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1、-第七章常微分方程自测题(答案)-第 5 页 第七章:常微分方程(自测题答案)一、 选择题: 1、 一阶线性非齐次微分方程的通解是(C ). (A)； (B)； (C)； (D).2、 方程是( A ). (A)齐次方程； (B)一阶线性非齐次方程；(C) 一阶线性齐次方程； (D)可分离变量方程 . 3、已知是微分方程的解，则的表达式为（ A ）.(A) ； (B) ； (C) ； (D).4、 的特解是(B ). (A)； (B)； (C)； (D).5、 方程的通解是( A ). (A)； (B)； (C)； (D).6、 方程的通解是( B ). (A)； (B)； (C)； (D).
2、7、 若和是二阶齐次线性方程的两个特解,则 (其中为任意常数)( B ). (A)是该方程的通解； (B)是该方程的解； (C)不是该方程的解； (D)不一定是该方程的解.8、求方程的通解时,可令( B ). (A) ,则 ； (B) 则； (C) 则； (D) 则. 9、设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程 的解，为任意常数，则该非齐次方程的通解是( D ). (A) ； (B) ； (C) ； (D) . 10、方程的一个特解形式是 ( C ). (A) ； (B)； (C) ； (D) .二、求下列一阶微分方程的通解: 1、； 2、.；3、.三、求下列高阶微分方程的通解: 1、； 2、
3、.3、； 解 方程中不显含未知函数，令，代入原方程，得 ，这是关于未知函数的一阶线性微分方程，代入常数变易法的通解公式，所以由此 =，因此，原方程的通解为 = （为任意常数）.4、.解 对应的齐次微分方程的特征方程 ，特征根 .于是所对应的齐次微分方程通解为为了求原方程的一个特解,先求（）的特解.由于是特征方程的单根，且是零次多项式。所以设特解为 ，代入原方程，化简得比较同类项系数，得 ，.所以，方程（）的特解为其虚部即为所求原方程的特解 .因此原方程通解为四、求下列微分方程满足所给初始条件的特解: 1. 满足条件的特解. 解 这是可以分离变量的微分方程，将方程分离变量，有 ，两边积分，得 ，
4、求积分得 ，记 ，得方程的解 .可以验证 时，它们也是原方程的解，因此，式中的可以为任意常数，所以原方程的通解为 （为任意常数）.代入初始条件 得 ，所以特解为 .2. 满足初始条件，的特解.解 方程不显含，令 ，则方程可化为 ，当 时 ，于是 .根据 ，知 代入上式，得 ，从而得到 ，积分得 ，再由，求得 ，于是当时，原方程满足所给初始条件的特解为 ，当时，得(常数)，显然这个解也满足方程，这个解可包含在解中.故原方程满足所给初始条件的特解为，即 五、已知某曲线经过点,它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标,求它的方程 .解 设所求曲线方程为 ，为其上任一点，则过点的曲线的切线方程为 ，由假设，当时 ，从而上式成为 .因此求曲线的问题，转化为求解微分方程的定解问题 ，的特解.由公式 ，得代入得 ，故所求曲线方程为 .六、一质量为的质点由静止开始沉入液体，当下沉时，液体的反作用力与下沉速度成正比，求此质点的运动规律.解 设质点的运动规律为.由题意，有 （为比例系数）方程变为 ，齐次方程的特征方程为 ， ，.故原方程所对应的齐次方程的通解为 ，因是特征单根，故可设 ，代入原方程，即得 ，故，所以原方程的通解由初始条件得 ，因此质点的运动规律为 .