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1、九年级数学九年级数学(下下)第一章第一章 直角三角形的边角关系直角三角形的边角关系1.11.1从梯子的倾斜程度谈起从梯子的倾斜程度谈起(第第2 2课时课时)锐锐角三角函数角三角函数正弦与余弦正弦与余弦 在直角三角形中在直角三角形中在直角三角形中在直角三角形中,若一个锐角的对边与邻边的比值是若一个锐角的对边与邻边的比值是若一个锐角的对边与邻边的比值是若一个锐角的对边与邻边的比值是一个定值一个定值一个定值一个定值,那么这个角的值也随之确定那么这个角的值也随之确定那么这个角的值也随之确定那么这个角的值也随之确定.温故知新温故知新直角三角形中边与角的关系直角三角形中边与角的关系直角三角形中边与角的关系
2、直角三角形中边与角的关系:锐角的三角函数锐角的三角函数锐角的三角函数锐角的三角函数-正切正切正切正切函数函数函数函数 在在在在RtABCRtABCRtABCRtABC中中中中,锐角锐角锐角锐角A A A A的对边与邻边的比叫做的对边与邻边的比叫做的对边与邻边的比叫做的对边与邻边的比叫做A A A A的的的的正切正切正切正切,记作记作记作记作tanAtanAtanAtanA,即即即即tanAtanA=余切的定义余切的定义余切的定义余切的定义:正切的倒数叫做正切的倒数叫做正切的倒数叫做正切的倒数叫做A A A A的的的的余切余切余切余切,即即即即cotAcotAcotAcotA=在在在在RtABC
3、RtABCRtABCRtABC中中中中,锐角锐角锐角锐角A A A A的邻边与对的邻边与对的邻边与对的邻边与对边的比叫做边的比叫做边的比叫做边的比叫做A A A A的的的的余切余切余切余切,记作记作记作记作cotAcotAcotAcotA,即即即即 回顾与思考回顾与思考回顾与思考回顾与思考A AB BC CA A的对边的对边的对边的对边A A的邻边的邻边的邻边的邻边斜边斜边斜边斜边 如图如图,当当RtRtABCABC中中的的一个锐角一个锐角A A确定时确定时,它它的对边与邻边的比的对边与邻边的比便便随之确定随之确定.此时此时,其其它边之间的比值也确它边之间的比值也确定定吗吗?想一想想一想结论结
4、论:在在RtRtABCABC中中,如果如果锐角锐角A A确定时确定时,那么那么A A的的对边与对边与斜斜边的比边的比,邻邻边与边与斜斜边的比边的比也也随之确定随之确定.A AB BC CA A的对边的对边的对边的对边A A的邻边的邻边的邻边的邻边斜边斜边斜边斜边本领大不大本领大不大 悟心来当家悟心来当家正弦与余弦正弦与余弦 在在RtABCRtABC中中,锐角锐角A A的对边与的对边与斜斜边的比叫做边的比叫做A A的的正正弦弦,记作记作sinAsinA,即即 在在RtABCRtABC中中,锐角锐角A A的的邻邻边与边与斜斜边的比叫做边的比叫做A A的的余弦余弦,记作记作cosAcosA,即即 锐
5、角锐角A A的正弦的正弦,余余弦弦,正切和余切都叫正切和余切都叫做做A A的的三角函数三角函数.sinAsinAsinAsinA=cosAcosA=想一想想一想A AB BC CA A的对边的对边的对边的对边A A的邻边的邻边的邻边的邻边斜边斜边斜边斜边结论结论:梯子的倾斜程度与梯子的倾斜程度与sinAsinA和和cosAcosA有关有关:sinAsinA越越大大,梯子越陡梯子越陡;cosAcosA越小越小,样子越陡样子越陡.如图如图,梯子的梯子的倾斜程度与倾斜程度与sinAsinA和和cosAcosA有关吗有关吗?想一想想一想生活问题数学化生活问题数学化例例2 2 如图如图:在在RtABCR
