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1、第四讲矢量分析与场论本讲稿第一页，共三十八页积分与微分形式的麦克斯韦方程积分形式积分形式微分形式微分形式积分形式的麦氏方程积分形式的麦氏方程反映场在局反映场在局部区域的平均性质部区域的平均性质，而微分形式，而微分形式的麦氏方程的麦氏方程反映场在空间每一点性反映场在空间每一点性质质。是什么？是什么？是什么？是什么？是什么？是什么？本讲稿第二页，共三十八页1.矢量分析初步矢量分析初步本讲稿第三页，共三十八页概念：标量、矢量与场标标量量：只只有有大大小小，没没有有方方向向，这这种种物物理理量量叫叫做做标标量量，如如温温度度T、电荷密度电荷密度。矢矢量量：要要用用大大小小及及方方向向同同时时表表示示的
2、的物物理理量量叫叫矢矢量量。如如速速度度v、电电场强度场强度E。场场：如如果果在在空空间间域域 上上，每每一一点点都都存存在在一一确确定定的的物物理理量量A，我我们们就就说：场域说：场域 上存在由场量上存在由场量A构成的场。构成的场。如如果果A是是标标量量，我我们们就就说说场场域域 上上存存在在一一标标量量场场；如如果果A是是矢矢量量，则说明场域则说明场域 上存在一上存在一矢量场矢量场。场场是是物物质质存存在在的的一一种种形形态态，但但有有别别于于实实物物粒粒子子。在在空空间间同同一一点点上上同同时时允允许许存存在在多多种种场场，或或者者一一种种场场的的多多种种模模式式。这这与与实实物物粒粒子
3、子的的不不可可入入性和排他性有天壤之别。性和排他性有天壤之别。你能列举多少标量、矢量、场？你能列举多少标量、矢量、场？本讲稿第四页，共三十八页矢量表示及其加法运算矢量可表示成：矢量可表示成：模模单位矢量单位矢量矢量加法矢量加法（按四边形法则进行）（按四边形法则进行）本讲稿第五页，共三十八页矢量的点乘和叉乘AB=BAA B=-B A本讲稿第六页，共三十八页场量的空间位置表示场量的空间位置表示空间位置：空间位置：（位矢）（位矢）模模直角坐标系直角坐标系中单位矢量中单位矢量之间的关系：之间的关系：场矢量：场矢量：本讲稿第七页，共三十八页AB与与AB计算计算本讲稿第八页，共三十八页算符算符 是一个矢量
4、。是一个矢量。与一般的矢量不同，它有微分运算功能。与一般的矢量不同，它有微分运算功能。作用于一标量场作用于一标量场(x x,y y,z z)可得到一个矢量可得到一个矢量算符算符:本讲稿第九页，共三十八页算符算符 作用于一矢量场，如果是叉积运算，得到一个新的矢量场作用于一矢量场，如果是叉积运算，得到一个新的矢量场 作用于一矢量场作用于一矢量场A(x,y,z)，如果是点乘运算得到一标量，如果是点乘运算得到一标量场场本讲稿第十页，共三十八页2.场论初步场论初步本讲稿第十一页，共三十八页等值面、方向导数与梯度梯度梯度：是矢量，方向为电位变化最陡的方向，即最大方向：是矢量，方向为电位变化最陡的方向，即最
5、大方向导数的方向，大小变化最大方向的变化率，即最大方向导导数的方向，大小变化最大方向的变化率，即最大方向导数数本讲稿第十二页，共三十八页梯度grad =的表达式本讲稿第十三页，共三十八页标量场梯度的物理意义矢量矢量总之总之：位函数的梯度位函数的梯度是一矢量，其方向为位变化最陡是一矢量，其方向为位变化最陡的方向，大小为位变化最大方向上的变化率。的方向，大小为位变化最大方向上的变化率。本讲稿第十四页，共三十八页充分描述了场空间变化特征标量场标量场 的的梯度梯度充分描述了标量场充分描述了标量场 在空间变化的特征在空间变化的特征:场场中中任任一一点点（x,x,y,y,z z）沿沿任任一一方方向向的的变
