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1、第一章 直角三角形的边角关系1 从梯子的倾斜程度谈起第1课时 第一页，编辑于星期六：七点 二分。1.能够用正切表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单计算(重点)2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系.(难点)第二页，编辑于星期六：七点 二分。1.正切与梯子的倾斜程度如图,梯子斜靠在墙上.第三页，编辑于星期六：七点 二分。【思考】(1)AB1C1与AB2C2相似吗?为什么?提示:AB1C1与AB2C2相似.A=A,AC1B1=AC2B2=90,AB1C1AB2C2.(2)如果改变B2在梯子上的位置,那么AB1C1与AB2C2_(填“相
2、似”或“不相似”).相似第四页，编辑于星期六：七点 二分。(3)根据以上探究可知，无论B2在梯子上的哪个位置，都有(4)梯子的倾斜程度与上面的比值有何关系？提示：上面的比值越大，梯子越陡.222B C.AC111B CAC第五页，编辑于星期六：七点 二分。【总结】(1)正切的定义:在RtABC中,如果锐角A确定,那么A的_与_的比便随之确定,这个比叫做A的正切,记作_.(2)梯子的倾斜程度与正切的关系:如果梯子与地面的夹角为A,那么tanA的值_,梯子越陡.对边邻边tanA越大第六页，编辑于星期六：七点 二分。2.坡度坡面的_与_的比称为坡度(或_),山坡的坡度常用_描述.铅直高度水平宽度坡比
3、正切第七页，编辑于星期六：七点 二分。 (打“”或“”)(1)一个角所在的直角三角形越大，这个角的正切值也越大.( )(2)一个角的正切值只与这个角的大小有关.( )(3)只有直角三角形中的角才有正切值.( )(4)一个斜坡的坡角越大，坡度也越大.( )(5)在ABC中， ( )ACtan A.BC第八页，编辑于星期六：七点 二分。知识点 1 求锐角的正切值【例1】已知ABC中，AB=AC，BD是AC边上的中线，AB=13，BC=10.求tan DBC的值【思路点拨】作高AH，DFBC求出AH的长求出DF的长在RtDBF中求出tan DBC的值.第九页，编辑于星期六：七点 二分。【自主解答】过
4、点A,D分别作AHBC,DFBC，垂足分别为点H,F.AB=AC，AHBC，在RtABH中，AHDF，且BD是AC边上的中线，在RtDBF中，11BHBC105.222222AHABBH13512.1DFAH6CFFH2，3315BFBC10442，DF4tan DBC.BF5第十页，编辑于星期六：七点 二分。【总结提升】利用定义求锐角的正切值的“三步法”1.观察：观察所给的锐角是否在直角三角形中.2.转化：如果所给的锐角不在直角三角形中，可通过作辅助线构造直角三角形或利用等量关系代换将锐角“转移”到直角三角形中.3.求解：在直角三角形中求出这个角的对边与邻边的比值，就是这个角的正切值.第十一
5、页，编辑于星期六：七点 二分。知识点 2 正切的应用【例2】如图，一段河坝的横断面为梯形ABCD，试根据图中的数据，求出坝底宽AD(i=CE ED，单位：m)第十二页，编辑于星期六：七点 二分。【解题探究】1.ED与CE有什么关系?ED的长是多少?提示:i=CEED=12,ED=2CE=24=8(m).2.如图,过点B作BFAD于F,则四边形BFEC是什么形状的特殊四边形?EF,BF的长是多少?提示:四边形BFEC是正方形,则EF=BF=BC=4 m.第十三页，编辑于星期六：七点 二分。3.可求出AF的长是多少？那么即可求出坝底宽AD.提示：在RtABF中，由勾股定理可得：根据以上探究，可得坝
6、底ADAF+FE+ED3+4+815(m)22AF543 m第十四页，编辑于星期六：七点 二分。【互动探究】在上题中，斜坡AB的坡度是多少？提示：在RtAFB中，因BF=4，AF=3，所以斜坡AB的坡度为4.3第十五页，编辑于星期六：七点 二分。【总结提升】坡度的常见用法和两点注意坡度的常见用法：(1)坡度常和实际生活中的问题相结合，如拦水坝、开渠、修路等.(2)坡度常和梯形的知识相结合，解题时常把梯形转化为三角形和矩形求解.第十六页，编辑于星期六：七点 二分。两点注意：(1)坡度是两条线段的比值，不是度数.(2)坡度是铅直高度与水平宽度的比，而不是斜面距离与水平宽度(或铅直高度)的比.第十七
7、页，编辑于星期六：七点 二分。题组一：求锐角的正切值1.如图，在84的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan ACB的值为( )112ABCD 3322第十八页，编辑于星期六：七点 二分。【解析】选A如图，在网格中构造含有ACB的RtACD，在该三角形中AD21AD2DC6tan ACBDC63，第十九页，编辑于星期六：七点 二分。2.某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于客轮P的北偏东30方向，且相距20海里客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60方向航行 小时到达B处，那么tan ABP( )23152 5AB 2CD255第二十页，编辑于星期
