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1、 BezierBezier曲线和曲线和B B样条曲线样条曲线 BezierBezier曲面和曲面和B B样条曲面样条曲面n n7.1 7.1 基本概念基本概念n n7.4 Bezier7.4 Bezier曲线曲线n n7.5 Bezier7.5 Bezier曲面曲面n n7.6 B7.6 B样条曲线样条曲线n n7.7 B7.7 B样条曲面样条曲面n7.8 7.8 本章总结本章总结n7.9 7.9 习题习题 工业产品的几何形状大致可分为两类：一类由初等解析曲面，如平面、圆柱面、圆锥面、球面、圆环面等组成，可以用初等解析函数完全清楚地表达全部形状。另一类由自由曲面组成，如汽车车身、飞机机翼和轮船
2、船体等的曲线和曲面，不能用初等解析函数完全清楚地表达全部形状，需要构造新的函数来进行研究，这些研究成果形成了计算机辅助几何设计(Computer Aided Geometric Design，CAGD)学科。图7-1 汽车的曲面7.1 7.1 基本概念基本概念 n7.1.1 7.1.1 样条曲线曲面样条曲线曲面n7.1.2 7.1.2 曲线曲面的表示形式曲线曲面的表示形式 n7.1.3 7.1.3 拟合和逼近拟合和逼近 n7.1.4 7.1.4 连续性条件连续性条件 7.1.1 7.1.1 样条曲线曲面样条曲线曲面 在汽车制造厂里，传统上采用样条绘制曲线的形状。绘图员弯曲样条（如弹性细木条）通
3、过各型值点，其它地方自然过渡，然后沿样条画下曲线，即得到样条曲线（Spline Curve)。在计算机图形学中，样条曲线是指由多项式曲线段连接而成的曲线，在每段的边界处满足特定的连续性条件，而样条曲面则可用两组正交样条曲线来描述。7.1.2 7.1.2 曲线曲面的表示形式曲线曲面的表示形式n曲线曲面的可以采用显式方程、隐函数方程和参数方程表示：n首先看一下直线的表示形式：已知直线的起点坐标P1（x1，y1）和终点坐标P2（x2，y2）,直线的显式方程表示为：n直线的隐函数方程表示为：n直线的参数方程表示直线的参数方程表示为：n由于用参数方程表示的曲线曲面可以直接进行几何变换，而且易于表示成矢量
4、和矩阵，所以在计算机图形学中一般使用参数方程来描述曲线曲面。下面以一条三次曲线为例，给出参数方程的矢量和矩阵表示：n参数方程表示：，tt0,10,1；n矢量表示：矢量表示：n tt0,10,1；n矩阵表示：矩阵表示：n tt0,10,1；7.1.3 7.1.3 拟合和逼近拟合和逼近 n曲线曲面的拟合：当用一组型值点（插值点）来指定曲线曲面的形状时，形状完全通过给定的型值点序列确定，称为曲线曲面的拟合，如图7-2所示。n曲线曲面的逼近：当用一组控制点来指定曲线曲面的形状时，求出的形状不必通过控制点，称为曲线曲面的逼近，如图所示。图7-2 拟合曲线 图7-3逼近曲线7.1.47.1.4连续性条件连
5、续性条件 通常单一的曲线段或曲面片难以表达复杂的形状，必须将一些曲线段连接成组合曲线，或将一些曲面片连接成组合曲面，才能描述复杂的形状。为了保证在连接点处平滑过渡，需要满足连续性条件。连续性条件有两种：参数连续性和几何连续性。n参数连续性n零阶参数连续性，记作C0，指相邻两个曲线段在交点处具有相同的坐标。如图7-4所示。图7-4 零阶连续性 n一阶参数连续性，记作C1，指相邻两个曲线段在交点处具有相同的一阶导数。如图7-5所示。图7-5 一阶连续性 n二阶参数连续性，记作C2，指相邻两个曲线段在交点处具有相同的一阶和二阶导数。如图7-6所示。图7-6 二阶连续性 7.4 Bezier7.4 B
6、ezier曲线曲线 法国雷诺汽车公司的工程师法国雷诺汽车公司的工程师BezierBezier和和法国雪铁龙汽车公司的法国雪铁龙汽车公司的de de CasteljauCasteljau分分别提出了一种新的参数曲线表示方法，别提出了一种新的参数曲线表示方法，称为称为BezierBezier曲线。曲线。Bezier的想法从一开始就面向几何而不是面向代数。Bezier曲线由控制多边形惟一定义，Bezier曲线只有第一个顶点和最后一个顶点落在控制多边形上，且多边形的第一条和最后一条边表示了曲线在起点和终点的切矢量方向，其它顶点则用于定义曲线的导数、阶次和形状，曲线的形状趋近于控制多边形的形状，改变控制
