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1、第第13章章 曲线与曲面曲线与曲面提高篇 13131 1 概述概述 13132 2 曲线的基本概念、投影及性质曲线的基本概念、投影及性质 13133 3 工程上常用的曲线工程上常用的曲线 13134 4 曲线的拟合曲线的拟合 13135 5 曲面的基本概念曲面的基本概念 13136 6 直纹面直纹面 13138 8 曲纹曲面曲纹曲面 13137 7 螺旋面螺旋面 13139 9 曲面的骨架给定法曲面的骨架给定法 131310 10 曲面的切平面曲面的切平面 13131 1 概概 述述 在日常生活中，曲线曲面比比皆是，从宏观看如河流、道路、空在日常生活中，曲线曲面比比皆是，从宏观看如河流、道路、
2、空中架设的电线、子弹在空中飞行的轨道等均可看作曲线。多种机械中架设的电线、子弹在空中飞行的轨道等均可看作曲线。多种机械零件和建筑物的表面为曲面，如汽车的外壳、飞机的机身及船体的零件和建筑物的表面为曲面，如汽车的外壳、飞机的机身及船体的表面等等均为曲面，建筑物如悉尼歌剧院的墙面等。曲线曲面普片表面等等均为曲面，建筑物如悉尼歌剧院的墙面等。曲线曲面普片存在于整个宇宙空间之中，并被广泛应用于工程实际中。存在于整个宇宙空间之中，并被广泛应用于工程实际中。曲线曲面的造型设计一直是工程界和图学界的主攻研究方向。曲线曲面的造型设计一直是工程界和图学界的主攻研究方向。无论在理论上，还是在实际中都具有极其重要的
3、意义。特别是计算无论在理论上，还是在实际中都具有极其重要的意义。特别是计算技术在曲线曲面研究的应用，使得曲线曲面的研究取得了日新月异技术在曲线曲面研究的应用，使得曲线曲面的研究取得了日新月异的进展的进展。本章重点研究工程上应用广泛的曲线曲面，同时还将介绍曲本章重点研究工程上应用广泛的曲线曲面，同时还将介绍曲线的拟合，曲面的骨架给定等内容，为曲线曲面的造型设计打下线的拟合，曲面的骨架给定等内容，为曲线曲面的造型设计打下基础。基础。13132 2 曲线的基本概念、投影及性质曲线的基本概念、投影及性质本节内容：曲线的形成；曲线的分类；曲线的图示给定；曲线的一般投影性质；曲线的实长。一、曲线的形成一、
4、曲线的形成（1）轨迹法：曲线是点运动的轨迹（2）交线法：曲线可看作是平面与曲面或曲面与曲面的交线（3）包络线法：曲线可看作是由某一线束（直线族、曲线族）包络而成。轨迹法两曲面交线法包络线法二、曲线的分类二、曲线的分类曲线曲线平面曲线平面曲线：曲线上所有的点都在同一平面内的曲线。如圆、抛物线。空间曲线空间曲线：曲线任意连续的四个点不在同一平面内 的曲线。如螺旋线。曲线曲线规则曲线：规则曲线：点按一定规律运动形成的曲线。如正弦曲线、圆、抛物线、螺旋线等不规则曲线：不规则曲线：只能用图形或近似的数学方程式近似表示的曲线。如机翼曲线、分子运动曲线。三、曲线的图示给定三、曲线的图示给定 曲线是点的集合，
5、曲线的投影可以用连接曲线上的各点的同面投影给定。为确切地表示出曲线，常常将曲线上的一些特殊点，如起点、终点、极限点、反曲点、曲率极值点。MNABCDEFafedcmnb12543632451613542632456注意注意：在绘制曲线投影时，应将各特殊点标注出来。如上图所示，两曲线的两面投影相同，但是是不同的曲线。2、3点是重影点。四、曲线的一般投影性质四、曲线的一般投影性质（1）曲线的投影一般为曲线。一般情况下，其投影的次数不变，特殊情况下，投影的次数可能减少，但曲线的三投影不可能同时为直线。（2）曲线上点的投影必在曲线的同面投影上。（3）直线与曲线相交，其投影必定相交。（4）直线与曲线相切
