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1、第四讲场论初步第1页，此课件共29页哦2.场论初步场论初步第2页，此课件共29页哦等值面、方向导数与梯度梯度梯度：是矢量，方向为电位变化最陡的方向，即最大方：是矢量，方向为电位变化最陡的方向，即最大方向导数的方向，大小变化最大方向的变化率，即最大方向导数的方向，大小变化最大方向的变化率，即最大方向导数向导数第3页，此课件共29页哦梯度grad =的表达式第4页，此课件共29页哦标量场梯度的物理意义矢量矢量总之总之：位函数的梯度位函数的梯度是一矢量，其方向为位变化最陡的是一矢量，其方向为位变化最陡的方向，大小为位变化最大方向上的变化率。方向，大小为位变化最大方向上的变化率。第5页，此课件共29页
2、哦充分描述了场空间变化特征标量场标量场 的的梯度梯度充分描述了标量场充分描述了标量场 在空间变化的特征在空间变化的特征:场场中中任任一一点点（x,x,y,y,z z）沿沿任任一一方方向向的的变变化化率率（即即方方向向导导数数）是是不不一一样样的的。最最大大变变化化率率（即即最最大大方方向向导导数数）的的方方向向就就是是梯梯度度的的方方向向，最最大大变变化化率率（即即最最大大方方向向导导数数）就就是是梯梯度度的大小。的大小。在在任任一一方方向向l0 的的投投影影（l0）就就是是该该方方向向的的变变化化率率（即即该该方方向向的的方方向向导导数数）。因因此此梯梯度度是是描描述述标标量量场场 随随空空
3、间间变变化化特特性性非非常常好好的的一一个个物物理理量量。经经过过梯梯度度运运算算，可可由由一一个个标量场得到一个矢量场标量场得到一个矢量场第6页，此课件共29页哦矢量场的通量通量的定义：通量的定义：场矢量场矢量A沿有向曲面沿有向曲面S的曲面积的曲面积分。分。第7页，此课件共29页哦矢量场通量的物理意义如定义如定义An为矢量为矢量A在面元法线在面元法线n方向的投影，则方向的投影，则Ads=Ands；若把；若把A理解为流体的流速，则理解为流体的流速，则Ands就就表示穿过表示穿过ds的流量，的流量，这就是叫通量的原因。这就是叫通量的原因。对于闭曲面对于闭曲面S，取其外侧为正，则，取其外侧为正，则
4、表示表示A从从S流出的通量流出的通量表示？表示？0 时，时，0 时，时，=0 时，时，表示有净流量流出，存在流体源表示有净流量流出，存在流体源表示有净流量流入，存在流体负源表示有净流量流入，存在流体负源表示没有净流量流出，无净流体源表示没有净流量流出，无净流体源第8页，此课件共29页哦散度div A=A取一立方体单元，体积为取一立方体单元，体积为 V x y z,考虑考虑x方向分量方向分量第9页，此课件共29页哦散度div A第10页，此课件共29页哦散度定理第11页，此课件共29页哦拉普拉斯算符2场量场量梯度梯度的的散度散度拉氏算符拉氏算符 2 第12页，此课件共29页哦矢量场A沿有向闭合曲
5、线l的环量矢量场矢量场A在闭合线上的线积分定在闭合线上的线积分定义为义为A沿沿l的环量的环量第13页，此课件共29页哦旋度Curl A环量面密度环量面密度A沿正沿正 l方向的环量方向的环量与面积与面积 S在在M点处保持以点处保持以n为法线方向条件下，以为法线方向条件下，以任意方式推向任意方式推向M点时，其极限为：点时，其极限为：这称为这称为矢量场矢量场A在在M点处沿点处沿n方向的环量面密度方向的环量面密度，它是一，它是一个个与方向有关与方向有关的量。的量。第14页，此课件共29页哦旋度Curl A的定义与标量场中梯度与方向导数之间的关系类似，梯度与标量场中梯度与方向导数之间的关系类似，梯度在某
