞.求求 碰后直杆下端达到的高度碰后直杆下端达到的高度 h.c 解：解：此问题分为此问题分为三个阶段三个阶段 1）单摆自由下单摆自由下摆（机械能守恒），摆（机械能守恒），与杆碰前速度与杆碰前速度练习练习2）摆与杆弹性碰撞（摆与杆弹性碰撞（摆，杆摆，杆）角动量守恒角动量守恒动能不变动能不变3）碰后杆上摆，碰后杆上摆，机械能守恒（机械能守恒（杆，地球杆，地球）c