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1、第七章第七章:常微分方程常微分方程(自测题答案自测题答案)一、选择题:1、一阶线性非齐次微分方程y P(x)y+Q(x)的通解是(C ).P(x)dxP(x)dx P(x)dxP(x)dxdx；Q(x)edxC；(B)y=eQ(x)e(A)y e(C)y=eP(x)dx P(x)dx P(x)dxQ(x)edxC；(D)y=ce.2、方程xy=x2 y2 y是(A ).(A)齐次方程；(B)一阶线性非齐次方程；(C)一阶线性齐次方程；(D)可分离变量方程.yxxx 3、已知y 是微分方程y()的解，则()的表达式为（A）.xyylnxx2x2y2y2(A)2；(B)2；(C)2；(D)2.yy
2、xxdydx4、22 0,y(1)2的特解是(B ).xy (A)x2 y2=2；(B)x3 y3 9；x3y31.(C)x y=1；(D)335、方程y=sin x的通解是(A ).11 (A)y=cosxC1x2C2xC3；(B)y=sin xC1x2C2xC3；22 (C)y=cos xC1；(D)y=2sin 2x.6、方程y y=0的通解是(B).(A)y sin xcosx+C1；(B)y C1sin xC2cos x+C3；33 (C)y sin xcos x+C1；(D)y sin xC1.7、若y1和y2是二阶齐次线性方程y P(x)yQ(x)y 0的两个特解,则y C1y1
3、C2y2(其中C1,C2为任意常数)(B).(A)是该方程的通解；(B)是该方程的解；(C)不是该方程的解；(D)不一定是该方程的解.8、求方程yy(y)2=0的通解时,可令(B ).dP (A)y P,则y P；(B)y P,则y=P；dydPdP (C)y P,则y=P；(D)y P,则y=P.dydx 9、设 线 性 无 关 的 函 数y1，y2，y3都 是 二 阶 非 齐 次 线 性 方 程y p(x)yq(x)y f(x)的解，C1,C2为任意常数，则该非齐次方程的通解是(D ).(A)y C1y1C2y2 y3；(B)y C1y1C2y2(C1C2)y3；(C)y C1y1C2y2
4、(1C1C2)y3；(D)y C1y1C2y2(1C1C2)y3.10、方程y3y 2y xex的一个特解形式是 (C ).(A)y (ax b)ex；(B)；y aexx (C)y (ax b)exx；(D)y aex.二、求下列一阶微分方程的通解:1、xyln x y ax(ln x1)；2、(y26x)dy2y 0.；dxcy23y ax；x cy;2ln xxxxyy3、(12e)dx2e(1)dy 0.yx2ye c.三、求下列高阶微分方程的通解:1、xyy y x；2、y y2y 0.1x2xy C1exx2 xC2；y C1C2e C3e;232x y x y 1；3、解解方程中
5、不显含未知函数y，令y P，y dP3dP，代入原方程，得x x2P 1，dxdxdP11P 3，这是关于未知函数P(x)的一阶线性微分方程，代入常数变易法的通解dxxx公式，所以1dx(3exdx C1）P(x)ex1111C11ln x=e(3eln xdx C1）=(3 xdx C1）=(C1）=21，xxxxxxxdy1C由此=21，xdxx1C1y(21)dx=C1ln x C2，xxxxdx11因此，原方程的通解为y=1C1ln x C2（C1,C2为任意常数）.x4、y 4y8y e2xsin2x.2解解 对应的齐次微分方程的特征方程r 4r 8 0，特征根r1,2 2 2i.于
6、是所对应的齐次微分方程通解为yc e2x(C1cos2x C2sin 2x)为了求原方程y 4y8y e2xsin 2x的一个特解,先求y 4y8y e(22i)x（）的特解.由于 2 2i是特征方程的单根，且Pm(x)1是零次多项式。所以设特解为y Axe(22i)x，代入原方程，化简得(4 4i)A8iAx 4A(2 2i)Ax8Ax 1,1i比较同类项系数，得4Ai 1，A .4i4所以，方程（）的特解为i1y xe2x(cos2x isin2x)=xe2x(icos2x sin2x),4412x其虚部即为所求原方程的特解yP xecos2x.4因此原方程通解为y e2x(C1cosxC
7、2sinx)12xxecos2x.4四、求下列微分方程满足所给初始条件的特解:21.xydy dx y dx ydy满足条件yx0 2的特解.y1dy dx，x 1y21解解 这是可以分离变量的微分方程，将方程分离变量，有两边积分，得求积分得ydy 2y 11x 1dx，1ln y21 ln x1 C1，ln y21 ln(x1)22C1，2y21 (x 1)2e2C1，y21 e2C1(x 1)2，C 0，得方程的解y21 C(x1)2.可以验证C 0时，y 1，它们也是原方程的解，因此，式y21 C(x1)2中的C可记 e以为任意常数，所以原方程的通解为y21 C(x1)2（C为任意常数）
8、.代入初始条件yx02C12得C 3，所以特解为y21 3(x1)2.x122.2(y)y(y 1)满足初始条件y2，yx1 1的特解.解解方程不显含x，令y P，y P当P 0时根据ydPdP2(y 1)，则方程可化为2P PdydydP2dy，于是P C1(y 1)2.Py 12，yx1x11，知yy2 1代入上式，得C1 1，从而得到x1dy1 dx，积分得 xC2，再由y2y 1(y 1)2，求得C2 0，于是当P 0时，原方程满足所给初始条件的特解为1 x，y 11 x中.y 1当P 0时，得y C(常数)，显然这个解也满足方程，这个解可包含在解故原方程满足所给初始条件的特解为11
9、x，即y 1y 1x五、已知某曲线经过点(1,1),它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标,求它的方程.解解 设所求曲线方程为y f(x)，P(x,y)为其上任一点，则过P点的曲线的切线方程为Y y y(X x)，由假设，当X 0时Y x，从而上式成为dy1y 1.因此求曲线y y(x)的问题，dxx1yy 1转化为求解微分方程的定解问题，的特解.xyx11 P(x)dxP(x)dx(Q(x)edx C，得由公式y ey e代入yxdx1(1)exdx1dx C)=xln xCx，x11得C 1，故所求曲线方程为y x(1ln x).六、一质量为m的质点由静止开始沉入液体，当下沉时，液体的反作用力与下沉速度成正比，求此质点的运动规律.解解 设质点的运动规律为x x(t).由题意，有d2xdxm mg k,dt2dt（k 0为比例系数）dxxt0 0,t0 0,dtd2xk dx g，方程变为2m dtdt齐次方程的特征方程为r2kkkr 0，r(r)0，r1 0，r2.mmmktm故原方程所对应的齐次方程的通解为xc C1C2e，mg，k因 0是特征单根，故可设xp at，代入原方程，即得a 故xpmgt，所以原方程的通解kx C1C2e由初始条件得C1 m2gk2ktmmgt,k，C2m2gk2，ktmgm2gt 2(1em).因此质点的运动规律为x(t)kk.