6、，其投影相切，且切点不变。（5）平面曲线上具有切点性质的奇异点，如反曲点（拐点）、尖点（回折点）、多重点（结点），投影后其性质不变，即反曲点、尖点、多重点仍为反曲点、尖点、多重点。MNABCDEFafedcmnbKk五、曲线的实长五、曲线的实长 工程上的曲线实长常采用近似图解法求得，作图时先将空间曲线工程上的曲线实长常采用近似图解法求得，作图时先将空间曲线展成平面曲线，再展成直线。将空间曲线分成很多段，用直角三角形展成平面曲线，再展成直线。将空间曲线分成很多段，用直角三角形法求出每一段的实长，将各段实长相加即近似得到空间曲线的实长。法求出每一段的实长，将各段实长相加即近似得到空间曲线的实长。1
7、3133 3 工程上常用的曲线工程上常用的曲线 工程实践中应用最广的平面曲线有圆锥曲线（二次曲线）及阿基米德螺线、渐开线、摆线等几种特殊的曲线；应用最广的空间曲线有螺旋线。一、二次曲线方程一、二次曲线方程（1）二次曲线的一般方程:（2）圆锥曲线方程二次曲线方程经过坐标变换和化简之后，最常见的二次方程有：由于这些曲线可用平面截切圆锥得到，故称这些曲线为圆锥曲线过锥顶过锥顶两相交直线两相交直线圆圆=90=90P PV V椭圆椭圆抛物线抛物线=双曲线双曲线=0=0P PV VP PV VP PV VP PV V二、圆的投影及性质二、圆的投影及性质（1 1 1 1）当圆平面平行于投影面时，其投影反映其
8、实形圆；）当圆平面平行于投影面时，其投影反映其实形圆；）当圆平面平行于投影面时，其投影反映其实形圆；）当圆平面平行于投影面时，其投影反映其实形圆；（2 2 2 2）当圆平面垂直于投影面时，其投影积聚为一直线；）当圆平面垂直于投影面时，其投影积聚为一直线；）当圆平面垂直于投影面时，其投影积聚为一直线；）当圆平面垂直于投影面时，其投影积聚为一直线；（3 3 3 3）当圆平面倾斜于投影面时，其投影为椭圆，且投影椭圆的长轴为过圆）当圆平面倾斜于投影面时，其投影为椭圆，且投影椭圆的长轴为过圆）当圆平面倾斜于投影面时，其投影为椭圆，且投影椭圆的长轴为过圆）当圆平面倾斜于投影面时，其投影为椭圆，且投影椭圆的
9、长轴为过圆心的一条投影面平行线，而投影椭圆的短轴为过圆心的一条最大斜度线。心的一条投影面平行线，而投影椭圆的短轴为过圆心的一条最大斜度线。心的一条投影面平行线，而投影椭圆的短轴为过圆心的一条最大斜度线。心的一条投影面平行线，而投影椭圆的短轴为过圆心的一条最大斜度线。圆上一对相互垂直的直径投影成椭圆的一对共轭直径。圆上一对相互垂直的直径投影成椭圆的一对共轭直径。圆上一对相互垂直的直径投影成椭圆的一对共轭直径。圆上一对相互垂直的直径投影成椭圆的一对共轭直径。OoABCDbadcababcddcoo【例题例题】在四边形平面上，以在四边形平面上，以O O圆心，圆心，半径径R=30R=30，作圆的两面投
10、影。作圆的两面投影。三、椭圆的及其投影特性三、椭圆的及其投影特性四、几种特殊的平面曲线四、几种特殊的平面曲线（1）在特定条件下，椭圆的投影可能为一个圆。（2）椭圆一对共轭直径，投影后性质不变，即仍为其投影椭圆的一对共轭直径。阿基米德螺线、渐开线、摆线。五、圆柱螺旋线五、圆柱螺旋线1 1、圆柱螺旋线的形成、圆柱螺旋线的形成 一动点沿圆柱母线作等速直线运动，同时该母线又绕圆柱的轴线作等速旋转运动，点在空间的复合运动轨迹称为圆柱螺旋线。2 2、圆柱螺旋线的三个基本要素、圆柱螺旋线的三个基本要素圆柱直径；旋向；导程。3 3、圆柱螺旋线的投影、圆柱螺旋线的投影（1）画出导圆柱的投影，将底圆和导程分为n等