8、六：七点 二分。【解析】选A如图，在PAB中，APB603090，PA20海里， (海里)，故2PB60403PA201tan ABP.PB402第二十一页，编辑于星期六：七点 二分。3.(2013济南中考)已知直线l1l2l3l4，相邻的两条平行直线间的距离均为h，矩形ABCD的四个顶点分别在这四条直线上，放置方式如图所示，AB=4，BC=6，则tan 的值等于( )2343A.B.C.D.3432第二十二页，编辑于星期六：七点 二分。【解析】选C.如图，作AMl4于点M，作CNl4于点N，则AM=h，CN=2h，ABM+BAM=90，四边形ABCD是矩形，ABC=90，ABM+=90，BA
9、M=，ABMBCN，BM=AMtan =htan ，BMCN.ABBC44htan2htan .63 ，第二十三页，编辑于星期六：七点 二分。4.在ABC中，C=90，AB=5，BC=4，则tan A=_.【解析】由勾股定理，得答案：2222ACABBC543 ，BC4tan A.AC343第二十四页，编辑于星期六：七点 二分。5.如图，在ABC中，AC4，BC3，CDAB于点D，BD2,求tan A，tan B的值.第二十五页，编辑于星期六：七点 二分。【解析】在RtBDC中，BC3，BD2，在RtADC中,2222CDBCBD325.CD5tan B.BD2AC4,CD5,2222ADAC
10、CD4( 5)11.CD555tan A.AD1111第二十六页，编辑于星期六：七点 二分。题组二：正切的应用1.如图，在平地上种植树木时，要求株距(相邻两树间的水平距离)为4 m.如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4 m,那么相邻两树间的坡面距离为( )A.5 m B.6 m C.7 m D.8 m 第二十七页，编辑于星期六：七点 二分。【解析】选A.由题意可得,如图，AC=4 m，tan A=0.75,则故BC=3 m，则BC0.75,422AB345 m .第二十八页，编辑于星期六：七点 二分。2.(2013聊城中考)河堤横断面如图所示，堤高BC=6 m，迎水坡AB的坡比为
11、则AB的长为( )A.12 mB.4 3 mC.5 3 mD.6 3 m13 ，第二十九页，编辑于星期六：七点 二分。【解析】选A.在RtABC中，1BCtan A,BC6 m,AC322AC6 3 m,ABBCAC12 m .第三十页，编辑于星期六：七点 二分。【变式备选】河堤横断面如图所示，迎水坡AB的坡比为AB的长是10 m，则堤高BC=_ m13 ，第三十一页，编辑于星期六：七点 二分。【解析】在RtABC中，答案：5BC1tan AAC3，222AC3BC.ABBCAC，22210BC( 3BC)BC5 m，第三十二页，编辑于星期六：七点 二分。3.(2013安顺中考)在RtABC中
12、，则ABC的面积为_.【解析】RtABC中， 解得CA=6，答案：244C90 ,tan A,BC8,34C90tan ABC83，BC84tan ACACA3，ABC1S8 6242 第三十三页，编辑于星期六：七点 二分。4.某人沿着有一定坡度的坡面前进了10 m，此时他与水平地面的垂直距离为 则这个坡面的坡度为_【解析】如图，由勾股定理，得斜坡AB的坡度答案：122 5 m ，AB10 mBC2 5 m，22ACABBC100 204 5 m，iBC AC2 5 4 512.第三十四页，编辑于星期六：七点 二分。5.如图,拦水坝的横断面为梯形ABCD,坝顶宽AD=5m,斜坡AB的坡度i =
13、1 3(指坡面的铅直高度AE与水平宽度BE的比),斜坡DC的坡度i=1 1.5,已知该拦水坝的高为6m.第三十五页，编辑于星期六：七点 二分。(1)求斜坡AB 的长.(2)求拦水坝的横断面梯形ABCD 的周长.(注意：本题中的计算过程和结果均保留根号)第三十六页，编辑于星期六：七点 二分。【解析】(1) 在RtABE中，根据勾股定理得，答：斜坡AB 的长为AE1AE6 mBE3AE18 m.BE3，2222ABAEBE6186 10 m .6 10 m.第三十七页，编辑于星期六：七点 二分。(2)过点D作DFBC于点F，四边形AEFD是矩形.EF=AD=5 m.又DF2 DFAE6 mCF3，3CFDF9 m.2第三十八页，编辑于星期六：七点 二分。BC=BEEFFC=1859=32(m).在RtDCF中，根据勾股定理得，梯形ABCD 的周长为ABBCCDDA答：梯形ABCD 的周长为2222DCDFCF693 13 m .6 10323 135376 103 13 m .(376 103 13)m.第三十九页，编辑于星期六：七点 二分。【想一想错在哪？】如图，ABC中，C=90，BC=6 cm， ABC的面积是多少？3tan B2，第四十页，编辑于星期六：七点 二分。提示：对正切的定义理解不透彻，搞错了边之间的比.第四十一页，编辑于星期六：七点 二分。