6、变化化率率（即即方方向向导导数数）是是不不一一样样的的。最最大大变变化化率率（即即最最大大方方向向导导数数）的的方方向向就就是是梯梯度度的的方方向向，最最大大变变化化率率（即即最最大大方方向向导导数数）就就是是梯梯度度的大小。的大小。在在任任一一方方向向l0 的的投投影影（l0）就就是是该该方方向向的的变变化化率率（即即该该方方向向的的方方向向导导数数）。因因此此梯梯度度是是描描述述标标量量场场 随随空空间间变变化化特特性性非非常常好好的的一一个个物物理理量量。经经过过梯梯度度运运算算，可可由由一一个个标标量场得到一个矢量场量场得到一个矢量场本讲稿第十五页，共三十八页矢量场的通量通量的定义：通
7、量的定义：场矢量场矢量A沿有向曲面沿有向曲面S的曲面积的曲面积分。分。本讲稿第十六页，共三十八页矢量场通量的物理意义如定义如定义An为矢量为矢量A在面元法线在面元法线n方向的投影，则方向的投影，则Ads=Ands；若把；若把A理解为流体的流速，则理解为流体的流速，则Ands就就表示穿过表示穿过ds的流量，的流量，这就是叫通量的原因。这就是叫通量的原因。对于闭曲面对于闭曲面S，取其外侧为正，则，取其外侧为正，则表示表示A从从S流出的通量流出的通量表示？表示？0 时，时，0 时，时，=0 时，时，表示有净流量流出，存在流体源表示有净流量流出，存在流体源表示有净流量流入，存在流体负源表示有净流量流入
8、，存在流体负源表示没有净流量流出，无净流体源表示没有净流量流出，无净流体源本讲稿第十七页，共三十八页散度div A=A取一立方体单元，体积为取一立方体单元，体积为 V x y z,考虑考虑x方向分量方向分量本讲稿第十八页，共三十八页散度div A本讲稿第十九页，共三十八页散度定理本讲稿第二十页，共三十八页拉普拉斯算符2场量场量梯度梯度的的散度散度拉氏算符拉氏算符 2 本讲稿第二十一页，共三十八页矢量场A沿有向闭合曲线l的环量矢量场矢量场A在闭合线上的线积分定在闭合线上的线积分定义为义为A沿沿l的环量的环量本讲稿第二十二页，共三十八页旋度Curl A环量面密度环量面密度A沿正沿正 l方向的环量方
9、向的环量与面积与面积 S在在M点处保持以点处保持以n为法线方向条件下，为法线方向条件下，以任意方式推向以任意方式推向M点时，其极限为：点时，其极限为：这称为这称为矢量场矢量场A在在M点处沿点处沿n方向的环量面密度方向的环量面密度，它是一，它是一个个与方向有关与方向有关的量。的量。本讲稿第二十三页，共三十八页旋度Curl A的定义与标量场中梯度与方向导数之间的关系类似，梯与标量场中梯度与方向导数之间的关系类似，梯度在某一方向上的投影就是该方向的方向导数；度在某一方向上的投影就是该方向的方向导数；当当n方向与方向与CurlA方向一致时，得到最大环量在密方向一致时，得到最大环量在密度。度。本讲稿第二
10、十四页，共三十八页旋度Curl A的计算CBAyz0Dlyz矢量场旋度在一个面积元上的计算矢量场旋度在一个面积元上的计算本讲稿第二十五页，共三十八页旋度Curl A的计算(1)当矩形当矩形ABCD0时，即时，即 y,z0,这时这时Ay，Az近似为近似为常数常数，则：则：因此因此本讲稿第二十六页，共三十八页旋度Curl A的计算(2)同理：同理：本讲稿第二十七页，共三十八页斯托克斯定理有限面积有限面积S分解成面元分解成面元 Sn（0），由），由旋度定义，则有：旋度定义，则有：左边为：左边为：右边为：右边为：相邻面元交界线相邻面元交界线上的线积分相互上的线积分相互抵消抵消本讲稿第二十八页，共三十八
