第5章曲线与曲面ppt课件.ppt

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1、青岛农业大学病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程第二篇 几 何青岛农业大学病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程第6章 曲线与曲面青岛农业大学病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程青岛农业大学病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程6.1 基础知识n n 自由曲线和曲面发展过程 自由曲线和曲面发展过程n n 自

2、由曲线曲面的最早是出现在工作车间，为了获得特殊的曲线，人们 自由曲线曲面的最早是出现在工作车间，为了获得特殊的曲线，人们用一根富有弹性的细木条或塑料条（叫做样条），用压铁在几个特殊 用一根富有弹性的细木条或塑料条（叫做样条），用压铁在几个特殊的点（控制点）压住样条，样条通过这几个点并且承受压力后就变形 的点（控制点）压住样条，样条通过这几个点并且承受压力后就变形为一条曲线。人们调整不断调整控制点，使样条达到符合设计要求的 为一条曲线。人们调整不断调整控制点，使样条达到符合设计要求的形状，则沿样条绘制曲线。形状，则沿样条绘制曲线。n n 1963 1963年，美国波音，弗格森提出使用参数三次方程

3、来构造曲面 年，美国波音，弗格森提出使用参数三次方程来构造曲面n n 1964-1967 1964-1967年，美国 年，美国MIT MIT，孔斯用封闭曲线的四条边界来定义曲面，孔斯用封闭曲线的四条边界来定义曲面n n 1971 1971年，法国雷诺汽车，年，法国雷诺汽车，Bezier Bezier提出用控制多边形来定义曲线和曲面 提出用控制多边形来定义曲线和曲面n n 1974 1974年，美国通用汽车，戈登和里森菲尔德 年，美国通用汽车，戈登和里森菲尔德,B,B样条理论用于形状描 样条理论用于形状描述 述n n 1975 1975年，美国锡拉丘兹大学，佛斯普里尔提出有理 年，美国锡拉丘兹大

4、学，佛斯普里尔提出有理B B样条 样条n n 80 80年代，皮格尔和蒂勒 年代，皮格尔和蒂勒,将有理 将有理B B样条发展成非均匀有理 样条发展成非均匀有理B B样条，样条，NURBS NURBS方法 方法青岛农业大学病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程6.1 基础知识从表示形式来看，曲线可分成两大类：规则曲线自由曲线可以用标准方程描述的曲线。如圆、椭圆、抛物线、双曲线、渐开线、摆线等无法用标准方程描述的曲线，通常由一系列实测数据点确定。如汽车的外形曲线、等高线等。曲线青岛农业大学病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏

5、机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程6.1 基础知识r从生成算法来看，曲线可分成两大类：q 拟合型q 设计型对已经存在的离散点列构造出尽可能光滑的曲线，以直观（而忠实）地反映出实验特性、变化规律和趋势等。设计人员对其所设计的曲线并无定量的概念，而是在设计过程中即兴发挥。青岛农业大学病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程6.1.1 曲线的表示 r曲线的表示方法 r参数表示 r非参数表示r显示表示r隐式表示青岛农业大学病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位

6、生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程6.1.1 曲线的表示 r显示表示 r隐式表示青岛农业大学病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程6.1.1 曲线的表示 r参数表示 r参数的含义t：表示时间，距离，角度，比例等等规范参数区间0，1青岛农业大学病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程6.1.1 曲线的表示-以直线为例n 已知直线的起点坐标P1（x1，y1）和终点坐标P2（x2，y2）,直线的显式方程表示为：n 直线的隐式方程表示为：青岛农业大学病原体侵入

7、机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程6.1.1 曲线的表示 n 直线的参数方程表示为：，t 0,1 青岛农业大学病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程6.1.1 曲线的表示 1）用参数表示的曲线形状本质与坐标系的选取无关，具有几 何不变性；2）有更大自由度来控制曲线的形状；3）容易实现各种线性变换运算；4）曲线的端点、导数等计算简单，避免了无穷大斜率的问题；5）便于曲线的分段描述；6）易于处理多值问题；7）参数的变化约定为0,1，自然规定了曲线是有界的。参数表