7、多边形的顶点位置就会改变曲线的形状。绘制Bezier曲线的直观交互性使得对设计对象的控制达到了直接的几何化程度，使用起来非常方便。几种典型的三次Bezier曲线如图7-7所示。几种典型的三次Bezier曲线 n n7.4.1 Bezier7.4.1 Bezier曲线的定义曲线的定义n n7.4.2 Bezier7.4.2 Bezier曲线的性质曲线的性质n n7.4.3 Bezier7.4.3 Bezier曲线的可分割性曲线的可分割性 n给定n+1个控制点Pi（i0，1，2n），称为n次Bezier曲线。n t0，1 n式中，Pi（i0，1，2n）是控制多边形的n+1个控制点，控制多边形是连接
8、n条边构成的多边形。是Bernstein基函数，其表达式为：7.4.1 Bezier7.4.1 Bezier曲线的定义曲线的定义 1.一次Bezier曲线 当n1时，Bezier曲线的控制多边形有二个控制点P0和P1，Bezier曲线是一次多项式。可以看出，一次Bezier曲线是一段直线。n n2.二次Bezier曲线 n当n2时，Bezier曲线的控制多边形有三个控制点P0、P1和P2，Bezier曲线是二次多项式。n可以证明，二次Bezier曲线是一段抛物线。3.三次Bezier曲线 当n3时，Bezier曲线的控制多边形有四个控制点P0、P1、P2和P3，Bezier曲线是三次多项式。可
9、以证明，三次Bezier曲线是自由曲线。注意：对于Bezier曲线，在区间0,1范围内，每个基函数均不为零，说明不能使用控制多边形对曲线的形状进行局部调整，如果要改变某一控制点位置，整个曲线都将受到影响。7.4.2 Bezier7.4.2 Bezier曲线的性质曲线的性质 1.1.端点性质端点性质 在闭区间在闭区间0 0，1 1内，将内，将t t0 0和和 t t1 1代入式（代入式（7-127-12），得到），得到p(0)p(0)P0P0和和p(1)p(1)P Pn n。说明。说明BezierBezier曲线的起点曲线的起点和终点分别位于顶点和终点分别位于顶点P0P0和和P Pn n上。上。
10、2.一阶导数 将式（7-12）求导，有 在闭区间0，1内，将t0和t1代入上式，得到 这说明Bezier曲线的起点和终点的切线方向位于控制多边形的起始边和终止边的切线方向上。3.凸包性质 由公式（7-13）可以看出，在闭区间0，1内，而且 。说明Bezier曲线位于控制多边形构成的凸包之内。7.4.3 Bezier7.4.3 Bezier曲线的可分割性曲线的可分割性 nBezier曲线的可分割性可用德卡斯特里奥（De Casteliau）算法表达如下。n给定空间n+1个点Pi（i=0，1，2n）及参数t，有 n例如，当n=3时，有 n三次Bezier曲线递推如下：n其中：规定：根据该式可以绘制
11、Bezier曲线，取t=0，t1/3，t2/3，t=1，点的运动轨迹形成Bezier曲线。图7-8绘制的是t=1/3的点。图7-9绘制的是t=2/3的点。7.5 Bezier7.5 Bezier曲面曲面7.5.1 Bezier7.5.1 Bezier曲面的定义曲面的定义7.5.2 7.5.2 双三次双三次BezierBezier曲面的定义曲面的定义 7.5.1 Bezier7.5.1 Bezier曲面的定义曲面的定义 Bezier曲面是由Bezier曲线拓广而来，以两组正交的Bezier曲线控制点构造空间网格来生成曲面。mn次Bezier曲面的定义如下：（u，v）0，10，1 依次用线段连接点
12、列Pi,j（i0，1，m；j0，1，n）中相邻两点所形成的空间网格称为控制网格，当m3，n3时由4416个控制点构成控制网格，如图7-11所示，其相应的曲面称为双三次Bezier曲面。7.5.2 7.5.2 双三次双三次BezierBezier曲面的定义曲面的定义 双三次Bezier曲面定义如下：（u，v）0，10，1 7.6 B7.6 B样条曲线样条曲线 Bezier曲线虽然有许多优点，但也存在不足之处：其一、确定了控制多边形的顶点个数（n+1个），也就确定了曲线的次数（n次）；其二、控制多边形与曲线的逼近程度较差，次数越高，逼进程度越差；其三、曲线不能局部修改，修改某一控制点将影响到整条曲