11、页矢量场的分类本讲稿第二十九页，共三十八页矢量场的分类(1)本讲稿第三十页，共三十八页亥姆霍兹定理一个矢量场的性质由一个矢量场的性质由激发场的源激发场的源来确定来确定源有两类：散度源（通量源）源有两类：散度源（通量源）旋度源（涡旋源）旋度源（涡旋源）Q:若已知一个矢量场的散度或旋度，能否唯一确定该矢量场？若已知一个矢量场的散度或旋度，能否唯一确定该矢量场？A:能！这就是亥姆霍兹定理能！这就是亥姆霍兹定理如果在体积如果在体积V内的矢量场内的矢量场A的散度和旋度已知，在的散度和旋度已知，在V的边的边界界S上上A的值也已知，则在的值也已知，则在V内任一点内任一点A的值能唯一确定。的值能唯一确定。（证
12、明略去）（证明略去）据此定理，任一矢量场据此定理，任一矢量场A能分解为一个无旋场和一个无能分解为一个无旋场和一个无源场之和。源场之和。本讲稿第三十一页，共三十八页产生场的源(r,t)、J(r,t)怎么表示？产生场的源产生场的源(r,t)、J(r,t)或其对应复量或其对应复量(r)、J(r)的表示的表示体电荷密度体电荷密度 v(r)C/m3面电荷密度面电荷密度 s(r)C/m2线电荷密度线电荷密度 l(r)C/m点电荷点电荷QC体电流密度体电流密度Jv(r)=vvA/m2面电流密度面电流密度Js(r)=svA/m线电流密度线电流密度Jl(r)=lvA半导体中半导体中Jc=ve v=v eE=eE
13、 （电子导电）（电子导电）Jc=vh v=v hE=hE （空穴导电）（空穴导电）BYBY:本讲稿第三十二页，共三十八页矢量运算的几个恒等关系由梯度、散度、旋度和拉氏算符的定义，可推导出以由梯度、散度、旋度和拉氏算符的定义，可推导出以下矢量运算恒等关系：下矢量运算恒等关系：本讲稿第三十三页，共三十八页例题1-9证明：直角坐标系下证明：直角坐标系下(A)(A)-2A解：解：本讲稿第三十四页，共三十八页例题1-10本讲稿第三十五页，共三十八页例题例题1-10(1)本讲稿第三十六页，共三十八页小结、复习复习要点复习要点n算符算符 既是矢量，又有微分运算功能既是矢量，又有微分运算功能。作用于一标量场作
14、用于一标量场 可得到一矢量场可得到一矢量场。作用于一矢量场作用于一矢量场A，如进行点积运算得到一标量场，如进行点积运算得到一标量场 A，如果进行一矢积，如果进行一矢积运算可得到一矢量运算可得到一矢量A。n标量场标量场 的的梯度梯度grad 是一矢量，其模为最大方向导数，方向为场最大变化率方是一矢量，其模为最大方向导数，方向为场最大变化率方向向 grad =n矢量场矢量场A的散度的散度divA反映反映矢量场的通量体密度矢量场的通量体密度，是一标量。，是一标量。divA=A，矢量场，矢量场A的旋度的旋度CurlA反映反映矢量场的环量面密度矢量场的环量面密度，是一矢量，其模等于最大环量面密度，是一矢量，其模等于最大环量面密度，最大环量面密度时，曲面法线方向即旋度方向。最大环量面密度时，曲面法线方向即旋度方向。CurlA=A。n矢量运算恒等关系要记牢。矢量运算恒等关系要记牢。复习范围复习范围 1.6本讲稿第三十七页，共三十八页作业作业(P53)1.41.61.7本讲稿第三十八页，共三十八页