6、tABC中中,B=90,B=900 0,AC=200,sinA=0.6 AC=200,sinA=0.6求求:BC:BC的长的长.例题欣赏例题欣赏 请你求出请你求出cosA,tanA,sinC,cosCcosA,tanA,sinC,cosC和和tanCtanC的值的值.你敢应战吗你敢应战吗?200200A AC CB?怎样解答解解:在在RtABCRtABC中中,行家看行家看“门道门道”求求:AB,sinBAB,sinB.1010A AB BC C如图如图:在在RtABCRtABC中中,C=90,C=900 0,AC=10,AC=10,注意到这里注意到这里注意到这里注意到这里cosAcosA=si
7、nBsinB,其中有没有什么内有的关系其中有没有什么内有的关系其中有没有什么内有的关系其中有没有什么内有的关系?小式牛刀小式牛刀用实际行动来证明用实际行动来证明我能行我能行1.1.如图如图:在在等腰等腰ABCABC中中,AB=AC=5,BC=6.,AB=AC=5,BC=6.求求:sinB,cosB,tanBsinB,cosB,tanB.咋办?提示提示:过点过点A作作AD垂直于垂直于BC于于D.5 55 56A AB BC CD 随堂练习随堂练习真知在实践中诞生真知在实践中诞生咋办?求求:ABCABC的周长的周长.2.2.在在RtABCRtABC中中,C=90,C=900 0,BC=20,BC=
8、20,A AB BC C 随堂练习随堂练习真知在实践中诞生真知在实践中诞生 3.3.如图如图,在在RtABCRtABC中中,锐角锐角A A的对边和邻边的对边和邻边同时扩大同时扩大100100倍倍,sinAsinA的值（的值（）A.A.扩大扩大100100倍倍 B.B.缩小缩小100100倍倍 C.C.不变不变 D.D.不能确定不能确定4.4.已知已知A,BA,B为锐角为锐角(1)(1)若若A=A=B,B,则则sinAsinA sinBsinB;(2)(2)若若sinsinA A=sinBsinB,则则A A BB.ABC 随堂练习随堂练习八仙过海,尽显才能5.5.如图,C=90C=90CDAB
9、CDAB.6.6.在上图中在上图中,若若BD=6,CD=12.BD=6,CD=12.求求cosAcosA的值的值.提示提示:模型模型“双垂直三角形双垂直三角形”的有关性质你可曾记的有关性质你可曾记得得.A AC CB BD D 随堂练习随堂练习八仙过海八仙过海,尽显尽显才能才能7.如图,分别根据图(1)和图(2)求A的四个三角函数值.8.在在RtABCRtABC中中,C=90C=90,(1)AC=(1)AC=3 3,AB=,AB=6 6,求求sinAsinA和和cosBcosB(2)BC=3,sinA=,(2)BC=3,sinA=,求求ACAC和和ABAB.提示提示:求锐角三角函数时求锐角三角
10、函数时,勾股定理的运用是很重要的勾股定理的运用是很重要的.ACB34ACB34(1)(2)随堂练习随堂练习八仙过海八仙过海,尽显尽显才能才能10.10.在在RtABCRtABC中中,C=90,C=90,AB=15,sinA=,AB=15,sinA=,求求ACAC和和BC.BC.的长的长1111.在等腰在等腰ABCABC中，中，AB=AC=13,BC=10,AB=AC=13,BC=10,求求sinB,cosBsinB,cosB.提示提示:过点过点A A作作ADAD垂直于垂直于BCBC于点于点D.D.A AC CB BD D 随堂练习随堂练习求锐角三角函数时求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要
11、的勾股定理的运用是很重要的八仙过海八仙过海,尽显尽显才能才能相相 信信 自自 己己12.12.在在RtABCRtABC中中,C=90,C=90.(1)AC=(1)AC=2525.AB=.AB=2727.求求sinA,cosA,tanA,cotAsinA,cosA,tanA,cotA和和 sinB,cosB,tanB,cotBsinB,cosB,tanB,cotB.(2)BC=3,sinA=(2)BC=3,sinA=0.60.6,求求AC AC 和和AB.AB.(3)AC=4,cosA=0.8,(3)AC=4,cosA=0.8,求求BC.BC.13.13.在梯形在梯形ABCDABCD中，中，AD