13、线，原因是Bernstein基函数在整个开区间（0，1）内均不为零，所以曲线在开区间内任何一点的值都将受到全部顶点的影响，改变其中某一顶点的位置，将会引起整条曲线的改变。为了克服上述问题，Gordon和Riesenfeld于1974年用B样条基函数代替了Bernstein基函数，构造了B样条曲线。B样条曲线比Bezier曲线更贴近控制多边形，曲线更光滑（很容易产生C2连续性），曲线的次数可根据需要指定，不像Bezier曲线的次数是由控制点的个数来确定。除此之外B样条曲线的突出优点是增加了对曲线的局部修改功能，因为B样条曲线是分段组成的，所以控制多边形的顶点对曲线的控制灵活而直观。n7.6.1
14、B7.6.1 B样条曲线的定义样条曲线的定义 n7.6.2 7.6.2 二次二次B B样条曲线样条曲线 n7.6.3 7.6.3 三次三次B B样条曲线样条曲线 n7.6.4 B7.6.4 B样条曲线的性质样条曲线的性质 n7.6.5 7.6.5 构造特殊的三次构造特殊的三次B B样条曲线的样条曲线的技巧技巧 7.6 B7.6 B样条曲线样条曲线7.6.1 B7.6.1 B样条曲线的定义样条曲线的定义 nB样条曲线分为均匀B样条曲线和非均匀B样条曲线，本书只讨论均匀B样条曲线。n给定n+1个控制点Pi（i0，1，2，n），n次B样条曲线段的参数表达式为：n依次用线段连接控制点Pi（i0，1，2
15、，n）组成的多边形称为B样条曲线控制多边形。在工程实际中，二次B样条曲线和三次B样条曲线应用得较为广泛。7.6.2 二次B样条曲线 1.矩阵表示 二次B样条曲线的n2，i0，1，2，控制多边形有三个控制点P0、P1和P2，B样条曲线是二次多项式。2.几何性质 从图从图7-127-12可以看出，二次可以看出，二次B B样条曲线的起点样条曲线的起点p(0)p(0)位于位于P P0 0P P1 1边的中点处，且其切矢量边的中点处，且其切矢量P P1 1P P0 0沿沿P P0 0P P1 1边的走向；终点边的走向；终点p(1)p(1)位于位于P P1 1P P2 2边的中点处，且边的中点处，且其切矢
16、量其切矢量P P2 2P P1 1沿沿P P1 1P P2 2边的走向；从图中还可以看边的走向；从图中还可以看出，出，P(1/2)P(1/2)正是正是P(0)P(0)、P1P1、P(1)P(1)这三点所构成的这三点所构成的三角形的中线三角形的中线P1PmP1Pm的中点，而且的中点，而且p(1/2)p(1/2)处的切线处的切线平行于两个端点的连线平行于两个端点的连线p(0)p(1)p(0)p(1)。这样，三个。这样，三个顶点顶点P P0 0P P1 1P P2 2确定一段二次确定一段二次B B样条曲线，该段曲线是样条曲线，该段曲线是一段抛物线。一般情况下，一段抛物线。一般情况下，B B样条曲线不
17、经过控样条曲线不经过控制点，曲线起点只与前二个控制点有关，终点只制点，曲线起点只与前二个控制点有关，终点只与后二个控制点有关。与后二个控制点有关。7.6.3 7.6.3 三次三次B B样条曲线样条曲线 n1.矩阵表示n三次B样条曲线的n3，k0，1，2，3，控制多边形有四个控制点P0、P1、P2 和P3，B样条曲线是三次多项式。2.几何性质 从图7-13可以看出，曲线的起点p(0)位于P0P1P2底边P0P2的中线上，且距P1点三分之一处。该点处的切矢量p(0)平行于P0P1P2的底边P0P2，且长度为其二分之一。该点处的二阶导数p”(0)沿着中线P1Pm方向，长度等于中线的两倍。曲线终点p(
18、1)位于P1P2P3底边P1P3的中线上，且距P2点三分之一处。该点处的切矢量p(1)平行于P1P2P3的底边P1P3，且长度为其二分之一。该点处的二阶导数p”(1)沿着中线方向，长度等于中线的两倍。这样，四个顶点P0P1P2 P3确定一段三次B样条曲线。从图中还可以看出，一般情况下，B样条曲线不经过控制点，曲线起点只与前三个控制点有关，终点只与后三个控制点有关。实际上，B样条曲线都具有这种控制点的邻近影响性，这正是B样条曲线局部可调整性好的原因。1.连续性 B样条曲线不同于Bezier曲线整体生成，它是分段生成的，B样条曲线各段之间自然连接。对于图7-14所示二次（n2）B样条曲线，由7段曲
19、线组成，需要9个控制点；对于图7-15所示三次（n3）B样条曲线，由6段组成，需要9个控制点。7.6.4 B7.6.4 B样条曲线的性质样条曲线的性质二次B样条曲线的连续性 三次B样条曲线的连续性 2.局部性质 在B样条曲线中，每段B样条曲线受n+1个控制点影响，改变一个控制点的位置，最多影响n+1个曲线段，其它部分曲线形状保持不变，如图7-18和图7-19所示。在工程设计中经常需要对曲线进行局部修改，B样条曲线能很好地满足这一要求，这就是B样条曲线受欢迎的原因之一。图7-18 二次B样条曲线局部顶点修改7.7 B7.7 B样条曲面样条曲面 n7.7.1 B7.7.1 B样条曲面的定义样条曲面