8、示法的优越性：青岛农业大学病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程曲线构造方法插值法逼近法青岛农业大学病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程6.1.2 插值 通过测量或计算得到的曲线上少量描述曲线几何形状的数据点。型值点 控制点 用来控制或调整曲线形状的特殊点（不一定在曲线上）插值点 在型值点或控制点之间插入的一系列点。青岛农业大学病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程6.1.2 插

9、值 n n插值插值n n 给定一组有序的数给定一组有序的数据点据点PiPi，i=0,1,i=0,1,nn，构造一条曲线，构造一条曲线顺序通过这些数据顺序通过这些数据点，称为对这些数点，称为对这些数据点进行据点进行插值插值，所，所构造的曲线称为构造的曲线称为插插值曲线值曲线。青岛农业大学病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程6.1.2 插值 线性插值n 线性插值：假设给定函数f(x)在两个不同点x1和x2的值，用线形函数 y=(x)=ax+b近似代替，称(x)为f(x)的线性插值函数。青岛农业大学病原体侵入机体，消弱机体防御

10、机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程6.1.2 插值 抛物线插值抛物线插值(二次插值)已知f(x)在三个互异点x1,x2,x3的函数值为y1,y2,y3，要求构造函数 y=(x)=ax2+bx+c,使得(x)在xi处与f(x)在xi处的值相等。青岛农业大学病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程6.1.3 逼近n 逼近n 构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的数据点，称对这些数据点进行逼近，所构造的曲线称为逼近曲线。n 用这种方法建立的曲线数学模型只是近似地接近已知的控制点，并

11、不一定完全通过所有的控制点。控制点控制多边形或特征多边形青岛农业大学病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程6.1.4 拟合 n 拟合：在曲线曲面的设计过程中，用插值或逼近的方法使生成的曲线曲面达到某些设计要求。青岛农业大学病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程6.1.5 曲线的连续性 n 构造复杂曲线时，可以首先构造一些简单的自由曲线,然后将这些简单曲线段连接成复杂曲线。n 拼接条件：首先必须有连接点，其次必须在连接点处平滑过渡，即需要满足连续性条件。

12、n 连续性条件有两种：参数连续性和几何连续性。青岛农业大学病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程6.1.5 曲线的连续性 参数连续性n 零阶参数连续性（记作C0）：n 指相邻两个曲线段在交点处具有相同的坐标。青岛农业大学病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程6.1.5 曲线的连续性参数连续性 n 一阶参数连续性（记作C1）n 相邻两个曲线段在交点处具有相同的一阶导数。青岛农业大学病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位

13、生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程6.1.5 曲线的连续性参数连续性 n 二阶参数连续性（记作C2）n 指相邻两个曲线段在交点处具有相同的一阶和二阶导数。青岛农业大学病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程6.1.5 曲线的连续性几何连续性 n 几何连续性只要求导数成比例，而不是相等。n 零阶几何连续性（记作 G 0）：n 与零阶参数连续性相同，即相邻两个曲线段在交点处有相同的坐标。青岛农业大学病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程6.1.5 曲线的连

14、续性几何连续性 n 一阶几何连续性（记作 G 1）n 指相邻两个曲线段在交点处的一阶导数成比例，但大小不一定相等。青岛农业大学病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程6.1.5 曲线的连续性 几何连续性n 二阶几何连续性（记作 G 2）n 指相邻两个曲线段在交点处的一阶和二阶导数成比例，即曲率一致。青岛农业大学病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程样条曲线 n 在汽车制造厂里，传统上采用样条绘制曲线的形状。n 绘图员弯曲样条（如弹性细木条）通过各实测点，

15、其它地方自然过渡，然后沿样条画下曲线，即得到样条曲线（Spline Curve)。青岛农业大学病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程样条曲线 n 在计算机图形学中，样条曲线是指由多项式曲线段（可为规则/自由曲线段）连接而成的曲线，在每段的边界处满足特定的连续性条件。青岛农业大学病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程样条曲线的插值n 通常：进行分段插值n n+1个控制点进行分段，建立简单的数学模型；n 在线段交点处，设置边界条件进行光滑连接。青岛农业大学

