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1、第一章第一章 引言引言 1.6场论初步场论初步步入步入微分形式微分形式麦克斯韦方程的麦克斯韦方程的数学准备数学准备第四讲第四讲2.场论初步场论初步等值面、方向导数与梯度梯度梯度：是矢量，方向为电位变化最陡的方向，即最大：是矢量，方向为电位变化最陡的方向，即最大方向导数的方向，大小变化最大方向的变化率，即最方向导数的方向，大小变化最大方向的变化率，即最大方向导数大方向导数梯度grad =的表达式标量场梯度的物理意义矢量矢量总之总之：位函数的梯度位函数的梯度是一矢量，其方向为位变化是一矢量，其方向为位变化最陡的方向，大小为位变化最大方向上的变化率。最陡的方向，大小为位变化最大方向上的变化率。充分描
2、述了场空间变化特征标标量量场场 的的梯梯度度充充分分描描述述了了标标量量场场 在在空空间间变变化化的的特征特征:场场中中任任一一点点（x,x,y,y,z z）沿沿任任一一方方向向的的变变化化率率（即即方方向向导导数数）是是不不一一样样的的。最最大大变变化化率率（即即最最大大方方向向导导数数）的的方方向向就就是是梯梯度度的的方方向向，最最大大变变化化率率（即即最最大大方方向向导数）就是梯度导数）就是梯度的大小。的大小。在在任任一一方方向向l0 的的投投影影（l0）就就是是该该方方向向的的变变化化率率（即即该该方方向向的的方方向向导导数数）。因因此此梯梯度度是是描描述述标标量量场场 随随空空间间变
3、变化化特特性性非非常常好好的的一一个个物物理理量量。经经过过梯梯度运算，可由一个标量场得到一个矢量场度运算，可由一个标量场得到一个矢量场矢量场的通量通量的定义：通量的定义：场矢量场矢量A沿有向曲面沿有向曲面S的曲面的曲面积分。积分。矢量场通量的物理意义如定义如定义An为矢量为矢量A在面元法线在面元法线n方向的投影，方向的投影，则则Ads=Ands；若把；若把A理解为流体的流速，则理解为流体的流速，则Ands就表示穿过就表示穿过ds的流量，的流量，这就是叫通量的原这就是叫通量的原因。因。对于闭曲面对于闭曲面S，取其外侧为正，则，取其外侧为正，则表示表示A从从S流出的通量流出的通量表示？表示？0
4、时，时，0 时，时，=0 时，时，表示有净流量流出，存在流体源表示有净流量流出，存在流体源表示有净流量流入，存在流体负源表示有净流量流入，存在流体负源表示没有净流量流出，无净流体源表示没有净流量流出，无净流体源散度div A=A取一立方体单元，体积为取一立方体单元，体积为 V x y z,考虑考虑x方向分量方向分量散度div A散度定理拉普拉斯算符2场量场量梯度梯度的的散度散度拉氏算符拉氏算符 2 矢量场A沿有向闭合曲线l的环量矢量场矢量场A在闭合线上的线积分在闭合线上的线积分定义为定义为A沿沿l的环量的环量旋度Curl A环量面密度环量面密度A沿正沿正 l方向的环量方向的环量 与面积与面积
5、S在在M点处保持以点处保持以n为法线方向条为法线方向条件下，以任意方式推向件下，以任意方式推向M点时，点时，其极限为：其极限为：这称为这称为矢量场矢量场A在在M点处沿点处沿n方向的环量面密度方向的环量面密度，它，它是一个是一个与方向有关与方向有关的量。的量。旋度Curl A的定义与标量场中梯度与方向导数之间的关系类似，与标量场中梯度与方向导数之间的关系类似，梯度在某一方向上的投影就是该方向的方向导梯度在某一方向上的投影就是该方向的方向导数；当数；当n方向与方向与CurlA方向一致时，得到最大环方向一致时，得到最大环量在密度。量在密度。旋度Curl A的计算CBAyz0Dlyz矢量场旋度在一个面