11、份；（2）由圆周上各等分点作垂线，与导程上相应的等分点的水平直线相交，得出1、2、3.即为螺旋线的投影。（3）依次光滑连接1、2、3.点，即得到螺旋线的正面投影。螺旋线的正面投影为一正弦曲线，圆柱后面的部分用虚线表示。圆柱螺旋线投影的画法 13134 4 曲线的拟合曲线的拟合 飞机的机翼、发动机和汽轮机的叶片、船舶等曲线的形状都是通过飞机的机翼、发动机和汽轮机的叶片、船舶等曲线的形状都是通过风洞试验、水池试验或其它的一些试验确定得来得，这些曲线目前还无风洞试验、水池试验或其它的一些试验确定得来得，这些曲线目前还无法用数学方程确定，而只能用一些离散的型值点来描述它们的大致走向。法用数学方程确定，
12、而只能用一些离散的型值点来描述它们的大致走向。为了进一步分析这些曲线的几何性质，或者为了加工出这些曲线，为了进一步分析这些曲线的几何性质，或者为了加工出这些曲线，常常需要将离散的型值点构造出符合实际要求的连续曲线，根据离散的常常需要将离散的型值点构造出符合实际要求的连续曲线，根据离散的型值点求得一条连续的曲线是使它符合实际的要求，称为曲线的拟合。型值点求得一条连续的曲线是使它符合实际的要求，称为曲线的拟合。曲线的拟合方法：线性拟合、圆弧拟合和样条拟合。曲线的拟合方法：线性拟合、圆弧拟合和样条拟合。13135 5 曲面的基本概念曲面的基本概念一、曲面的形成及分类一、曲面的形成及分类曲面的形成：曲
13、面可由一动线（直线或曲线）在空间连续运动而形成。曲面曲面规则曲面规则曲面不规则曲面不规则曲面直纹面直纹面曲纹曲面曲纹曲面单曲面单曲面扭曲面扭曲面二、曲面的图示给定二、曲面的图示给定（1）给出曲面的确定要素：母线及导元素。（2）给出曲面的骨架。13136 6 直纹面直纹面直线在空间连续运动形成的曲面称为直纹面直线在空间连续运动形成的曲面称为直纹面直纹面的分类直纹面的分类单曲面：如果通过曲面上任意一点的切平面与曲面通过该点的整条直母线相切，则该直纹面是可展曲面，称为单曲面扭曲面：不是单曲面的直纹面是不可展的，称为扭曲面。一、单曲面一、单曲面常见的单曲面：常见的单曲面：锥面、柱面和切线曲面。锥面、柱
14、面和切线曲面。（1）锥面）锥面锥面：锥面是由具有不动导点S（顶点）的直母线L沿着曲导线M移动而形成的。椭圆锥斜圆锥曲导线M母线L导点S（1）锥）锥 面面柱面：柱面：直母线沿着一条曲导线且平行于一直导线运动直母线沿着一条曲导线且平行于一直导线运动直母线沿着一条曲导线且平行于一直导线运动直母线沿着一条曲导线且平行于一直导线运动所形成的曲面，称为柱面。所形成的曲面，称为柱面。所形成的曲面，称为柱面。所形成的曲面，称为柱面。椭圆柱斜圆柱曲导线直导线母线（2）柱面）柱面（3 3）切线曲面）切线曲面 切线曲面：一直母线在连续运动中，始终切于一条空间曲导线所形切线曲面：一直母线在连续运动中，始终切于一条空间
15、曲导线所形成的曲面。将所有素线反向延长，可得一曲导线为交线的两叶曲面。成的曲面。将所有素线反向延长，可得一曲导线为交线的两叶曲面。ABHt2bt12a1m1ba2m11t1m2m2t2二、扭曲面二、扭曲面 扭曲面上任意相邻两素线彼此交叉，它是不可展曲面。扭曲面上的所有母线都平行于一个定平面，称此平面为平行导面，同时给出一对导线，从而确定一扭曲面。工程上常用的有柱状面、锥状面和双曲抛物面。（1）柱状面）柱状面 柱状面是由直母线沿不在同一平面上的两曲导线移动，并始终平行一导平面而形成。直母线沿着一条曲导线和一条直导线且平行于一个导平直母线沿着一条曲导线和一条直导线且平行于一个导平直母线沿着一条曲导
16、线和一条直导线且平行于一个导平直母线沿着一条曲导线和一条直导线且平行于一个导平面运动所形成的曲面称为锥状面。面运动所形成的曲面称为锥状面。面运动所形成的曲面称为锥状面。面运动所形成的曲面称为锥状面。（2 2）锥）锥）锥）锥 状状状状 面面面面 直母线沿着两条交叉的直导线且平行于某一导平面运直母线沿着两条交叉的直导线且平行于某一导平面运直母线沿着两条交叉的直导线且平行于某一导平面运直母线沿着两条交叉的直导线且平行于某一导平面运动后所形成的曲面称为双曲抛物面，也称为翘平面。动后所形成的曲面称为双曲抛物面，也称为翘平面。动后所形成的曲面称为双曲抛物面，也称为翘平面。动后所形成的曲面称为双曲抛物面，也