16、病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程构造通过5 个型值点的抛物线参数样条曲线P1P2P3P4P5 这样构造出来的抛物线参数样条曲线完全通过给定的5型值点，除了P1到P2的区间,P4到P5的区间其他两个型值点之间都是重合区间青岛农业大学病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程6.1.6 Hermite样条曲线 n 从a3x到a0z有12个系数为代数系数，它们确定了这条参数曲线的形状和位置。系数不同则曲线不同。n 把上述的代数方程改写为矢量形式n P(t)

17、表示曲线上任一点的位置矢量；系数a0表示(a0 x,a0y,a0z)一般的三次参数样条曲线的代数形式青岛农业大学病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程6.1.6 Hermite样条曲线 n n给出给出端点坐标、端点坐标的切矢量，端点坐标、端点坐标的切矢量，即：即：n nP(0),P(1),P(0),P(1)P(0),P(1),P(0),P(1)根据条件，得出方程：根据条件，得出方程：青岛农业大学病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程6.1.6 Herm

18、ite样条曲线矩阵形式：则：青岛农业大学病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程6.1.6 Hermite样条曲线 令三次参数样条曲线方程可以写成：根据：Hermite矩阵三次Hermite样条曲线的方程青岛农业大学病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程6.1.6 Hermite样条曲线n n上式展开上式展开因为它们调和了边界约束值，使在整个参数范围内产生曲线的坐标值。调和函数仅与参数t有关，而与初始条件无关。其中:称为Hermite样条调和函数青岛农业

19、大学病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程6.1.6 Hermite样条曲线n Hermite 样条曲线通过给定的N个型值点构造，每两个型值点之间生成一条Hermite曲线段，Hermite 样条曲线由N-1条首尾相连的Hermite曲线构成，并且相邻的Hermite曲线段在连接点处二阶导数相等（C2连续性）n Hermite曲线段定义：给定曲线段的两个端点Pi、Pi+1和两端点处的一阶导数Ri和Ri+1构造而成。青岛农业大学病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的

20、病理生理过程6.1.6 Hermite样条曲线例1：给定9个型值点，其中起始点和终止点是同一个点，从而其特征多边形是一个首尾相接的封闭多边形，具体坐标位置如下：（100,300）,（120,200）,（220,200）,（270,100）,（370,100）,（420,200）,（420,300）,（220,280）,（100,300）假定各点处的一阶导数数值如下：（70,-70）,（70,-70）,（70,-70）,（70,-70）,（70,70）,（70,70）,（-70,70）,（-70,70）,（70,-70）用Hermite插值方法绘制曲线。解：p0=(100,300)p1=(120

21、,200)p0=(70,-70)p1=(70,-70)For(t=0;t=1;t=t+0.1)或For(t=0;t=1;t=t+0.01)或青岛农业大学病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程6.1.6 Hermite样条曲线解：两段三次Hermite曲线分别为：Q1(t1)=a3t13+a2t12+a1t11+a0 t10 1 Q2(t2)=b3 t23+b2t22+b1t21+b0 t20 1 依据C2连续充要条件为：Q1(1)和Q2(0)在P点处重合，且其在P点处的切矢量方向相同，大小相等 例2：试求两段三次Hermi

22、te曲线达C2连续的条件。青岛农业大学病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程6.1.6 Hermite样条 即 Q1(1)=Q2(0)、Q1(1)=Q2(0)、Q1”(1)=Q2”(0)有 Q1(1)=a3+a2+a1+a0 Q2(0)=b0因 Q1(t1)=3a3t12+2a2 t1+a1 Q2(t2)=3b3t22+2b2 t2+b1 则 Q1(1)=3a3+2a2+a1 Q2(0)=b1 因 Q1”(t1)=6a3t1+2a2 Q2”(t2)=6b3t2+2b2 则 Q1”(1)=6a3+2a2 Q2”(0)=2b2

23、 青岛农业大学病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程6.1.6 Hermite样条=两段三次Hermite 曲线：Q1(t1)=a3t13+a2t12+a1t11+a0 t10 1 Q2(t2)=b3t23+b2t22+b1t21+b0 t20 1 要达到C2连续，其系数必须满足下列关系式：a3+a2+a1+a0=b0 3a3+2a2+a1=b1 6a3+2a2=2 b2青岛农业大学病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程6.2 Bezier曲线 196