12、/BC,AB=DC=13,AD=8,BC=18.AB=DC=13,AD=8,BC=18.求求:sinB,cosB,tanB,cotBsinB,cosB,tanB,cotB.提示提示:作梯形的高是梯形的常用辅助作梯形的高是梯形的常用辅助,借助它可以借助它可以转化为直角三角形转化为直角三角形.ACBDFE 随堂练习随堂练习回回 味味 无无 穷穷定义定义中应该注意的几个问题中应该注意的几个问题:小结 拓展1.sinA,cosA,1.sinA,cosA,1.sinA,cosA,1.sinA,cosA,tanA,cotAtanA,cotAtanA,cotAtanA,cotA是是是是在直角三角形中定义的在
13、直角三角形中定义的在直角三角形中定义的在直角三角形中定义的,AAAA是是是是锐角锐角锐角锐角(注意数形结合注意数形结合注意数形结合注意数形结合,构造直角三角形构造直角三角形构造直角三角形构造直角三角形).).).).2.sinA,cosA,tanA2.sinA,cosA,tanA2.sinA,cosA,tanA2.sinA,cosA,tanA,cotA,cotA,cotA,cotA是是是是一个完整的符号一个完整的符号一个完整的符号一个完整的符号,表示表示表示表示A A A A的正的正的正的正切切切切,习惯省去习惯省去习惯省去习惯省去“”号号号号；3.3.3.3.sinA,cosA,sinA,c
14、osA,sinA,cosA,sinA,cosA,tanAtanAtanAtanA,cotA,cotA,cotA,cotA是是是是一个比值一个比值一个比值一个比值.注意比的顺序注意比的顺序注意比的顺序注意比的顺序,且且且且sinA,cosA,sinA,cosA,sinA,cosA,sinA,cosA,tanAtanAtanAtanA,cotA,cotA,cotA,cotA均均均均0,0,0,0,无单位无单位无单位无单位.4.4.4.4.sinA,cosA,sinA,cosA,sinA,cosA,sinA,cosA,tanAtanAtanAtanA,cotA,cotA,cotA,cotA的的的的大
15、小只与大小只与大小只与大小只与A A A A的大小有关的大小有关的大小有关的大小有关,而与而与而与而与直角三角形的边长无关直角三角形的边长无关直角三角形的边长无关直角三角形的边长无关.5.5.5.5.角相等角相等角相等角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等等等等,则这两个锐角相等则这两个锐角相等则这两个锐角相等则这两个锐角相等.回顾回顾,反思反思,深化深化1.1.锐角三角函数定义锐角三角函数定义:请思考:在RtABC中,sinAsinA和和cosBcosB有什么关
16、有什么关系系?tanAtanA和和cotBcotB有什有什么关系么关系?你能写出它们的你能写出它们的关系吗关系吗?cotAcotA=tanAtanA=ABCA A的对边的对边A的邻边斜边sinAsinA=cosAcosA=小结 拓展P9页习题页习题1.2 第第1、2、3、4题题作 业2.2.在在ABCABC中中,AB=5,BC=13,AD,AB=5,BC=13,AD是是B BC C边上边上 的高的高,AD=4.,AD=4.求求:CD,sinCCD,sinC.3.在在RtABCRtABC中中,BCA=90,BCA=90,CD,CD是是中中线线,BC=BC=8 8,CD=,CD=5 5.求求sinACD,cosACDsinACD,cosACD和和tanACD.tanACD.4.4.在在RtABCRtABC中中,C=90,C=90,sinA,sinA和和cosBcosB有什么关系有什么关系?小式牛刀小式牛刀心心 动动 不不 如如 行行 动动 数学中的某些数学中的某些定理具有这样的特定理具有这样的特性性:它们极易从事它们极易从事实中归纳出来实中归纳出来,但但证明却隐藏极深证明却隐藏极深.高斯高斯