6、积元上的计算矢量场旋度在一个面积元上的计算旋度Curl A的计算(1)当矩形当矩形ABCD0时，即时，即 y,z0,这时这时Ay，Az近似为近似为常常数数，则：，则：因此因此旋度Curl A的计算(2)同理：同理：斯托克斯定理有限面积有限面积S分解成面元分解成面元 Sn（0），），由旋度定义，则有：由旋度定义，则有：左边为：左边为：右边为：右边为：相邻面元交界相邻面元交界线上的线积分线上的线积分相互抵消相互抵消矢量场的分类矢量场的分类(1)亥姆霍兹定理一个矢量场的性质由一个矢量场的性质由激发场的源激发场的源来确定来确定源有两类：散度源（通量源）源有两类：散度源（通量源）旋度源（涡旋源）旋度源（
7、涡旋源）Q:若已知一个矢量场的散度或旋度，能否唯一确定该若已知一个矢量场的散度或旋度，能否唯一确定该矢量场？矢量场？A:能！这就是亥姆霍兹定理能！这就是亥姆霍兹定理如果在体积如果在体积V内的矢量场内的矢量场A的散度和旋度已知，在的散度和旋度已知，在V的的边界边界S上上A的值也已知，则在的值也已知，则在V内任一点内任一点A的值能唯一的值能唯一确定。（证明略去）确定。（证明略去）据此定理，任一矢量场据此定理，任一矢量场A能分解为一个无旋场和一个能分解为一个无旋场和一个无源场之和。无源场之和。产生场的源(r,t)、J(r,t)怎么表示？产生场的源产生场的源(r,t)、J(r,t)或其对应复量或其对应
8、复量(r)、J(r)的表示的表示体电荷密度体电荷密度 v(r)C/m3面电荷密度面电荷密度 s(r)C/m2线电荷密度线电荷密度 l(r)C/m点电荷点电荷QC体电流密度体电流密度Jv(r)=vvA/m2面电流密度面电流密度Js(r)=svA/m线电流密度线电流密度Jl(r)=lvA半导体中半导体中Jc=ve v=v eE=eE （电子导电）电子导电）Jc=vh v=v hE=hE （空穴导电）空穴导电）BYBY:矢量运算的几个恒等关系由梯度、散度、旋度和拉氏算符的定义，可推导出由梯度、散度、旋度和拉氏算符的定义，可推导出以下矢量运算恒等关系：以下矢量运算恒等关系：例题1-9证明：直角坐标系下
9、证明：直角坐标系下(A)(A)-2A解：解：例题1-10例题例题1-10(1)小结、复习复习要点复习要点n算符算符 既是矢量，又有微分运算功能既是矢量，又有微分运算功能。作用于一标量场作用于一标量场 可得到一矢可得到一矢量场量场。作用于一矢量场作用于一矢量场A，如进行点积运算得到一标量场如进行点积运算得到一标量场 A，如果进行一矢积运算可得到一矢量如果进行一矢积运算可得到一矢量A。n标量场标量场 的的梯度梯度grad 是一矢量，其模为最大方向导数，方向为场最是一矢量，其模为最大方向导数，方向为场最大变化率方向大变化率方向 grad =n矢量场矢量场A的散度的散度divA反映反映矢量场的通量体密度矢量场的通量体密度，是一标量。，是一标量。divA=A，矢量场矢量场A的旋度的旋度CurlA反映反映矢量场的环量面密度矢量场的环量面密度，是一矢量，其模等，是一矢量，其模等于最大环量面密度，最大环量面密度时，曲面法线方向即旋度方向。于最大环量面密度，最大环量面密度时，曲面法线方向即旋度方向。CurlA=A。n矢量运算恒等关系要记牢。矢量运算恒等关系要记牢。复习范围复习范围 1.6作业作业(P53)1.41.61.7