24、2年，法国雷诺汽车公司的P.E.Bezier提出了一种函数逼近和几何表示相结合的参数曲线表示方法，用这种方法生成的曲线称为Bezier曲线。这种方法的特点是所输入型值点与生成曲线之间的关系明确，能比较方便地通过修改输入参数来改变曲线的形状和阶次。青岛农业大学病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程6.2.1 Bzier曲线的定义 由一组多边折线的顶点定义,在多边折线的各顶点中，只有第一点和最后一点在曲线上,第一条和最后一条折线分别表示出曲线在起点和终点处切线方向。曲线的形状趋向于多边折线的形状，因此，多边折线又称为特征多边形

25、，其顶点称为控制点。青岛农业大学病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Bzier曲线的数学表示 u0,1Pk为各顶点的位置向量(xk,yk,zk)，称为伯恩斯坦（Bernstain）基函数，也称为特征多边形各顶点位置向量之间的调和函数，其定义如下 Bezier曲线次数严格依赖于确定该段曲线的控制点个数，通常由（n 1）个顶点定义一个n次多项式，曲线上各点参数方程式为：n次多项式曲线P(u)称为n次Bezier曲线青岛农业大学病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病

26、理生理过程Bzier曲线的数学表示(k0,1,.,n)其中：参数u的取值范围为0,1，n是多项式次数,也是曲线次数。规定 0！=1，00=1。注意：Bezier曲线是一个阶数比控制点少1的多项式。青岛农业大学病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程一次Bzier曲线 n=1时，有两个控制点P0和P1一次Bezier曲线是连接起点P0和终点P1的直线段。青岛农业大学病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程二次Bzier曲线n=2，有三个控制点P0、P1和P2

27、：二次Bezier曲线是一条以P0为起点，P2为终点的抛物线。青岛农业大学病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程三次Bzier曲线n=3，有四个控制点P0、P1、P2和P3：三次Bezier曲线是自由曲线。青岛农业大学病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程6.2.2 Bzier曲线的性质曲线的起点和终点与特征多边形的起点和终点重合对伯恩斯坦基函数来说，有：当u0时，只有k0的项不为0，其它项都为uk0k0 当u 1时，只有k=n的项不为0，其它项都为(

28、1-u)n-k 0n-k0青岛农业大学病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程6.2.2 Bzier曲线的性质端点切线 Bezier曲线在起点处的切线位于前两个控制点的连线上，而终点处的切线位于最后两个控制点的连线上，即曲线起点和终点处的切线方向与起始折线段和终止折线段的走向一致。青岛农业大学病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程6.2.2 Bzier曲线的性质青岛农业大学病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖

29、，引起不同程度的病理生理过程6.2.2 Bzier曲线的性质在起始点u0,B1,n-1(0)1，其余项均为0，故有:P(0)n(P1P0)在终止点u1,Bn-1,n-1(1)1，其余项均为0，故有:P(1)=n(PnPn-1)Bezier曲线在端点处的一阶导数只同相近的两个控制点有关，其方向相同于两点的连线方向。青岛农业大学病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程6.2.2 Bzier曲线的性质二阶导数对参数t求二阶导数可得：在起始点t0处的二阶导数为：P”(0)n(n1)(P22P1P0)=n(n-1)(P2P1)-(P1

30、-P0)在终止点t1处的二阶导数为：P”(1)n(n1)(Pn2Pn-1Pn-2)=n(n-1)(Pn-2Pn-1)-(Pn-1Pn)结论：Bezier曲线在端点处的二阶导数只同相近的三个控制点有关。那么，Bezier曲线在端点处的r阶导数是由与端点r+1个邻近的控制多边形顶点来决定。青岛农业大学病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程6.2.2 Bzier曲线的性质 由Bezier曲线的数学定义知，曲线的形状由特征多边形的顶点Pk(k0,1,.,n)唯一确定，与坐标系的选取无关,这就是几何不变性。几何不变性 保持控制多边形

