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1、机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 第九章 常微分方程初值问题的数值解法内容提要9.1 引言9.2 简单的数值方法与基本概念9.3 龙格-库塔方法9.4 单步法的收敛性与稳定性机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 9.1 引言引言 虽然求解微分方程有许多解析方法，但解析方法只能够虽然求解微分方程有许多解析方法，但解析方法只能够求解一些特殊类型的方程，从实际意义上来讲。我们更关心求解一些特殊类型的方程，从实际意义上来讲。我们更关心的是某些的是某些 特定的自变量在某一个定义范围内的一系列离散特定的自变量在某一个定义范围内的一系列离散点上的近似值。一组近似解称为微分方程在该范围
2、内的数值点上的近似值。一组近似解称为微分方程在该范围内的数值解寻找数值解的过程称为数值求解微分方程。解寻找数值解的过程称为数值求解微分方程。机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 9.2 简单的数值方法与基本概念简单的数值方法与基本概念1、欧拉方法、欧拉方法0 xyP0P1P2Pn-1Pn机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 xnyny(xn)xnyny(xn)0.10.20.30.40.51.10001.19181.27741.35821.43511.09541.18321.26
3、491.34161.41420.60.70.80.91.01.50901.58031.64981.71781.78481.48321.54921.61251.67331.7321机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 2、后退的欧拉方法、后退的欧拉方法2、后退的欧拉方法、后退的欧拉方法机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 3、梯形方法、梯形方法 等式等式(2.4)右端积分中若用梯形公式近似，则得到梯形方右端积分中若用梯形公式近似，则得到梯形方法。法。机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 机动上页下页首页结束工科研究生公
4、共课程数学系列 xnyn|y(xn)-yn|0.10.20.30.40.51.1105261.2432131.4003931.5846451.7988180.0001844790.0004077790.0006760270.0009962100.001376285机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 4、单步法的局部截断误差与阶、单步法的局部截断误差与阶机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学
5、系列 5、改进的欧拉公式、改进的欧拉公式机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 xnyny(xn)xnyny(xn)0.10.20.30.40.51.09591.18411.26621.34341.41641.09541.18321.26491.34161.41420.60.70.80.91.01.48601.55251.61531.67821.73791.48321.54921.61251.67331.7321机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 9.3 龙格龙格-库塔方法库塔方法1、显式龙格、显式龙格-库塔法的一般形式库塔法的一般形式机动上页下页首页结束工科研究生公共课程
6、数学系列 2、二阶显式、二阶显式R-K方法方法 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 3、四阶、四阶R-K方法方法 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 4、单步法的收敛性、单步法的收敛性机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 知识结构图九常微分方程初值问题数值解法单步法线性多步法阿达姆斯显式与隐式方法米尔尼方法与辛普森方法汉明方法预测-校正方法主要方法重要概念（截断误差、方法精度、收敛性、相容性、绝对稳定性等）主要方法欧拉方法梯形方法龙格-库塔法（包括改进的欧拉法）构造方法（数值积分法、泰勒展开法）方程组与高阶方程机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列