6、一方向上的投影就是该方向的方向导数；当在某一方向上的投影就是该方向的方向导数；当n方方向与向与CurlA方向一致时，得到最大环量在密度。方向一致时，得到最大环量在密度。第15页，此课件共29页哦旋度Curl A的计算CBAyz0Dlyz矢量场旋度在一个面积元上的计算矢量场旋度在一个面积元上的计算第16页，此课件共29页哦旋度Curl A的计算(1)当矩形当矩形ABCD0时，即时，即 y,z0,这时这时Ay，Az近似为近似为常数常数，则：，则：因此因此第17页，此课件共29页哦旋度Curl A的计算(2)同理：同理：第18页，此课件共29页哦斯托克斯定理有限面积有限面积S分解成面元分解成面元 S
7、n（0），由），由旋度定义，则有：旋度定义，则有：左边为：左边为：右边为：右边为：相邻面元交界线相邻面元交界线上的线积分相互上的线积分相互抵消抵消第19页，此课件共29页哦矢量场的分类第20页，此课件共29页哦矢量场的分类(1)第21页，此课件共29页哦亥姆霍兹定理一个矢量场的性质由一个矢量场的性质由激发场的源激发场的源来确定来确定源有两类：散度源（通量源）源有两类：散度源（通量源）旋度源（涡旋源）旋度源（涡旋源）Q:若已知一个矢量场的散度或旋度，能否唯一确定该矢量场？若已知一个矢量场的散度或旋度，能否唯一确定该矢量场？A:能！这就是亥姆霍兹定理能！这就是亥姆霍兹定理如果在体积如果在体积V内的
8、矢量场内的矢量场A的散度和旋度已知，在的散度和旋度已知，在V的边的边界界S上上A的值也已知，则在的值也已知，则在V内任一点内任一点A的值能唯一确定。的值能唯一确定。（证明略去）（证明略去）据此定理，任一矢量场据此定理，任一矢量场A能分解为一个无旋场和一个无源场能分解为一个无旋场和一个无源场之和。之和。第22页，此课件共29页哦产生场的源(r,t)、J(r,t)怎么表示？产生场的源产生场的源(r,t)、J(r,t)或其对应复量或其对应复量(r)、J(r)的表示的表示体电荷密度体电荷密度 v(r)C/m3面电荷密度面电荷密度 s(r)C/m2线电荷密度线电荷密度 l(r)C/m点电荷点电荷QC体电
9、流密度体电流密度Jv(r)=vvA/m2面电流密度面电流密度Js(r)=svA/m线电流密度线电流密度Jl(r)=lvA半导体中半导体中Jc=ve v=v eE=eE （电子导电）（电子导电）Jc=vh v=v hE=hE （空穴导电）（空穴导电）BYBY:第23页，此课件共29页哦矢量运算的几个恒等关系由梯度、散度、旋度和拉氏算符的定义，可推导出以下由梯度、散度、旋度和拉氏算符的定义，可推导出以下矢量运算恒等关系：矢量运算恒等关系：第24页，此课件共29页哦例题1-9证明：直角坐标系下证明：直角坐标系下(A)(A)-2A解：解：第25页，此课件共29页哦例题1-10第26页，此课件共29页哦
10、例题例题1-10(1)第27页，此课件共29页哦小结、复习复习要点复习要点n算符算符 既是矢量，又有微分运算功能既是矢量，又有微分运算功能。作用于一标量场作用于一标量场 可得到一矢量场可得到一矢量场。作用于一矢量场作用于一矢量场A，如进行点积运算得到一标量场，如进行点积运算得到一标量场 A，如果进行一，如果进行一矢积运算可得到一矢量矢积运算可得到一矢量A。n标量场标量场 的的梯度梯度grad 是一矢量，其模为最大方向导数，方向为场最大变是一矢量，其模为最大方向导数，方向为场最大变化率方向化率方向 grad =n矢量场矢量场A的散度的散度divA反映反映矢量场的通量体密度矢量场的通量体密度，是一标量。，是一标量。divA=A，矢量场，矢量场A的旋度的旋度CurlA反映反映矢量场的环量面密度矢量场的环量面密度，是一矢量，其模等于最大环量面密度，是一矢量，其模等于最大环量面密度，最大环量面密度时，曲面法线方向即旋度方向。最大环量面密度时，曲面法线方向即旋度方向。CurlA=A。n矢量运算恒等关系要记牢。矢量运算恒等关系要记牢。复习范围复习范围 1.6第28页，此课件共29页哦作业作业(P53)1.41.61.7第29页，此课件共29页哦