20、的定义 n7.7.2 7.7.2 双三次双三次B B样条曲面的定义样条曲面的定义n7.7.3 7.7.3 双三次双三次B B样条曲面的连续性样条曲面的连续性 7.7.1 B7.7.1 B样条曲面的定义样条曲面的定义 nB样条曲面是B样条曲线的二维推广，给定(m1)(n+1)个控制点Pi,j(i=0,1,m；j=0,1,n)，其表达式为：7.7.2 7.7.2 双三次双三次B B样条曲面的定义样条曲面的定义 n双三次B样条曲面定义如下：展开式有：从图7-24可以看出，双三次B样条曲面是由三次B样条曲线交织而成。曲面生成时可以通过固定u,变化v得到一簇三次B样条曲线；固定v，变化u得到另一簇三次B
21、样条曲线。与三次B样条曲线相似，双三次B样条曲面一般情况下不通过控制网格的任何一个顶点。7.7.3 7.7.3 双三次双三次B B样条曲面的连续性样条曲面的连续性 双三次B样条曲面的优点是极为自然地解决了曲面片之间地连接问题，例如，只要将控制网格沿某一个方向延伸一排，就可以决定另一个曲面片，此时曲面片理所当然地保证二者之间达到了C2连续性。7.8 7.8 本章小结本章小结 本章讲解了Bezier曲线曲面和B样条曲线曲面属于逼近范畴。B样条曲线和Bezier曲线的最主要差别在于基函数不同。Bernstein基函数是一个整体函数，而B样条基函数一个分段函数。所以B样条曲线可以进行局部控制点调整。B
22、ezier曲线曲面的阶次与控制多边形的顶点数有关，B样条曲线曲面的阶次可以自由决定。这样如果控制多边形顶点数超过四个时，两段三次Bezier曲线或两片双三次Bezier曲面片之间连接时就存在拼接的问题，而B样条曲线曲面可以自由地扩展到多个顶点，始终保持阶次不变，而且扩展的分段曲线或分段曲面实现了自然连接。7.9 7.9 习题习题 1.1.已知型值点坐标值为：已知型值点坐标值为：P0P0（336,327336,327），），P P 1 1（110,353110,353），），P 2P 2（339,84339,84），），P 3P 3（434,246434,246），），P P 4 4（712,2
23、46712,246），），P 5P 5（938,31938,31），），P 6P 6（816,509816,509），），P P 7 7（336,509336,509），），P 8P 8（336,327336,327）。试用三次）。试用三次CardinalCardinal算算法编程绘制如图法编程绘制如图7-267-26所示的样条曲线。所示的样条曲线。图图7-26 7-26 CardinalCardinal样条曲线样条曲线2.2.已知已知1717个型值点：个型值点：P 1P 1（-360,0-360,0），），P P 2 2（315,71315,71），），P 3P 3（-270,100-270
24、,100），），P 4P 4（-225,71225,71），），P 5P 5（-180,0-180,0），），P 6P 6（-135,71-135,71），），P 7P 7（-90,100-90,100），），P 8P 8（-45,71-45,71），），P 9P 9（0,00,0），），P 10P 10（45,-7145,-71），），P 11P 11（90,-10090,-100），），P P 1212（135,-71135,-71），），P 13P 13（180,0180,0），），P P 1414（225,71225,71），），P 15P 15（270,100270,100），），P
25、 P 1616（315,71315,71），），P 17P 17（360,0360,0），如图），如图7-277-27所示。所示。边界条件为：自由端。使用边界条件为：自由端。使用VC+VC+编程绘制通过编程绘制通过给定型值点的三次参数样条曲线和正弦曲线，给定型值点的三次参数样条曲线和正弦曲线，试比较二者之间差异。试比较二者之间差异。图图 7-27 7-27 型值点型值点3.3.根据二次根据二次BezierBezier曲线的基函数，使用曲线的基函数，使用VC+VC+编程绘制图编程绘制图7-287-28所示二次所示二次BezierBezier曲线，要求曲线，要求使用鼠标左键拖动控制多边形的顶点时，
