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1、12.1.4单电子原子的波函数单电子原子的波函数1、三个量子数、三个量子数n，l和和m的关系如下的关系如下n=1,2,l=0,1,2,n-1m=0,1,2,l2每套量子数每套量子数n，l和和m决定一个波函数决定一个波函数nlmnlm的形式，即决定了单电子原子体系的一的形式，即决定了单电子原子体系的一种状态，因此简称为原子轨道。种状态，因此简称为原子轨道。R Rn,ln,l(r)(r)只与只与r r有关，为原子轨道的径向部分，为有关，为原子轨道的径向部分，为实函数；球谐函数实函数；球谐函数Y Y只与只与 和和 有关，为有关，为原子轨道的角度部分。原子轨道的角度部分。32、各函数的归一化条件、各函
2、数的归一化条件43、波函数表示：、波函数表示：复函数表示：复函数表示：具有确定的量子数具有确定的量子数n，l和和m，可直接用，可直接用nlmnlm表示表示 如：如：100 100 200 200 210 210 21-121-1等等5实函数表示实函数表示Y中角度部分换算为直角坐标时，可得到中角度部分换算为直角坐标时，可得到原子轨道角度部分所包含的直角坐标因原子轨道角度部分所包含的直角坐标因子。子。如：如：Y1,0 l=1，为，为p轨道，轨道，Y1,0中含中含z，对应，对应pz轨道；轨道；Y2,0包含包含3z2-r2项，对应于项，对应于dz2等等6789由于由于函数有两套不同表示（复函数和实函数
3、）函数有两套不同表示（复函数和实函数），波函数，波函数 n,l,m也将有两套不同的表示。也将有两套不同的表示。复函数表示n=1l=0m=01001sn=2l=0m=02002sl=1m=02102pzm=12112p1m=-121-12p-1实函数表示n=2l=1m=1211+21-12px211-21-12py对应的m值不确定104、对于给定波函数可以确定、对于给定波函数可以确定n，l，|m|，En及原子轨道名称及原子轨道名称（1）通过）通过e的指数可以确定的指数可以确定n。（2）通过）通过的最小指数可以确定的最小指数可以确定l。（3）通过）通过cosm或或sinm可以确定可以确定|m|。（
4、4）通过）通过n的值可以确定的值可以确定En。11求解定核近似（定核近似（根据根据）坐标变化（坐标变化（原因、思路原因、思路）变数分离变数分离()方程方程R(r)方程方程()方程方程求解求解过程、结果过程、结果l 的引入及取值的引入及取值n 的引入及取值的引入及取值 n n,l l,m(r(r,)=Rn n,l l(r r)l l,m()m m()单电子原子单电子原子薛定谔方程的解薛定谔方程的解122.2量子数的物理意义量子数的物理意义 教学重点：教学重点：1、量子数的物理意义、量子数的物理意义 2、波函数的特点、波函数的特点132.2.1主量子数主量子数n和能量和能量E单电子原子能量单电子原
5、子能量E只与主量子数只与主量子数n有关有关142.2.1主量子数主量子数n和能量和能量E单电子原子能量单电子原子能量E只与主量子数只与主量子数n有关有关能量是量子化的，能级差为能量是量子化的，能级差为En。能级差。能级差随着随着n的增大而减小。的增大而减小。能量为负，电子离核无穷远时作为位能能量为负，电子离核无穷远时作为位能的零点。的零点。15简并度：在相同简并度：在相同n下，而下，而l，m不同的原子不同的原子轨道有轨道有n2个个 例如：例如：n=2时，时，空间波函数有空间波函数有4个状态：个状态：2s2pz2p12p-1或或2s2pz2px2py16体系的零点能体系的零点能 对于氢原子，对于
6、氢原子，Z=1，电子处于，电子处于n=1的基态时，能量为：的基态时，能量为：维里定理：对势能服从维里定理：对势能服从rn规律的体系，其平均势能规律的体系，其平均势能与平均动能与平均动能的关系为：的关系为：=n/2 H原子势能原子势能 =-/2E1=-13.6 eV=+=-=13.6 eV,即为零点能。即为零点能。172.2.2角量子数角量子数 l 及角动量及角动量 Mnlmnlm是角动量平方算符的本征函数（实是角动量平方算符的本征函数（实复都是）复都是）18直角坐标下角动量平方算符直角坐标下角动量平方算符球坐标下角动量平方算符球坐标下角动量平方算符19本征值为本征值为l(l+1)h2/2 M2
7、具有确定值具有确定值l(l+1)l(l+1)h2/2转到21页20角量子数角量子数 l 决定电子的原子轨道角动量的决定电子的原子轨道角动量的大小。大小。212.2.3磁量子数磁量子数m和角动量在磁场和角动量在磁场方向上的分量方向上的分量Mz1.n,l,m是是 的本征函数的本征函数。2223m决定角动量在磁场方向的分量，所以叫决定角动量在磁场方向的分量，所以叫磁量子数，为与自旋磁量子属区别，又磁量子数，为与自旋磁量子属区别，又称轨道磁量子数；称轨道磁量子数；角动量在磁场方向分量是量子化的，即角动量在磁场方向分量是量子化的，即角动量方向是量子化的；角动量方向是量子化的；2425m决定着轨道角动量的
8、方向，决定着轨道角动量的方向，l决定着轨决定着轨道角动量的大小；道角动量的大小；除除m=0外，单电子原子体系实数解，不外，单电子原子体系实数解，不是是Mz算符的本征函数，如算符的本征函数，如 2px2px、3dxy3dxy等。等。26n,l,mn,l,m是哈密顿算符，角动量平方算是哈密顿算符，角动量平方算符和角动量符和角动量z z分量算符的本征函数集分量算符的本征函数集27例：对例：对211211n=2,l=1,m=1n=2,l=1,m=1 和和 对易对易同理可证同理可证 对易对易28 波函数的实函数表示和复函数表示波函数的实函数表示和复函数表示 100 100 200 200 210 210
9、 211 211 21-121-1 100 100 200 200 2p0 2p0 2p1 2p1 2p-12p-1 1s 1s 2s 2s 2pz 2pz 2px 2px 2py2py 哪些函数是哪些函数是 的本征函数？的本征函数？29本征方程和本征值本征方程和本征值302.2.4自旋量子数自旋量子数s和自旋磁量和自旋磁量子数子数ms1、s决定电子自旋角动量决定电子自旋角动量|Ms|的大小的大小:2、ms决定电子自旋角动量在磁场方向分量决定电子自旋角动量在磁场方向分量Msz的大小：的大小：312.2.5总量子数总量子数j和总磁量子数和总磁量子数mj1、j决定电子轨道运动和自旋运动的总角决定电子轨道运动和自旋运动的总角动量动量Mj：2、mj决定电子总角动量在磁场方向分量的决定电子总角动量在磁场方向分量的大小大小Mjz：