31、的顶点位置不变，仅仅把它们的顺序颠倒一下，将下标为k的控制点Pk改为下标为n-k的控制点Pn-k时，曲线保持不变，只是走向相反而已。对称性 青岛农业大学病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程6.2.2 Bzier曲线的性质 落在特征多边形顶点所形成的凸包内。即当特征多边形为凸时，Bezier曲线也是凸的；当特征多边形有凹有凸时，其曲线的凸凹形状与之对应。Bezier曲线的凸包性质保证了曲线随控制点平稳前进而不会振荡。凸包性青岛农业大学病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不

32、同程度的病理生理过程6.2.2 Bzier曲线的性质变差缩减性 对 于 平 面Bezier 曲 线，平 面 内 任 意 一 条 直 线 与 其交 点 的 个 数 不 多 于 该 直 线 与 其 控 制 多 边 形 的 交 点个数。Bezier 曲线比特征多边形的折线更光滑。青岛农业大学病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程6.2.3 Bzier曲线的拼接 几何设计中，一条Bezier曲线往往难以描述复杂的曲线形状。由于增加特征多边形的顶点数，会引起Bezier曲线次数的提高，而高次多项式又会带来计算上的困难。一般采用分段设

33、计，然后将各段曲线相互连接起来，并在接合处保持一定的连续条件。下面讨论两段Bezier曲线达到不同阶几何连续的条件。青岛农业大学病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程n 设有两段三次Bezier曲线P(t)和Q(t)，相应控制点为Pi(i=0,1,.,n)和Qj(j=0,1,.,m)，如下图所示。6.2.3 Bzier曲线的拼接 an-1anan-2b1b2b3Pn(Q0)Pn-2Pn-1Pn-3P(t)Q(t)青岛农业大学病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病

34、理生理过程6.2.3 Bzier曲线的拼接（1）要使它们达到G0连续的充要条件是：Pn=Q0；（2）要使它们达到G1连续的充要条件：P2P3(Q0)Q1三点共线第一段曲线终点处的导数为：P(1)3(P3 P2)第二段曲线起点处的导数为：Q(0)3(Q0 Q1)一阶导数要连续，则应有P(1)Q(0)，即:P3P2（Q1Q0）也即要求P2P3(Q0)Q1三点共线。青岛农业大学病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程6.2.3 Bzier曲线的拼接（3）要使它们达到G2连续的充要条件是：在G1连续的条件下，满足Pn-2、Pn-1、

35、Pn(Q0)、Q1、Q2 五点共面，且Pn-2和Q2或者同在直线Pn-1Q1上或位于Pn-1Q1同侧。第一段曲线终点处的二阶导数为：P”(1)6(Pn2Pn-1Pn-2)第二段曲线起点处的二阶导数为：Q”(0)6(Q22Q1Q0)要达到二阶导数连续，则应有P”(1)Q”(0)，即:Pn-22Pn-1Pn(Q22Q1Q0)an-1anan-2b1b2b3Pn(Q0)Pn-2Pn-1Pn-3P(t)Q(t)青岛农业大学病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程6.2.4 Bzier曲线的离散生成 根据贝塞尔曲线的参数表达式，让参数

36、t在区间(0,1)内取多个值，例如100，计算出这100个值对应的坐标点，依次连接这些点就得到一条Bezier曲线。以三次贝塞尔曲线为例：注意：再添加一个z 坐标，就可得到空间Bezier曲线。For(t=0;t=1;t=t+0.01)青岛农业大学病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程n 依次对原始控制多边形每一边执行同样的定比分割，所得分割点就是第一级递推生成的中间顶点，对这些中间顶点构成的控制多边形再执行同样的定比分割，重复操作，直到得出一个中间顶点，即为所求曲线上的点。6.2.4 Bzier 曲线生成-de casteljau 算法青岛农业大学病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 依次对原始控制多边形每一边执行同样的中点分割，所得分点就是由第一级递推生成的中间顶点,对这些中间顶点构成的控制多边形再执行同样的中点分割，得第二级中间顶点。重复进行下去，直到n级递推得到一个中间顶点，即为所求曲线上的点。同时控制点列被 分成左分段和右分段两段折线，继续对这两段折线作类似递归分割，直至满足要求为止。6.2.4 Bzier曲线生成算法-二分递归法