26、曲使用鼠标左键拖动控制多边形的顶点时，曲线能随之发生变化。线能随之发生变化。图图7-287-28二次二次BezierBezier曲线曲线4.4.根据三次根据三次BezierBezier曲线的基函数，使用曲线的基函数，使用VC+VC+编编程绘制图程绘制图7-297-29所示三次所示三次BezierBezier曲线。曲线。图图7-29 7-29 三次三次BezierBezier曲线曲线5.5.在屏幕上使用鼠标绘制任意控制点的控制多边在屏幕上使用鼠标绘制任意控制点的控制多边形，基于形，基于de de CasteliauCasteliau算法根据控制多边形的阶算法根据控制多边形的阶次绘制如图次绘制如图
27、7-307-30所示的所示的BezierBezier曲线。曲线。图图7-30 de 7-30 de CasteliauCasteliau算法算法6.6.在屏幕上使用鼠标左键绘制数量大于在屏幕上使用鼠标左键绘制数量大于4 4的任的任意顶点形成控制多边形，单击鼠标右键绘制三意顶点形成控制多边形，单击鼠标右键绘制三次次B B样条曲线，同时在控制多边形的每一个特样条曲线，同时在控制多边形的每一个特征三角形内用虚线显示三次征三角形内用虚线显示三次B B样条曲线的几何样条曲线的几何生成原理，效果如图生成原理，效果如图7-317-31所示，请使用所示，请使用MFCMFC编编程实现。程实现。图图7-31 7-
28、31 三次三次B B样条曲线生成原理样条曲线生成原理7.7.使用使用VC+VC+编程，分别绘制四个顶点的三次编程，分别绘制四个顶点的三次B B样样条曲线和三次条曲线和三次BezierBezier曲线，观察二者与控制多曲线，观察二者与控制多边形的逼近程度，如图边形的逼近程度，如图7-327-32所示。所示。图图7-32 7-32 三次三次B B样条曲线和样条曲线和BezierBezier曲线曲线8.8.给定给定7 77 74949个包含重点的控制点如下：个包含重点的控制点如下：P0,0P0,0（200,-200,-200,100200,100），），P0,1P0,1（200,-200,10020
29、0,-200,100），），P0,2P0,2（200,-200,-200,100200,100），），P0,3P0,3（300,100,300300,100,300），），P0,4P0,4（-200,-200,-200,100200,100），），P0,5P0,5（-200,-200,100-200,-200,100），），P0,6P0,6（-200,-200,-200,100200,100）；）；P1,0P1,0（200,-200,100200,-200,100），），P1,1P1,1（200,-200,-200,100200,100），），P1,2P1,2（200,-200,100200,
30、-200,100），），P1,3P1,3（300,100,300300,100,300），），P1,4P1,4（-200,-200,100-200,-200,100），），P1,5P1,5（-200,-200,100-200,-200,100），），P1,6P1,6（-200,-200,100-200,-200,100）；）；P2,0P2,0（200,-200,100200,-200,100），），P2,1P2,1（200,-200,100200,-200,100），），P2,2P2,2（200,-200,100200,-200,100），），P2,3P2,3（300,100,300300,1
31、00,300），），P2,4P2,4（-200,-200,100-200,-200,100），），P2,5P2,5（-200,-200,100-200,-200,100），），P2,6P2,6（-200,-200,100200,-200,100）；）；P3,0P3,0（300,100,300300,100,300），），P3,1P3,1（300,100,300300,100,300），），P3,2P3,2（300,100,300300,100,300），），P3,3P3,3（300,100,300300,100,300），），P3,4P3,4（300,100,300300,100,300），）
