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1、机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 数值分析课件第6章 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 即AX=b 其中A为非奇异矩阵，当A为低阶稠密矩阵时，线性方程组用直接法(如高斯消去法和三角分解法)是有效的，但对于由工程技术中产生的大型稀疏矩阵方程组（A的阶数n很大，但零元素较多），利用迭代法求解是适合的。在计算机内存和运算两方面，迭代通常都可利用A中有大量零元素的特点。考虑线性方程组6.1 引言引言
2、机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 本章将介绍迭代法的一般理论及雅可比迭代法、高斯塞德尔迭代法、超松弛迭代法，研究它们的收敛性。机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 6.2 基本迭代基本迭代机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 一、雅可比迭代法一、雅可比迭代法机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 二、高斯二、高斯塞德
3、尔迭代法塞德尔迭代法机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 SOR迭代法的计算公式:对k=0,1,三、逐次超松驰三、逐次超松驰(SOR)(SOR)迭代法迭代法机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 说明说明:1)=1,即为GS（高斯-赛德尔迭代法）;2)1，称为超松驰法；1，称为低松驰法；3)SOR方法每迭代一次主要运算量是计算一次矩阵 与向量的乘法。例6-3 用SOR迭代法解线性代数方程组机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 6.3 迭代法的收敛性迭代法的收敛性一、一阶定
4、常迭代法的基本定理一、一阶定常迭代法的基本定理机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 注：定理5中的矩阵是迭代矩阵，常用格式的迭代矩阵如下：1)雅可比迭代法:BJ=D-1(L+U)，fJ=D-1b;2)高斯-赛德尔迭代法:BG=(D-L)-1U，fG=(D-L)-1b;3)SOR迭代法:BSOR=(D-L)-1(1-)D+U，fSOR=(D-L)-1b.机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 例6-4 考察用雅可比迭代法求解线性方程组机
5、动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 二、某些特殊方程组的迭代收敛性二、某些特殊方程组的迭代收敛性定义定义3 3 （1 1）按行严格对角占优）按行严格对角占优 （2 2）按行弱对角占优）按行弱对角占优 上式至少有一个不等号严格成立。上式至少有一个不等号严格成立。机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 定理定理6(6(对角占优定理对角占优定理)若矩阵若矩阵A A按行按行(或列或列)严格对角占优，或严格对角占优，或 按行按行(或列或列)弱对
6、角占优且不可约；则矩阵弱对角占优且不可约；则矩阵A A非奇异。非奇异。定理定理7 7 若矩阵若矩阵A A按行按行(或列或列)严格对角占优严格对角占优,或按行或按行(或列或列)弱对弱对 角占优不可约；则角占优不可约；则JacobiJacobi迭代、迭代、Gauss-SeidelGauss-Seidel迭代都收敛。迭代都收敛。定理定理9 9 对于线性方程组对于线性方程组Ax=bAx=b，若，若A A为对称正定矩阵，则当为对称正定矩阵，则当0022时，时，SORSOR迭代收敛。迭代收敛。机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 定理定理10 对于线性代数方程组对于线性代数方程组Ax=b，若若A按行按行(或列或列)严格对严格对角占优，或按行角占优，或按行(或列或列)弱对角占优不可约；则当弱对角占优不可约；则当01时，时，SOR迭代收敛。迭代收敛。机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 知识结构图六迭代法解方程组迭代法基本概念高斯-赛德尔迭代法迭代格式收敛条件（充要条件、充分条件四个）SQR迭代法迭代法收敛速度雅可比迭代法迭代格式收敛条件（充要条件、充分条件四个）迭代格式收敛条件（充要条件、必要条件、充分条件五个）机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列