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1、机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 数值分析课件第5章 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 5.1 引言引言机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 关于线性方程组的数值解法一般有两类：关于线性方程组的数值解法一般有两类：1、直接解法：经过有限次的算术运算，可求得方程组精确、直接解法：经过有限次的算术运算，可求得方程组精确解的方法（若计算过程中没有舍入误差）。但实际计算中由解的方法（若计算
2、过程中没有舍入误差）。但实际计算中由于舍入误差的存在和影响，这种方法也只能求得线性方程组于舍入误差的存在和影响，这种方法也只能求得线性方程组的近似解。本章主要研究此类问题的解法。的近似解。本章主要研究此类问题的解法。2、迭代法：用某种极限过程去逐步逼近现行方程组精确解、迭代法：用某种极限过程去逐步逼近现行方程组精确解的方法。迭代法具有需要计算机的存储单元较少、程序设计的方法。迭代法具有需要计算机的存储单元较少、程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中始终不变等优点。简单、原始系数矩阵在计算过程中始终不变等优点。机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程
3、数学系列 5.2 高斯消去法高斯消去法机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 在求解三角方程组在求解三角方程组,得得机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 高斯消去法的条件高斯消去法的条件机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 5.3 高斯主元素消去法高斯主元素消去法列主元消去法列主元消去法机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 5.4 矩阵三角分解法矩阵三角分解法 Ax=b是线性方程组是线性方程组,A是是nn方阵方阵,
4、并设并设A的各阶顺序主的各阶顺序主子式不为零。令子式不为零。令 A(1)=A,当高斯消元法进行第一步后当高斯消元法进行第一步后,相当于相当于用一个初等矩阵左乘用一个初等矩阵左乘A(1)。不难看出，这个初等矩阵为。不难看出，这个初等矩阵为机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 重复这个过程，最后得到重复这个过程，最后得到一般地一般地机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 这就是说，高斯消去法实质上产生了一个将这就是说，高斯消去法实质上产生了一个将A分解为分解为两个三角形矩阵相乘的因式分解，于是我们得到如下重要两个三角形矩阵相乘的因式分解，于是我们得到如下重要定理。定理。机动上页下
5、页首页结束工科研究生公共课程数学系列 当当A进行进行LU分解后，分解后，Ax=b就容易解了就容易解了.即即Ax=b等价于等价于:机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 追赶法追赶法 在一些实际问题中，在一些实际问题中，例如解常微分方程边值问题，热传导方例如解常微分方程边值问题，热传导方程以及船体数学放样中建立三次样条函数等，都会要求解系程以及船体数学放样中建立三次样条函数等，都会要求解系数矩阵为对角占优的三对角线方程组数矩阵为对角占优的三对角线方程组其中其中其中其中|i-ji-j|1|1时时时时,a aij ij=0,=0,且满足如下的对
6、角占优条件且满足如下的对角占优条件且满足如下的对角占优条件且满足如下的对角占优条件:(1)|(1)|b b1 1|c c1 1|0,|0,|b bn n|a an n|0|0(2)|(2)|b bi i|a ai i|+|+|c ci i|,|,a ai ic ci i0,0,i i=2,3,=2,3,n n-1.-1.机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 5.5 向量和矩阵的范数向量和矩阵的范数定义定义1(向量范数向量范数)x 和和 y 是
7、是 Rn 中的任意向量中的任意向量,向量范数向量范数是定是定义义在在 Rn上的实值函数上的实值函数,它满足它满足:(1)x 0,并且当且仅当并且当且仅当 x=0 时时,x=0;(2)k x=|k|x,k 是一个实数是一个实数;(3)x+y x+y 常使用的向量范数有三种常使用的向量范数有三种,设设 x=(x1,x2,xn)T 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 常使用的矩阵范数有三种常使用的矩阵范数有三种,设设 x=(x1,x2,xn)T 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 5.6 误差分析机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 知识结构图五直接法解方程组高斯消去法矩阵的正交三角化及应用定义常用范数范数的性质初等反射阵平面旋转变换矩阵矩阵的QR分解应用：求解超定方程组高斯消去法高斯若当消去法列主元消去法矩阵三角分解法LU分解平方根分解LDLT分解追赶法解三对角方程组向量和矩阵的范数矩阵条件数及迭代改善法机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列