32、，P3,5P3,5（300,100,300300,100,300），），P3,6P3,6（300,100,300300,100,300）；）；P4,0P4,0（200,200,100200,200,100），），P4,1P4,1（200,200,100200,200,100），），P4,2P4,2（200,200,100200,200,100），），P4,3P4,3（200,200,100200,200,100），），P4,4P4,4（-200,200,100-200,200,100），），P4,5P4,5（-200,200,100-200,200,100），），P4,6P4,6（-200,2
33、00,100-200,200,100）；）；P5,0P5,0（200,200,100200,200,100），），P5,1P5,1（200,200,100200,200,100），），P5,2P5,2（200,200,100200,200,100），），P5,3P5,3（300,100,300300,100,300），），P5,4P5,4（-200,200,100-200,200,100），），P5,5P5,5（-200,200,100-200,200,100），），P5,6P5,6（-200,200,100-200,200,100）；）；P6,0P6,0（200,200,100200,200
34、,100），），P6,1P6,1（200,200,100200,200,100），），P6,2P6,2（200,200,100200,200,100），），P6,3P6,3（300,100,300300,100,300），），P6,4P6,4（-200,200,100-200,200,100），），P6,5P6,5（-200,200,100-200,200,100），），P6,6P6,6（-200,200,100-200,200,100）。控制多）。控制多边形如图边形如图7-337-33所示，绘制的双三次所示，绘制的双三次B B样条曲面效果如图样条曲面效果如图7-347-34所示。该控制多边形
35、和所示。该控制多边形和B B样条曲面的对应关系如图样条曲面的对应关系如图7-357-35所示。所示。图图7-33 497-33 49个含重点的控制多边形个含重点的控制多边形 图图7-34 497-34 49个含重点的双三次个含重点的双三次B B样条曲面样条曲面 图图7-35 497-35 49个含重点的双三次个含重点的双三次B B样条曲面和控制多边形的对应关系样条曲面和控制多边形的对应关系9.*9.*给定给定4 44 41616个控制点如下：个控制点如下：P0,0P0,0（-130,-130,-50,200-50,200），），P0,1P0,1（-200,100,-200-200,100,-2
36、00），），P0,2P0,2（-150,60,-100-150,60,-100），），P0,3P0,3（-100,-10,-200-100,-10,-200）;P1,0;P1,0（-100,80,200-100,80,200），），P1,1P1,1（-120,120,100-120,120,100），），P1,2P1,2（30,90,-10030,90,-100），），P1,3P1,3（-20,-20,-20,-20,-170170）；）；P2,0P2,0（90,60,18090,60,180），），P2,1P2,1（120,100,120120,100,120），），P2,2P2,2（125
37、,120,-80125,120,-80），），P2,3P2,3（110,90,-150110,90,-150）；）；P3,0P3,0（150,-10,200150,-10,200），），P3,1P3,1（170,60,120170,60,120），），P3,2P3,2（190,90,-200190,90,-200），），P3,3P3,3（140,0,-210140,0,-210）。使用正交投影变换，以）。使用正交投影变换，以屏幕中心为坐标系原点，绘制双三次屏幕中心为坐标系原点，绘制双三次BezierBezier曲曲面。要求：（面。要求：（1 1）使用菜单播放曲面动态旋转动）使用菜单播放曲面动态旋转动画，如图画，如图7-367-36所示。（所示。（2 2）使用键盘旋转曲面及）使用键盘旋转曲面及其控制多边形，如图其控制多边形，如图7-377-37所示。所示。状态状态1 1 状态状态2 2图图7-36 7-36 动态旋转动态旋转BezierBezier曲面曲面图图7-37 7-37 带控制多边形的带控制多边形的BezierBezier曲面曲面