17、称为翘平面。VHADBCbacd（3 3）双曲抛物面）双曲抛物面）双曲抛物面）双曲抛物面双双 曲曲 抛抛 物物 面面 的的 画画 法法 13137 7 螺旋面螺旋面 以任意母线作螺旋运动而形成的曲面称为螺旋面。其母线可以是直线也可以为曲线，以直线为母线作螺旋运动所形成的直纹螺旋面在工程上获得最广泛的应用，常见的直纹螺旋面有：正螺旋面、斜螺旋面和渐开线螺旋面。下面重点介绍正螺旋面。平平 螺螺 旋旋 面面 的的 画画 法法 直母线直母线直母线直母线沿着圆柱螺沿着圆柱螺沿着圆柱螺沿着圆柱螺旋线和其轴旋线和其轴旋线和其轴旋线和其轴线且平行于线且平行于线且平行于线且平行于与轴线垂直与轴线垂直与轴线垂直与
18、轴线垂直的导平面运的导平面运的导平面运的导平面运动所形成的动所形成的动所形成的动所形成的曲面称为平曲面称为平曲面称为平曲面称为平螺旋面。平螺旋面。平螺旋面。平螺旋面。平螺旋面属于螺旋面属于螺旋面属于螺旋面属于锥状面的一锥状面的一锥状面的一锥状面的一种。种。种。种。正螺旋面正螺旋面正螺旋面正螺旋面中中空空的的平平螺螺旋旋面面画画法法 13138 8 曲纹曲面曲纹曲面 由曲母线在空间连续运动而形成的曲面称为曲纹曲面。根据母由曲母线在空间连续运动而形成的曲面称为曲纹曲面。根据母线形状在运动中的变与不变分为变线曲面和定线曲面线形状在运动中的变与不变分为变线曲面和定线曲面一、定线曲面一、定线曲面定线曲面
19、是由母线在运动中的大小不变形成的。二、变线曲面二、变线曲面变线曲面是由母线在运动中的大小改变形成的。13139 9 曲面的骨架给定法曲面的骨架给定法一、骨架的概念一、骨架的概念 工程上对于一些复杂的光滑曲面，如汽车、飞机、轮船和泵体等外壳曲面，不可能用几个投影轮廓线来表达清楚，而用其上的若干组线条给出，这些线的总和称为骨架。二、曲面的骨架给定法二、曲面的骨架给定法用曲面的骨架曲线的投影在图上给定曲面的方法称为骨架给定法 131310 10 曲面的切平面曲面的切平面L1L2L3SPANT1T2T3一、基本概念一、基本概念曲面切线：与曲面上任意一条曲线相切的直线称为曲面的切线曲面切平面：过曲面上一
20、点，且与过该点的曲线都相切的平面称为曲面的切平面曲面法线：过曲面上一点，且与过该点的曲面切平面垂直的直线L1、L2、L3是曲面S上的曲线T1、T2、T3是与L1、L2、L3相切的直线A是曲面S上的某点P是过曲面S上的A点的切平面N是过曲面S上的A点法线二、切平面的主要性质二、切平面的主要性质（1）过曲面上某点所作的全部切线必位于过该点的切平面上。（2）曲面上某点法垂直于过该点的切平面。（3）过曲面上一点的切平面与曲面或切于一点或切于一条线（直线或曲线）。例1、试作圆锥面上点A的切平面ssabbaPHtt分析：分析：圆锥面的切平面与圆锥相切于一条直线。步骤：步骤：1、过A点作直线SB;2、过B点作直线BT垂直于SB;3、由相交直线BT、SB所决定的平面即为所求。RR例2、试在球面上过点A作切平面b c cb a a o o c c d e f d e f b a a o o b 例3、试作球面的切平面且垂直于直线AB例4、直线AB与圆锥相切，完成该直线的H投影bt分析：过A点作切平面，在切平面上取直线AB。本题有两解。a b a OX s st Pv例5、过点S作一平面平行于直线AB且与H面成60的倾角。t分析：与H面成60角的平面轨迹是锥角为60 的圆锥的切平面。本题有两解。OX ba b a s st m mggSABM